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  • 2021-05-14 发布

2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章2-5指数与指数函数

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第5讲 指数与指数函数 最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像;4.体会指数函数是一类重要的函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.根式 ‎(1)概念:式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.‎ ‎(2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|= ‎2.分数指数幂 ‎(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N+,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N+,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.‎ ‎(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.‎ ‎3.指数函数的图像与性质 a>1‎ ‎00时,y>1;‎ 当x<0时,01;‎ 当x>0时,01)的值域是(0,+∞).(  ) ‎ 解析 (1)由于==4,故(1)错.‎ ‎(2)(-1)==1,故(2)错.‎ ‎(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.‎ ‎(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(教材改编)化简[(-2)6]-(-1)0的结果为(  )‎ A.-9 B.7 ‎ C.-10 D.9‎ 解析 原式=(26)-1=8-1=7.‎ 答案 B ‎3.函数y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的图像可能是(  )‎ 解析 函数y=ax-是由函数y=ax的图像向下平移个单位长度得到,A项显然错误;当a>1时,0<<1,平移距离小于1,所以B项错误;当01,平移距离大于1,所以C项错误,故选D.‎ 答案 D ‎4.(2015·山东卷)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a1,∴b0,b>0);‎ ‎(2)+(0.002)-10(-2)-1+(-)0.‎ 解 (1)原式==ab-1.‎ ‎(2)原式=+-+1‎ ‎=+500-10(+2)+1‎ ‎=+10-10-20+1=-.‎ 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.‎ ‎(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.‎ ‎(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.‎ ‎【训练1】 化简求值:‎ ‎(1)0+2-2·-(0.01)0.5;‎ 解 (1)原式=1+×- ‎=1+×-=1+-=.‎ ‎(2)原式=‎ 考点二 指数函数的图像及应用 ‎【例2】 (1)函数f(x)=1-e|x|的图像大致是(  )‎ ‎(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.‎ 解析 ‎ ‎(1)f(x)=1-e|x|是偶函数,图像关于y轴对称,又e|x|≥1,‎ ‎∴f(x)的值域为(-∞,0],‎ 因此排除B、C、D,只有A满足.‎ ‎(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示,由图像可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].‎ 答案 (1)A (2)[-1,1]‎ 规律方法 (1)对于有关指数型函数的图像问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.‎ ‎(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像,数形结合求解.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·陕西五校联考)定义运算a⊕b=则函数f(x)=1⊕2x的图像是(  )‎ ‎(2)方程2x=2-x的解的个数是________.‎ 解析 (1)因为当x≤0时,2x≤1;当x>0时,2x>1.‎ 则f(x)=1⊕2x=图像A满足.‎ ‎(2)‎ 方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图像交点的横坐标,分别作出这两个函数图像(如图).‎ 由图像得只有一个交点,因此该方程只有一个解.‎ 答案 (1)A (2)1‎ 考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)‎ ‎【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是(  )‎ A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62‎ C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1‎ ‎(2)已知函数f(x)=ax2-4x+3.‎ ‎①若a=-1,求f(x)的单调区间;‎ ‎②若f(x)有最大值3,求a的值;‎ ‎③若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.‎ ‎(1)解析 A中,‎ ‎∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,‎ ‎∴1.72.5<1.73,错误;‎ B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2,‎ ‎∴0.6-1>0.62,正确;‎ C中,∵(0.8)-1=1.25,‎ ‎∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.‎ ‎∵y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,‎ ‎∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,错误;‎ D中,∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1,‎ ‎∴1.70.3>0.93.1,错误.故选B.‎ 答案 B ‎(2)解 ①当a=-1时,f(x)=-x2-4x+3,‎ 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7.‎ 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=u在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x ‎)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).‎ ‎②令h(x)=ax2-4x+3,y=h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,‎ 因此必有解得a=1,‎ 即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.‎ ‎③由f(x)的值域是(0,+∞)知,ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0.