高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围 4页

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围 求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.‎ 一、直接根据题意建立不等关系求解. 21世纪教育网 例1：（08湖南）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) ‎ 解析 由题意可知即解得故选B. ‎ 备选（07北京）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 解析 由题意得∴故选D. ‎ 二、借助平面几何关系建立不等关系求解 例2：（07湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D.‎ 分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？‎ 解析：∵线段的中垂线过点， ∴，又点P在右准线上，∴‎ 即∴∴，故选D.‎ 点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.‎ 三、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.‎ 例3：（2008福建）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ 分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ ‎ 解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴‎ 所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.‎ 点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解. ‎ 备选（04重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )‎ A B C D ‎ ‎∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴‎ 所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.‎ 备选已知，分别为　的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A B C D 解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.‎ 例5：已知椭圆 右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。 ‎ 解：设P点坐标为（）,则有 消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得 例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；‎ 解析 设……①‎ 将代入①得 求得 .‎ 点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.‎ 四、运用数形结合建立不等关系求解 例7：（06福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ‎ （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ 解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，即即∴即故选C.‎ 五、运用函数思想求解离心率 例8：（08全国卷Ⅱ）设，则双曲线的离心率e的取值范围是 A． B. C. D. ‎ 解析：由题意可知∵∴‎ ‎∴，故选B.‎ 六、运用判别式建立不等关系求解离心率 例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.‎ 解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是 例10：（04全国Ⅰ）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：‎ 解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 ‎ ‎（1－a2）x2+‎2a2x－‎2a2=0. ①‎ 所以解得 双曲线的离心率 ‎∴‎ 所以双曲线的离心率取值范围是 总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com