2020-2021学年高考数学（理）考点：不等式的证明 10页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：不等式的证明 不等式的证明方法：‎ 作差比较法 ‎(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.‎ ‎(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．‎ 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．‎ 作商比较法 ‎(1)作商比较法：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明＞1；要证明b＞a，只要证明＜1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．‎ ‎(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：‎ ‎①b＞0，若＞1，则a＞b；若＜1，则a＜b；‎ ‎②b＜0，若＞1，则a＜b；若＜1，则a＞b.‎ ‎(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1的大小关系；⑤得出结论.‎ ‎(1)综合法 ‎①定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命 题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．‎ ‎②特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．‎ ‎③证明的框图表示 用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为 →→→…→ ‎(2)分析法 ‎①定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种“执果索因”的思考和证明方法．‎ ‎②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．‎ ‎③证明过程的框图表示 用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为 →→→…→ 反证法 ‎(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．‎ ‎(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．‎ ‎　放缩法 ‎(1)放缩法证明的定义 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．‎ ‎(2)放缩法的理论依据 ‎①不等式的传递性．‎ ‎②等量加(减)不等量为不等量．‎ ‎③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．‎ 基本不等式 ‎(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．‎ ‎(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．‎ ‎(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．‎ ‎(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．‎ ‎(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；‎ 二维形式的柯西不等式 ‎(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ ‎(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.‎ 一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．‎ 排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.‎ 数学归纳法：‎ 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：‎ ‎①证明当n＝n0时命题成立；‎ ‎②假设当n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．‎ 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．‎ ‎1．（2020•新课标Ⅲ）设，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）用，，表示，，的最大值，证明：，，．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，均不为0，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）不妨设，则，‎ ‎，，‎ 而，与假设矛盾，‎ 故，，．‎ ‎2．（2020•新课标Ⅲ）设，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）用，，表示，，中的最大值，证明：，，．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，均不为0，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）不妨设，则，‎ ‎，，‎ 而，与假设矛盾，‎ 故，，．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅲ）设，，，且．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若成立，证明：或．‎ ‎【解析】（1），，，且，‎ 由柯西不等式可得 ‎，‎ 可得，‎ 即有的最小值为；‎ ‎（2）证明：由，柯西不等式可得 ‎，‎ 可得，‎ 即有的最小值为，‎ 由题意可得，‎ 解得或．‎ ‎4．（2019•新课标Ⅰ）已知，，为正数，且满足．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）分析法：已知，，为正数，且满足．‎ 要证（1）；因为．‎ 就要证：；‎ 即证：；‎ 即：；‎ ‎；‎ ‎，，为正数，且满足．‎ ‎；；恒成立；当且仅当：时取等号．‎ 即得证．‎ 故得证．‎ ‎（2）证成立；‎ 即：已知，，为正数，且满足．‎ 为正数；为正数；为正数；‎ ‎；‎ 当且仅当时取等号；即：时取等号；‎ ‎，，为正数，且满足．‎ ‎；；；‎ 当且仅当，；时取等号；即：时取等号；‎ ‎；‎ 当且仅当时取等号；‎ 故．得证．‎ 故得证．‎ ‎5．（2017•新课标Ⅱ）已知，，．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）由柯西不等式得：，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由均值不等式可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时等号成立．‎ ‎1．（2020•新课标Ⅲ）设，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）用，，表示，，的最大值，证明：，，．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，均不为0，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）不妨设，则，‎ ‎，，‎ 而，与假设矛盾，‎ 故，，．‎ ‎2．（2020•新课标Ⅲ）设，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）用，，表示，，中的最大值，证明：，，．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，均不为0，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）不妨设，则，‎ ‎，，‎ 而，与假设矛盾，‎ 故，，．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅲ）设，，，且．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若成立，证明：或．‎ ‎【解析】（1），，，且，‎ 由柯西不等式可得 ‎，‎ 可得，‎ 即有的最小值为；‎ ‎（2）证明：由，柯西不等式可得 ‎，‎ 可得，‎ 即有的最小值为，‎ 由题意可得，‎ 解得或．‎ ‎4．（2019•新课标Ⅰ）已知，，为正数，且满足．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）分析法：已知，，为正数，且满足．‎ 要证（1）；因为．‎ 就要证：；‎ 即证：；‎ 即：；‎ ‎；‎ ‎，，为正数，且满足．‎ ‎；；恒成立；当且仅当：时取等号．‎ 即得证．‎ 故得证．‎ ‎（2）证成立；‎ 即：已知，，为正数，且满足．‎ 为正数；为正数；为正数；‎ ‎；‎ 当且仅当时取等号；即：时取等号；‎ ‎，，为正数，且满足．‎ ‎；；；‎ 当且仅当，；时取等号；即：时取等号；‎ ‎；‎ 当且仅当时取等号；‎ 故．得证．‎ 故得证．‎ ‎5．（2017•新课标Ⅱ）已知，，．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）由柯西不等式得：，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由均值不等式可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时等号成立．‎