高考数学文考前天冲刺 导数 30页

‎2012届高考数学（文）考前60天冲刺【六大解答题】‎ 导数 ‎1、已知函数其中。‎ ‎（1）当时，判断的单调性；‎ ‎（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数若总有成立，求实数m的取值范围。‎ 答案：解析：由，‎ 当 时，在（）上单调递增。‎ ‎（2）由已知得，其定义域为（），‎ 因为在其定义域内为增函数，所以即 而，当且仅当x=1时，等号成立，所以 ‎（3）当a=2时，由得，或，当时， ‎ 所以在（0，1）上，‎ 而“成立”等价于“（0，1）上的最大值不小于上的最大值”。‎ 又 ‎2. 已知函数，∈R．‎ ‎ (I)讨论函数的单调性；‎ ‎ (Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．‎ ‎ 解： (Ⅰ) 若时，，()………………2分 由得，又 解得， ‎ 所以函数的单调递增区间为． …………4分 ‎(Ⅱ)依题意得,即，‎ ‎∴， ‎ ‎ ∵ ，∴ ，∴，‎ ‎∴ …………6分 设， ， ‎ 令，解得 ‎ 当时，，在单调递增；…………8分 当时，，在单调递减； …………10分 ‎∴=，‎ ‎∴ 即．‎ ‎3.已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？‎ ‎ ‎ ‎（I）当时，， …………………………………2分 ‎ 令时，解得，所以在（0，1）上单调递增； ……4分 ‎ 令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减． ………6分 ‎（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以，． ………………………………………………8分 ‎ ，‎ ‎ ， ……………………………………………10分 ‎ 因为任意的，函数在区间上总存在极值，‎ ‎ 所以只需 ……………………………………………………12分 ‎ 解得． ………………………………………………………14分 ‎4.已知三次函数的导函数，，．为实数。m]‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；‎ ‎ （Ⅱ）若在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且，求函数的解析式。‎ 解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12 ……………1分 ‎∴ ……………2分 ‎∴ ∴ ………………………3分 ‎（Ⅱ）∵ ， ∴ ……5分 由 得， ‎ ‎∵ ［-1，1］，‎ ‎∴ 当［-1，0）时，，递增；‎ 当（0，1］时，，递减。……………8分 ‎∴ 在区间［-1，1］上的最大值为 ‎∵ ，∴ =1 ……………………10分 ‎∵ ，‎ ‎∴ ∴ 是函数的最小值，‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ = ‎ ‎ 5.已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为 ‎，，求证为定值，并求出该定值。‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是．‎ ‎……………………………………………….2分 当时，由，解得； ‎ 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得，或．-------------4分 所以当时，函数的递增区间是；‎ 当时，函数的递增区间是；‎ 当时，函数的递增区间是，． …………….6分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以以为切点的切线的斜率为；‎ 以为切点的切线的斜率为．………………………….8分 又因为切线过点，所以；‎ ‎…………………………………………..10分 解得， ，. 则.‎ 由已知,从而有． 所以为定值.‎ ‎6.已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）求证：‎ ‎ 解：（Ⅰ），故其定义域为 ‎ ， 令>0,得，令<0,得 故函数的单调递增区间为单调递减区间为…………4分 ‎（Ⅱ），令 又，令解得 当x在内变化时，，变化如下表 x ‎)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 由表知，当时函数有最大值，且最大值为 ‎ ‎ 所以， …………10分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎7.已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎（I）当时，‎ ‎ ………………………………………………………………2分 ‎ 由得得 ‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为.………………4分 ‎（II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立，‎ ‎ 即时，恒成立………………………………6分 ‎ 设，，则 ，‎ ‎ 设， 在上恒成立 ‎ 在上单调递增 即在上单调递增………………8分 ‎ ，‎ 在有零点 在上单调递减，在上单调递增……………10分 ‎，即，‎ ‎8.已知函数 ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数,使不等式对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.‎ ‎【解】(Ⅰ)……………………1分 ‎ ①当时,,函数在内是增函数,‎ ‎ 即函数的单调增区间为……………………2分 ‎②当时,令得,‎ 且时,又时,…………4分 所以函数递增区间为,递减区间为.……………5分 ‎(Ⅱ)假设存在这样的实数,使不等式对恒成立 即恒成立.令,‎ 则,且恒成立…………………………6分 ‎……………………………7分 ‎①当时,,则函数在上单调递减,于是 ‎ 与矛盾,故舍去. ……………………8分 ‎②当时,‎ ‎ 而当时,由函数和都单调递减.‎ y=lnx(x>1)‎ y=ax2-ax(a<0)‎ x O y 且由图象可知,趋向正无穷大时,趋向于负无穷大.