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- 2021-05-14 发布
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抛物线焦点弦的性质
1、焦点弦定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式:设两交点,可以通过两次焦半径公式得到:
当抛物线焦点在x轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关:
抛物线,抛物线,
当抛物线焦点在y轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关:
抛物线,抛物线,
3、通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义,得到通径:
4、焦点弦常用结论:
结论1:韦达定理
和
和
结论2:
证:
结论3:若直线L的倾斜角为,则弦长
证: (1)若 时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,
(2)若时, 则
结论4: 过焦点的弦中通径长最小
的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论4:
结论5:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证:设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1, 过B点作准线的垂线BB1,
过M点作准线的垂线MM1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
故结论得证
结论6:连接A1F、B1 F 则 A1FB1F
同理 A1FB1 F
结论7:(1)AM1BM1 (2)M1FAB (3)
(4)设AM1 与A1F相交于H ,M1B与 FB1相交于Q 则M1,Q,F ,H四点共圆
(5)
证:由结论(6)知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1
为直角三角形, M1 是斜边A1 B1 的中点
M1FAB
AM1BM1
所以M1,Q,F,H四点共圆,
结论8: (1)O、B1 三点共线 (2)B,O,A1 三点共线
(3)设直线AO与抛物线的准线的交点为B1,则BB1平行于X轴
(4)设直线BO与抛物线的准线的交点为A1,则AA1平行于X轴
证:因为,而
所以所以三点共线。同理可征(2)(3)(4)
结论9:
证:过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准线与轴交点为E,
则
同理可得