空间几何体高考历年真题 13页

温馨提示：‎ 高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。‎ ‎【考点22】空间几何体 ‎2009年考题 ‎1.（2009宁夏海南高考） 如图，正方体的棱线长为1，线段上 有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）三棱锥的体积为定值 ‎（D）异面直线所成的角为定值 ‎【解析】选D.易证 B显然正确，；‎ C正确，可用等积法求得；D错误。选D.‎ ‎2.（2009宁夏海南高考）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积 ‎（单位：c）为（ ）‎ ‎（A）48+12 （B）48+24 ‎ ‎（C）36+12 （D）36+24‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎【解析】选A.‎ ‎3. (2009山东高考)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( ).‎ A. B. ‎ 俯视图 ‎ C. D. ‎ ‎【解析】选C. 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,‎ 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为，所以体积为 所以该几何体的体积为.‎ ‎4.（2009辽宁高考）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（ ）‎ ‎（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2‎ ‎【解析】选C .由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积 在底面正六边形ABCDER中A B C D E F H BH＝ABtan30°＝AB 而BD＝AB 故DH＝2BH 于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC ‎5.（2009湖北高考）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】选A. 过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.‎ ‎6.（2009湖南高考）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6 ‎ ‎【解析】选C.如图，用列举法知合要求的棱为：、、、、。‎ ‎7（2009浙江高考）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是___．‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ 答案：18‎ ‎8.（2009浙江高考）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点，作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ ‎（第18题）‎ ‎【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 . ‎ 答案： ‎ ‎9.（2009辽宁高考）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度 单位为m）。 ‎ ‎ 则该几何体的体积为 ‎ ‎【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3＝4‎ 答案：4‎ ‎10.（2009江苏高考）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . ‎ ‎【解析】考查类比的方法。体积比为1：8 ‎ 答案：1:8‎ ‎11.（2009全国卷Ⅰ）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，‎ 若,，则此球的表面积等于 。 ‎ ‎【解析】在中,,可得,由正弦定理,‎ 可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，‎ 易得球半径，故此球的表面积为. ‎ 答案：‎ ‎12.（2009江西高考）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 　　．‎ ‎【解析】由条件可得，所以，到平面的距离为，‎ 所以所求体积等于．‎ 答案：‎ ‎13.（2009天津高考）如图是一个几何体的三视图，若它的体积 是，则_______‎ ‎【解析】知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，‎ 底边上的高为的等腰三角形，所以有 ‎。‎ 答案：‎ ‎14.（2009四川高考）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【解析】方法一：不妨设棱长为2，选择基向量，‎ 则 ‎，‎ 故填写。‎ 方法二：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。‎ 答案：。‎ ‎15.（2009福建高考）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 ‎【解析】解法1:由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.‎ 解法2:当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.‎ ‎16.(2009年广东高考)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　（cm3）‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG；. ‎ ‎2008年考题 ‎1、（2008山东高考）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )‎ ‎(A)9π （B）10π ‎(C)11π (D)12π ‎【解析】选D.考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 ‎2、（2008广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）‎ E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A．‎ B E B．‎ B E C．‎ B E D．‎ ‎【解析】选A.解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.‎ ‎3、（2008海南宁夏高考）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大 值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选C.结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。‎ 如图，设长方体的高宽高分别为，由题意得 ‎，‎ ‎，，所以 ‎，‎ 当且仅当时取等号。‎ ‎4、（2008重庆高考）如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）‎ A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤‎ C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤‎ ‎【解析】选A.本小题主要考查空间想象能力。先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块。‎ ‎5、（2008海南、宁夏高考）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．‎ ‎【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，‎ 且 答案:‎ ‎6、（2008海南宁夏高考）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________‎ ‎【解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积 答案:‎ ‎7、（2008广东高考）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，‎ ‎。‎ ‎（1）求线段PD的长； ‎ ‎（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。‎ ‎【解析】（1） BD是圆的直径 ‎ ‎ ， 又 ,‎ ‎, ；‎ ‎ (2) 在中，‎ ‎ 又 ‎ 底面ABCD ‎ ‎ 三棱锥的体积为 .‎ ‎20 ‎ ‎20 ‎ 正视图 ‎20 ‎ 侧视图 ‎10‎ ‎10‎ ‎20 ‎ 俯视图 ‎2007年考题 ‎1.（2007海南宁夏高考）已知某个几何体的三 视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm），‎ 可得这个几何体的体积是（　　）‎ Ａ． ‎ Ｂ．‎ Ｃ． ‎ Ｄ．‎ ‎【解析】选B.‎ 如图， ‎ ‎2.（2007海南宁夏高考）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【解析】选B. 如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，‎ 于是 ‎3.（2007海南宁夏高考）已知三棱锥的各顶点都在一个 半径为的球面上，球心在上，底面，‎ ‎，则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【解析】选D. 如图， ‎ ‎ ‎ ‎4.（2007山东高考）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ ‎①正方形 ‎②圆锥 ‎③三棱台 ‎④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎【解析】选D. 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。‎ ‎5.（2007全国Ⅰ）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_________。‎ ‎【解析】正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，‎ 则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为。‎ 答案:‎ ‎6.（2007全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.‎ ‎【解析】‎ 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.‎ 答案:2+4cm2‎ ‎7.（2007全国Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱 柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的 斜边长为__________。‎ ‎【解析】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的 三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则 该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴ 斜边EF的长为2。‎ 答案:2‎ ‎8.（2007天津高考） 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积为.‎ ‎【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，‎ 由 答案:‎ ‎9.（2007天津高考）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．‎ ‎【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为则：，由于球的表面积为:.‎ 答案:‎ ‎10.( 2007安徽高考) 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ ‎③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等边三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体.‎ ‎【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；.‎ ‎ ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。‎ 答案:①③④⑤‎ ‎11.（2007辽宁高考）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．‎ ‎【解析】根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为 答案:‎ ‎12.（2007·广东高考）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。‎ ‎（Ⅰ）求V(x)的表达式；‎ ‎（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？‎ ‎（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；‎ ‎【解析】（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，‎ V(x)=（）‎ ‎（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；‎ ‎（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，‎ ‎，‎ 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；‎ ‎13．（2007广东高考 ‎）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎ (1)求该儿何体的体积V；‎ ‎ (2)求该几何体的侧面积S ‎【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，‎ 顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ；‎ ‎(1) ‎ ‎(2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为 ‎ ， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，‎ AB边上的高为 ‎ 因此