‎ ‎ 这与恒成立矛盾,故舍去. …………10分 ‎(注:若考生给出抛物线草图以说明,‎ 如右,同样也按该步骤应得分给分)‎ ‎③当时,等价于()‎ ‎ 记其两根为(这是因为)‎ ‎ 易知时,,而时,,‎ ‎ (i)若时,则函数在上递减,于是矛盾,舍去; ………11分 ‎(ii)若时,则函数在上递增,于是恒成立.‎ 所以,即,解得………………12分 综上①②③可知,存在这样的实数,使不等式对恒成立…………13分 ‎9设函数 ‎(Ⅰ) 当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.‎ ‎ 解：(Ⅰ)函数的定义域为.‎ ‎ 当时，令得.‎ ‎ 当时，当时，‎ ‎ 无极大值.4分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ 5分 ‎ 当，即时， 在上是减函数；‎ ‎ 当，即时，令得或 ‎ 令得 ‎ 当，即时，令得或 ‎ 令得 7分 ‎ ‎ 综上，当时，在定义域上是减函数；‎ ‎ 当时，在和单调递减，在上单调递增；‎ ‎ 当时，在和单调递减，在上单调递8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，‎ ‎ 当时，有最大值，当时，有最小值.‎ ‎ 10分 而经整理得 由得，所以 ‎10. 设函数 ‎(Ⅰ) 当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.‎ ‎ 解：(Ⅰ)函数的定义域为.‎ ‎ 当时，令得.‎ ‎ 当时，当时，‎ ‎ 无极大值.4分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ 5分 ‎ 当，即时， 在上是减函数；‎ ‎ 当，即时，令得或 ‎ 令得 ‎ 当，即时，令得或 ‎ 令得 7分 ‎ ‎ 综上，当时，在定义域上是减函数；‎ ‎ 当时，在和单调递减，在上单调递增；‎ ‎ 当时，在和单调递减，在上单调递8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，‎ ‎ 当时，有最大值，当时，有最小值.‎ ‎ 10分 而经整理得 由得，所以解(Ⅰ) 可知的定义域为．有 ‎ ————2分 因为，所以．‎ 故当时；当或时．‎ 综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加.‎ ‎ ——————6分 ‎（II）由，知，所以．‎ 可得 ．　　　　　　——————８分 所以 ． ‎ ‎ 因为 　　　　　——————11分 所以 ‎ ‎ ‎ 综上，不等式得证． ——————14分 ‎11.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；‎ ‎（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求的取值范围．‎ ‎21解：（Ⅰ）， ‎ ‎ 由 ，可得 ． ‎ ‎（Ⅱ）函数的定义域是， ‎ ‎ 因为，所以． ‎ ‎ 所以 ‎ 要使在上是单调函数，只要或在上恒成立．‎ ‎ ……………………10分 当时，恒成立，所以在上是单调函数； ‎ 当时，令，得，，‎ 此时在上不是单调函数； ‎ 当时，要使在上是单调函数，只要，即 综上所述，的取值范围是． ‎ ‎12.设．‎ ‎（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．‎ 解：‎ ‎（1）∵函数在区间内单调递减，‎ ‎∵，∴．…………5分 ‎（2）∵函数在处有极值是，∴．‎ 即．‎ ‎∴，所以或．…………9分 当时，在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值，这与函数在处取得极小值是矛盾，所以．‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，即为极小值，‎ 所以时，此时，在区间内函数的单调性是：‎ 在内减，在内增．‎ ‎13.已知函数．‎ ‎（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，试比较与的大小；‎ ‎（3）求证：（）．‎ 解：（1）当时，，定义域是，‎ ‎， 令，得或． ‎ 当或时，，当时，， ‎ ‎ 函数在．上单调递增，在上单调递减． 的极大值是，极小值是．‎ 当时，； 当时，，‎ 当仅有一个零点时，的取值范围是或．‎ ‎（2）当时，，定义域为．‎ 令，，‎ 在上是增函数． ‎ ‎①当时，，即；‎ ‎②当时，，即；‎ ‎③当时，，即．‎ ‎（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．‎ 令，则有， ．‎ ‎，． ‎ ‎14.已知三次函数的导函数，，．为实数。m]‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；‎ ‎ （Ⅱ）若在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且，求函数的解析式。‎ 解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12 ……………1分 ‎∴ ……………2分 ‎∴ ∴ ………………………3分 ‎（Ⅱ）∵ ， ∴ ……5分 由 得， ‎ ‎∵ ［-1，1］，‎ ‎∴ 当［-1，0）时，，递增；‎ 当（0，1］时，，递减。……………8分 ‎∴ 在区间［-1，1］上的最大值为 ‎∵ ，∴ =1 ……………………10分 ‎∵ ，‎ ‎∴ ∴ 是函数的最小值，‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ = ………………12分 ‎15.已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，．‎ ‎(Ⅰ) 若，讨论函数的单调性；‎ ‎（II）已知a =1，，若数列{an}的前n项和为，证明：‎ ‎．‎ 解(Ⅰ) 可知的定义域为．有 ‎ ————2分 因为，所以．‎ 故当时；当或时．‎ 综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加.‎ ‎ ——————6分 ‎（II）由，知，所以．‎ 可得 ．　　　　　　——————８分 所以 ． ‎ ‎ 因为 　　　　　——————11分 所以 ‎ ‎ ‎ 综上，不等式得证． ——————14分 ‎16.