高考创新方案一轮复习教案新课标版数学理第九篇解析几何椭圆 13页

第 5 讲 椭 圆 【2013 年高考会这样考】 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何 的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 基础梳理 1．椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两 定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数： (1)若 a＞c，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c，则集合 P 为线段； (3)若 a＜c，则集合 P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0) y2 a2 ＋x2 b2 ＝1 (a>b>0) 图 形 续表 范 围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 性 质 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝c a ∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 一条规律 椭圆焦点位置与 x2，y2 系数间的关系： 给出椭圆方程x2 m ＋y2 n ＝1 时，椭圆的焦点在 x 轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在 y 轴上⇔0＜m＜ n. 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2、b2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条 件确定关于 a、b、c 的方程组，解出 a2、b2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小 距离，且最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c. (2)求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程，再结合 b2＝a2－c2 就可求得 e(0＜ e＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心 是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6， 则椭圆的方程为( )． A.x2 9 ＋y2 16 ＝1 B.x2 25 ＋y2 16 ＝1 C.x2 25 ＋y2 16 ＝1 或x2 16 ＋y2 25 ＝1 D．以上都不对 解析 ∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则 c2＝a2－b2＝9，故 a－b＝1，从 而可得 a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为x2 25 ＋y2 16 ＝1 或x2 16 ＋y2 25 ＝1. 答案 C 2．(2012·合肥月考)设 P 是椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2| 等于( )． A．4 B．5 C．8 D．10 解析 依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案 D 3．(2012·兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程 x2 5－m ＋ y2 m＋3 ＝1 表示椭圆”的 ( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 要使方程 x2 5－m ＋ y2 m＋3 ＝1 表示椭圆，应满足 5－m＞0， m＋3＞0， 5－m≠m＋3， 解得－3＜m＜5 且 m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程 x2 5－m ＋ y2 m＋3 ＝1 表示椭圆”的必要不充分条件． 答案 B 4．(2012·淮南五校联考)椭圆x2 9 ＋ y2 4＋k ＝1 的离心率为4 5 ，则 k 的值为( )． A．－21 B．21 C．－19 25 或 21 D.19 25 或 21 解析 若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由c a ＝4 5 即 5－k 3 ＝4 5 ，得 k＝－19 25 ； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由c a ＝4 5 ，即 k－5 4＋k ＝4 5 ，解得 k＝21. 答案 C 5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴 上，离心率为 2 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 ________． 解析 根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)．∵e＝ 2 2 ，∴c a ＝ 2 2 ，根 据△ABF2 的周长为 16 得 4a＝16，因此 a＝4，b＝2 2，所以椭圆方程为x2 16 ＋y2 8 ＝1. 答案 x2 16 ＋y2 8 ＝1 考向一 椭圆定义的应用 【例 1】►(2011·青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 → ⊥PF2 → .若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________. [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1 → ⊥PF2 → ，进 而得解． 解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1 → ⊥PF2 → ， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝1 2|PF1||PF2| ＝1 2 ×2b2＝b2＝9. ∴b＝3. 答案 3 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可 求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． 【训练 1】 已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x2 3 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆 的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A．2 3 B．6 C．4 3 D．12 解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周长为 4a＝4 3(F 是椭圆的另外一个焦点)． 