2016年高考北京文科数学试题及答案(word解析版) 6页

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文科）‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）【2016年北京，文1，5分】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵集合，，∴，故选C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．‎ ‎（2）【2016年北京，文2，5分】复数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．‎ ‎（3）【2016年北京，文3】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎（A）8 （B）9 （C）27 （D）36‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，满足进行循环的条件，故，，当时，满足进行循环的条件，故，‎ ‎，当时，满足进行循环的条件，故，，当时，不满足进行循环的 条件，故输出的值为9，故选B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进 行解答．‎ ‎（4）【2016年北京，文4，5分】下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】A．增大时，减小，减小，∴增大；∴函数在上为增函数，该选项错误；‎ B．在上没有单调性，该选项错误；C．增大时，增大，增大，∴‎ 在上为增函数，即该选项错误；D．；∴根据指数函数单调性知，该函数在上 为减函数，∴该选项正确，故选D．‎ ‎【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．‎ ‎（5）【2016年北京，文5，5分】圆的圆心到直线的距离为（ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵圆的圆心为，∴圆的圆心到直线的距离为：‎ ‎，故选C．‎ ‎【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．‎ ‎（6）【2016年北京，文6，5分】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数，甲被选中包含的基本事件的个数，∴甲被选中的概率，故选B．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎（7）【2016年北京，文7，5分】已知，．若点在线段上，则的最大值为（ ）‎ ‎（A） （B）3 （C）7 （D）8‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，．若点在线段上，令，则平行 ‎ 当直线经过时截距最小，取得最大值，可得的最大值为：，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．‎ ‎（8）【2016年北京，文8，5分】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a﹣1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）‎ ‎（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛 ‎（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎【答案】B ‎【解析】∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，，60，63，有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）【2016年北京，文9，5分】已知向量，，则与夹角的大小为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量，，∴与夹角满足：，又∵，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．‎ ‎（10）【2016年北京，文10，5分】函数的最大值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】；∴在[上单调递减；∴时，取最大值2．‎ ‎【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．‎ ‎（11）【2016年北京，文11，5分】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面，‎ 棱柱的高为1，故棱柱的体积．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎（12）【2016年北京，文12，5分】已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则 ， ．‎ ‎【答案】1；2‎ ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，∴，‎ 解得，．‎ ‎【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．‎ ‎（13）【2016年北京，文13，5分】在中，，，则_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】在中，，，由正弦定理可得：，，，，则．三角形是等腰三角形，，则，则．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．‎ ‎（14）【2016年北京，文14，5分】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；②这三天售出的商品最少有 种． ‎ ‎【答案】16；29‎ ‎【解析】①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种 类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的 商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售 出的商品种类最少为29种．．‎ ‎【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生逻辑思维能力，是中档题．‎ ‎ 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（15）【2016年北京，文15，13分】已知是等差数列，是等比数列，且，，，． ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，‎ ‎；即有，，则，‎ 则．‎ ‎ （2），前项和 ‎【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎（16）【2016年北京，文16，13分】已知函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调递增区间．‎ 解：（1）．‎ 由，得．‎ ‎（2）由（1）得，．再由，得，．‎ ‎∴的单调递增区间为．‎ ‎【点评】本题考查型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．‎ ‎（17）【2016年北京，文17，13分】某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水 ‎ 量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10‎ 元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水 量数据，整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价 格为4元/立方米，至少定为多少？‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计 该市居民该月的人均水费．‎ 解：（1）由频率分布直方图得：用水量在的频率为0.1；用水量在的频率为0.15；用水量在的 频率为0.2，用水量在的频率为0.25；用水量在的频率为0.15；，用水量在的频率 为0.05；用水量在的频率为0.05；用水量在的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米 的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴至少定为3立方米．‎ ‎（2）当时，该市居民的人均水费为： ，‎ ‎∴当时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．‎ ‎（18）【2016年北京，文18，14分】如图，在四棱锥中，平面，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ 解：（1）∵平面，平面，∴，∵，，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵，，∴，∵平面，平面，‎ ‎∴∵∴平面∵平面∴平面平面．‎ ‎（3）在棱上存在中点，使得平面．∵点为的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎（19）【2016年北京，文19，13分】已知椭圆过点，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：‎ 四边形的面积为定值．‎ 解：（1）∵椭圆过点，两点，∴，，则，‎ ‎∴椭圆的方程为，离心率为．‎ ‎（2）如图，设，则，所在直线方程为，取， ‎ 得；，所在直线方程为，取，得 ‎．∴，‎ ‎．∴‎ ‎．∴四边形的面积为定值2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．‎ ‎（20）【2016年北京，文20，14分】设函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ 解：（1）函数的导数为，可得在点处的切线斜率为 ‎，切点为，可得切线的方程为．‎ ‎（2）设，即有，由，可得，由 的导数，当或时，，递增；当 时，，递减．即有在处取得极大值，且为0；在处取得极小值，‎ 且为．由函数有三个不同零点，可得，解得，则取值范围是．‎ ‎（3）若有三个不同零点，令，可得的图象与轴有三个不同的交点．即有有3个 单调区间，即为导数的图象与轴有两个交点，可得，即，即为 ‎；若，即有导数的图象与轴有两个交点，当，‎ 时，满足，即有，图象与轴交于，，则的零点为2个．‎ 故是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎【点评】不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．‎