‎ 规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;②不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.‎ ‎(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.‎ 易错警示 在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.‎ ‎【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a0时,f(x)为增函数,‎ log0.53=-log23,所以log25>|-log23|>0,‎ 所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),‎ 故b>a>c,选B.‎ ‎(2)当x≥8时,f(x)=≤3,‎ ‎∴x≤27,即8≤x≤27;‎ 当x<8时,f(x)=2ex-8≤3恒成立,故x<8.‎ 综上,x∈(-∞,27].‎ 答案 (1)B (2)(-∞,27]‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.‎ ‎2.判断指数函数图像上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.‎ ‎3.指数函数的单调性取决于底数a的大小,当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.对与复合函数有关的问题,要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成,并且一定要注意函数的定义域.‎ ‎2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解题,但应注意换元后“新元”的范围.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)                   ‎ 一、选择题 ‎1.(2017·衡水中学模拟)若a=x,b=x2,c=x,则当x>1时,a,b,c的大小关系是(  )‎ A.c1时,01,c=x<0,所以c1,b<0‎ B.a>1,b>0‎ C.00‎ D.0,∴b,‎ ‎∴a>c,∴b0,且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于(  )‎ A.1 B.a C.2 D.a2‎ 解析 ∵以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,∴x1+x2=0.又∵f(x)=ax,∴f(x1)·f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1.‎ 答案 A ‎5.(2017·西安调研)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(  )‎ A.(-∞,2] B.[2,+∞)‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 解析 由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.‎ 答案 B 二、填空题 ‎6.×0+8×-=________.‎ 解析 原式=×1+2×2-=2.‎ 答案 2‎ ‎7.(2015·江苏卷)不等式2x2-x<4的解集为________.‎ 解析 ∵2x2-x<4,∴2x2-x<22,‎ ‎∴x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1e,‎ 因此x=1时,f(x)有最小值f(1)=e.‎ 答案 e 三、解答题 ‎9.已知f(x)=x3(a>0,且a≠1).‎ ‎(1)讨论f(x)的奇偶性;‎ ‎(2)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.‎ 解 (1)由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0,‎ 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.‎ 对于定义域内任意x,有 f(-x)=(-x)3‎ ‎=(-x)3‎ ‎=(-x)3‎ ‎=x3=f(x).‎ ‎∴f(x)是偶函数.‎ ‎(2)由(1)知f(x)为偶函数,∴只需讨论x>0时的情况,‎ 当x>0时,要使f(x)>0,即x3>0,‎ 即+>0,即>0,则ax>1.‎ 又∵x>0,∴a>1.因此a>1时,f(x)>0.‎ ‎10.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.‎ 解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 所以f(0)=0,即=0,解得b=1,所以f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)==-+.‎ 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).‎ 又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).‎ 因为f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+1,‎ 即3t2-2t-1>0,解不等式可得t>1或t<-,‎ 故原不等式的解集为.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)‎ C.(0,+∞) D.(-1,+∞)‎ 解析 因为2x>0,所以由2x(x-a)<1得a>x-x,令f(x)=x-x,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)>f(0)=0-0=-1,‎ 所以a>-1.‎ 答案 D ‎12.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是(  )‎ A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0‎ C.2-a<2c D.2a+2c<2‎ 解析 ‎ 作出函数f(x)=|2x-1|的图像如图中实线所示,‎ ‎∵af(c)>f(b),结合图像知a<0,0f(c),即1-2a>2c-1,∴2a+2c<2.‎ 答案 D ‎13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y=如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)对应的图像如图所示,那么g(x)=________.‎ 解析 依题意,f(1)=,∴a=,‎ ‎∴f(x)=x,x>0.当x<0时,-x>0.‎ ‎∴g(x)=-f(-x)=--x=-2x.‎ 答案 -2x(x<0)‎ ‎14.(2017·合肥期末)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;‎ ‎(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex+x,‎ ‎∴f′(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.又∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.‎ ‎(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔t2+t≤x2+x=2-对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=2≤0,‎ 又2≥0,∴2=0,∴t=-.‎ ‎∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎

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