答案 C 考向二 求椭圆的标准方程 【例 2】►(1)求与椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 有相同的离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆方程． (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5、3，过 P 且与长 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程． [审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定． 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝t(t＞0)， ∵椭圆过点(2，－ 3)，∴t＝22 4 ＋－ 32 3 ＝2， 故所求椭圆标准方程为x2 8 ＋y2 6 ＝1. (2)设所求的椭圆方程为 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)或y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a＞b＞0)， 由已知条件得 2a＝5＋3， 2c2＝52－32， 解得 a＝4，c＝2，b2＝12. 故所求方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1 或y2 16 ＋x2 12 ＝1. 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于 a、b 的方程组，先定型、再定 量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为 mx2＋ny2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出 m、n 即可． 【训练 2】 (1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程． (2)已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点 M，N 与 F 构成正三角形，求椭圆的方程． 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上， 设方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)， ∵椭圆过点 A(3,0)，∴ 9 a2 ＝1，a＝3， ∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x2 9 ＋y2＝1. 若椭圆的焦点在 y 轴上， 设椭圆方程为y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a＞b＞0)， ∴椭圆过点 A(3,0)，∴02 a2 ＋ 9 b2 ＝1，∴b＝3， 又 2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y2 81 ＋x2 9 ＝1. 综上所述，椭圆方程为x2 9 ＋y2＝1 或y2 81 ＋x2 9 ＝1. (2)由△FMN 为正三角形，则 c＝|OF|＝ 3 2 |MN|＝ 3 2 ×2 3b＝1.∴b＝ 3.a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方 程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. 考向三 椭圆几何性质的应用 【例 3】►(2011·北京)已知椭圆 G：x2 4 ＋y2＝1.过点(m,0)作圆 x2＋y2＝1 的切线 l 交椭圆 G 于 A， B 两点． (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值． [审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出 c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联 立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值． 解 (1)由已知得，a＝2，b＝1， 所以 c＝ a2－b2＝ 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)， 离心率为 e＝c a ＝ 3 2 . (2)由题意知，|m|≥1. 当 m＝1 时，切线 l 的方程为 x＝1，点 A，B 的坐标分别为 1， 3 2 ，1，－ 3 2 ，此时|AB|＝ 3. 当 m＝－1 时，同理可得|AB|＝ 3. 当|m|＞1 时，设切线 l 的方程为 y＝k(x－m)． 由 y＝kx－m， x2 4 ＋y2＝1. 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 8k2m 1＋4k2 ，x1x2＝4k2m2－4 1＋4k2 . 又由 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，得 |km| k2＋1 ＝1， 即 m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ 1＋k2 64k4m2 1＋4k22 －44k2m2－4 1＋4k2 ＝4 3|m| m2＋3. 由于当 m＝±1 时，|AB|＝ 3， 所以|AB|＝4 3|m| m2＋3 ，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB|＝4 3|m| m2＋3 ＝ 4 3 |m|＋ 3 |m| ≤2， 且当 m＝± 3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为 2. (1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二 是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解； 三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． (2)弦长公式 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2. 【训练 3】 (2012·武汉质检)在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过 A，B 两点，它 的一个焦点为点 C，另一个焦点在 AB 上，则这个椭圆的离心率为________． 解析 设另一个焦点为 F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋ 2＝4a，则 a＝2＋ 2 4 ， 设|FA|＝x， ∴ x＋1＝2a， 1－x＋ 2＝2a， ∴x＝ 2 2 ，∴1＋ 2 2 2＝4c2， ∴c＝ 6 4 ，e＝c a ＝ 6－ 3. 答案 6－ 3 考向四 椭圆中的定值问题 【例 4】►(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e＝ 2 2 ， 一条准线的方程为 x＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点 P 满足：O P→＝OM→＋2O N→，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之 积为－1 2 .问：是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求 F1，F2 的坐标； 若不存在，说明理由． [审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用 设而不求的方法求出 P 点． 