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  • 2021-05-14 发布

高考数学抛物线焦点弦的性质

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抛物线焦点弦的性质 ‎1、焦点弦定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。‎ ‎2、焦点弦公式:设两交点,可以通过两次焦半径公式得到:‎ 当抛物线焦点在x轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关:‎ 抛物线,抛物线,‎ 当抛物线焦点在y轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关:‎ 抛物线,抛物线,‎ ‎3、通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义,得到通径:‎ ‎4、焦点弦常用结论:‎ 结论1:韦达定理 和 和 结论2:‎ 证:‎ 结论3:若直线L的倾斜角为,则弦长 证: (1)若 时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,‎ ‎(2)若时, 则 结论4: 过焦点的弦中通径长最小 ‎ 的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.‎ 结论4: ‎ 结论5:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 ‎ ‎ 证:设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1, 过B点作准线的垂线BB1, ‎ ‎ 过M点作准线的垂线MM1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 ‎ 故结论得证 ‎ 结论6:连接A‎1F、B‎1 F 则 A‎1FB‎1F ‎ 同理 A‎1FB‎1 F 结论7:(1)AM1BM1 (2)M‎1FAB (3)‎ ‎(4)设AM1 与A‎1F相交于H ,M1B与 FB1相交于Q 则M1,Q,F ,H四点共圆 ‎(5)‎ 证:由结论(6)知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1 ‎ 为直角三角形, M1 是斜边A1 B1 的中点 ‎ ‎ M‎1FAB ‎ AM1BM1 ‎ ‎ 所以M1,Q,F,H四点共圆,‎ ‎ ‎ 结论8: (1)O、B1 三点共线 (2)B,O,A1 三点共线 ‎ (3)设直线AO与抛物线的准线的交点为B1,则BB1平行于X轴 ‎(4)设直线BO与抛物线的准线的交点为A1,则AA1平行于X轴 证:因为,而 所以所以三点共线。同理可征(2)(3)(4)‎ 结论9: ‎ 证:过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准线与轴交点为E,‎ 则 ‎ 同理可得 ‎