已知在与处都取得极值。‎ ‎（I）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：（1）‎ 在与处都取得极值 ‎，。，即--------------7分 ‎（2）由（1）可知，‎ 令得或 ‎，在上单调递减，在上单调递增。--------------10分 而 ，‎ 所以，即在上的最大值为。--------------15分 要使对任意时，恒成立，必须。‎ ‎17.已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx， a , bR．‎ ‎(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；‎ ‎(Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．‎ ‎(Ⅰ)解: ‎ ‎＝，‎ 由题设知： 解得 …………6分 ‎(Ⅱ)解：因为在区间内存在两个极值点 ，‎ 所以，即在内有两个不等的实根．‎ 故 由 (1)+(3)得.‎ 由（4）得，‎ 因，故，从而.‎ 所以． ‎ ‎18.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ 解：(1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎（i）若即,则[来源:学#科#网]‎ 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;[来源:学科网][来源:学_科_网]‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ ‎[来源:学科网]‎ 则 由于10.‎ y1y2＝，x1x2＝·＝＝.‎ ·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－9，‎ ‎∴b2＋6kb＋9k2＝0，(b＋3k)2＝0，b＝－3k，满足Δ>0.‎ ‎∴直线AB方程为y＝kx－3k，即y＝k(x－3)，‎ ‎∴直线AB恒过定点(3,0).(7分)‎ 当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x＝3，也过点(3,0).‎ 综上，直线AB恒过定点(3,0).(8分)‎ ‎(3)设线段AB的中点为M(x0，y0)，则 x0＝＝2，y0＝，kAB＝＝＝＝.‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－2).‎ 令y＝0，得x＝5，故C(5,0)为定点.‎ 又直线AB的方程为y－y0＝(x－2)，与y2＝6x联立，消去x得y2－2y0y＋2y－12＝0.‎ 由韦达定理得y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y－12.‎ ‎∴|AB|＝·|y1－y2|＝ ‎＝＝.‎ 又点C到直线AB的距离为h＝|CM|＝，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·h＝ 令t＝9＋y(t>9)，则12－y＝21－t.‎ 设f(t)＝(9＋y)2(12－y)＝t2(21－t)＝－t3＋21t2，‎ 则f′(t)＝－3t2＋42t＝－3t(t－14).‎ 当90；当t>14时，f′(t)<0.∴f(t)在(9,14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减.‎ ‎∴当t＝14时，[f(t)]max＝142×7.故△ABC面积的最大值为.(13分)‎ 注：第(3)问也可由AB直线方程y＝kx＋b及x1＋x2＝4，推出b＝－2k，然后转化为求关于k的函数的最值问题.‎ ‎31.‎ 已知函数(a为实常数).‎ ‎(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数； ‎ ‎(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；‎ ‎(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.‎ ‎（1）当时，，当，，‎ 故函数在上是增函数．…………………………………………………4分 ‎（2），当，．‎ 若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　………………………………………………6分 若，当时，；当时，，此时 是减函数； 当时，，此时是增函数．故 ‎．‎ 若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．……………………………………8分 综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，‎ 的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，‎ 相应的x值为．……………………………………………………………………10分 ‎（3）不等式， 可化为．‎ ‎∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，‎ 因而（）………………………………………………12分 令（），又，…………………14分 当时，，，‎ 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，‎ 故的最小值为，所以a的取值范围是． ………………………16分 ‎32.设，其中为正实数.‎ ‎(1)当时，求的极值点； ‎ ‎(2)若为上的单调函数，求的取值范围. ‎ ‎19解：(Ⅰ)当时，‎ ‎∴ ‎ 令得 ‎0‎ ‎0‎ ‎∴的极大值点是；极小值点是 ‎(Ⅱ) ‎ ‎∵为上的单调函数，且为正实数 ‎∴即 ‎（1）a=1 b=0 3分 ‎（2）∵恒成立 ∴恒成立 ‎ ‎ ‎ ∴当，∴的最小值为 ‎∴ 8分 ‎（3），‎ 令=0，得 当 时， ，为在区间（0,2）上的极大值点 当时，，为在区间（0,2）上的极值点 当时，在区间（0,2）上无极值点 当时，，为在区间（0,2）上的极值点 当时，，为在区间（0,2）上的极大值点 当时，，为在区间（0,2）上的极大值点 由以上可知：当或时，在区间（0,2）上有两个极值点 当或时，在区间（0,2）上有一个极值点；‎ 当时，在区间（0,2）上无极值点 ‎