解 (1)由 e＝c a ＝ 2 2 ，a2 c ＝2 2， 解得 a＝2，c＝ 2，b2＝a2－c2＝2， 故椭圆的标准方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由 O P→＝OM→＋2O N→得 (x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)， 即 x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2. 因为点 M、N 在椭圆 x2＋2y2＝4 上， 所以 x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4， 故 x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2) ＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设 kOM，kON 分别为直线 OM，ON 的斜率， 由题设条件知 kOM·kON＝y1y2 x1x2 ＝－1 2 ， 因此 x1x2＋2y1y2＝0， 所以 x2＋2y2＝20. 所以 P 点是椭圆 x2 2 52 ＋ y2  102 ＝1 上的点， 设该椭圆的左、右焦点为 F1，F2， 则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值． 又因 c＝ 2 52－ 102＝ 10， 因此两焦点的坐标为 F1(－ 10，0)，F2( 10，0)． 本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点 P，利 用设而不求的方法求出 P 点的轨迹方程，从而找出定点． 【训练 4】 (2010·安徽)如图， 已知椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e＝1 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程． 解 (1)设椭圆 E 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)， 由 e＝1 2 ，即c a ＝1 2 ，得 a＝2c，得 b2＝a2－c2＝3c2. ∴椭圆方程可化为 x2 4c2 ＋ y2 3c2 ＝1. 将 A(2,3)代入上式，得1 c2 ＋3 c2 ＝1，解得 c＝2， ∴椭圆 E 的方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1. (2)由(1)知 F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线 AF1 的方程为 y＝3 4(x＋2)，即 3x－4y＋6＝0，直线 AF2 的方程为 x＝2. 由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率为正数． 设 P(x，y)为 l 上任一点，则|3x－4y＋6| 5 ＝|x－2|. 若 3x－4y＋6＝5x－10，得 x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由 3x－4y＋6＝－5x＋10，得 2x－y－1＝0， ∴直线 l 的方程为 2x－y－1＝0. 规范解答 16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题 【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的 形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题 中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上． 【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立， 结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数． 【示例】►(本题满分 12 分)(2011·天津)设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2. 点 P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2 与圆(x＋1)2＋(y－ 3)2＝16 相交于 M，N 两点，且|MN|＝5 8|AB|，求椭圆的方程． 第(1)问由|PF2|＝|F1F2|建立关于 a、c 的方程；第(2)问可以求出点 A、B 的坐标或利 用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解． [解答示范] (1)设 F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以 a－c2＋b2＝2c.整理得 2 c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝1 2.所以 e＝1 2.(4 分) (2)由(1)知 a＝2c，b＝ 3c，可得椭圆方程为 3x2＋4y2＝12c2，直线 PF2 的方程为 y＝ 3(x－c)． A、B 两点的坐标满足方程组 3x2＋4y2＝12c2， y＝ 3x－c. 消去 y 并整理，得 5x2－8cx＝0.解得 x1＝0， x2＝8 5c.(6 分) 得方程组的解为 x1＝0， y1＝－ 3c， x2＝8 5c， y2＝3 3 5 c. 不妨设 A 8 5c，3 3 5 c ，B(0，－ 3c)， 所以|AB|＝ 8 5c 2＋ 3 3 5 c＋ 3c 2＝16 5 c.(8 分) 于是|MN|＝5 8|AB|＝2c. 圆心(－1， 3)到直线 PF2 的距离 d＝|－ 3－ 3－ 3c| 2 ＝ 3|2＋c| 2 .(10 分) 因为 d2＋ |MN| 2 2＝42，所以3 4(2＋c)2＋c2＝16. 整理得 7c2＋12c－52＝0. 得 c＝－26 7 (舍)，或 c＝2. 所以椭圆方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1.(12 分) 用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c)，这 样可避免繁琐的运算而失分． 【试一试】 已知直线 y＝－1 2x＋2 和椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)相交于 A、B 两点，M 为线段 AB 的中点，若|AB|＝2 5，直线 OM 的斜率为1 2 ，求椭圆的方程． [尝试解答] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 则 x21 a2 ＋y21 b2 ＝1， ① x22 a2 ＋y22 b2 ＝1， ② ①－②得：y2－y1 x2－x1 ＝－b2 a2 x1＋x2 y1＋y2 . ∴kAB＝－b2 a2 ×x0 y0 ＝－1 2.③ 又 kOM＝y0 x0 ＝1 2 ，④ 由③④得 a2＝4b2. 由 y＝－1 2x＋2， x2 4b2 ＋y2 b2 ＝1 得：x2－4x＋8－2b2＝0， ∴x1＋x2＝4，x1·x2＝8－2b2. ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 5 2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 5 2 16－32＋8b2 ＝ 5 2 8b2－16 ＝2 5. 解得：b2＝4. 故所求椭圆方程为：x2 16 ＋y2 4 ＝1.