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- 2021-05-14 发布
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2020-2021学年高考数学（理）考点：函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．
2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－]和[，＋∞)．
1．（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
2．（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于，其图象的对称轴为，
则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，
但f（x）在［0，2］上不是单调函数.
1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间上为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，为反比例函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，，为指数函数，在区间上为增函数，符合题意；
对于，，为正弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；
对于，，是指数函数，在上为减函数，不符合题意；
故选．
2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，其值域为，，不符合题意；
对于，，其值域为，不符合题意；
对于，，值域为且在区间上单调递增，符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意；
故选．
3．（2016•安庆三模）若函数，在区间，和，上均为增函数，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】，
，
为实数集上的偶函数，由在区间，和，上均为增函数，
知在，上为增函数，在，上为减函数，
函数的对称轴，得，．
故选．
4．（2016•天津二模）若，在定义域上是单调函数，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在定义域上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当时，，
即，解之得
时，是增函数，
又时，是增函数，，得或
因此，实数的取值范围是：
②函数的单调性是减函数时，可得当时，，
即，解之得或．
时，是减函数，
又时，是减函数，，得或
因此，实数的取值范围是：
综上所述，得
故选．
5．（2020春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；
对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；
故选．
6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在上是增函数的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于，函数在递减，不合题意；
对于，函数在递减，不合题意；
对于，函数在递减，不合题意；
对于，函数在递增，符合题意；
故选．
7．（2020春•郑州期末）函数的单调减区间是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的导数为
，
令，解得．
即有单调减区间为．
故选．
8．（2020•北京模拟）下列函数中，在内单调递增，并且是偶函数的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．的对称轴为，为非奇非偶函数，不满足条件．
．是偶函数，但在内不是单调函数，不满足条件．
．为偶函数，在内单调递增，满足条件，
．，内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．
故选．
9．（2019春•武邑县校级期中）函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数，其导数，
若在区间上单调递增，则在上恒成立，
则有在上恒成立，
必有，
故选．
10．（2019秋•东海县期中）函数的单调减区间是
A． B．
C．，， D．和
【答案】D
【解析】根据题意，函数，其定义域为其导数，
分析可得：当时，，即函数在上为减函数，
当时，，即函数在上为减函数；
综合可得：函数的单调减区间是和；
故选．
11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数的单调递减区间为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
即函数的单调递减区间为，
故选．
12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，在上单调递增，符合题意；
对于，，为反比例函数，在上单调递减，不符合题意；
对于，，为指数函数，在上单调递减，不符合题意；
对于，，为二次函数，在上单调递减，不符合题意；
故选．
13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在，上单调递减的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，为二次函数，其开口向下且对称轴为，在，上单调递减，符合题意；
对于，，在上为增函数，不符合题意；
对于，，在上为增函数，不符合题意；
对于，，在上为增函数，不符合题意；
故选．
14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数，则函数的单调增区间是
A． B．
C．，， D．和．
【答案】D
【解析】根据题意，函数，其导数，
易得在区间和上，，
即函数在区间和．为增函数，
故选．
15．（2019春•温州期中）函数在上是减函数．则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数在上是减函数，
则有，解可得，
故选．
16．（2019•湖南模拟）定义在的函数与函数在，
上具有相同的单调性，则的取值范围是
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】B
【解析】根据题意，函数，其定义域为，则上为减函数，
在，上为减函数，
必有，解可得，
即的取值范围为，；
故选．
17．（2019秋•金台区期中）函数的单调递增区间是
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】令，
则，
由的对称轴为，
可得函数在递增，，递减，
而在上递减，
由复合函数的单调性：同增异减，
可得函数的单调递增区间是，，
故选．
18．（2019秋•天津期中）函数的单调递增区间是
A． B． C．， D．
【答案】C
【解析】令，
解得：或，
而函数的对称轴是：，
由复合函数同增异减的原则，
故函数的单调递增区间是，，
故选．
19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间上是递增函数的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】．时，，该函数在上是递增函数，；所以该选项正确
．是一次函数，在上是递减函数，所以该选项错误；
．是反比例函数，在上是递减函数，所以该选项错误；
．是二次函数，在上是递减函数，所以该选项错误．
故选．
20．（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域为___________；单调递减区间是___________．
【答案】；，
【解析】函数的定义域为；，
令，得，
函数的单调递减区间为，．
故答案为：；单调递减区间为，．
21．（2019•西湖区校级模拟）函数的单调递增区间为___________，值域为___________．
【答案】和，，，，
【解析】，解得或，函数的单调递增区间为
和，，单调递减区间为，，，，
即函数在处有极大值，在处有极小值，
所以函数的值域为，，．
故答案为：和，，，，．
22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数，则（4）___________；函数的单调递减区间是___________．
【答案】1，，
【解析】（4）；
（4）（1）；
时，，对称轴为；
在，上单调递减；
的单调递减区间为，．
故答案为：1，，．
23．（2017•河东区一模）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意知，，
则，
在上是单调函数，
在上恒成立，
则△，解得，
实数的取值范围是，
故答案为：．
24．（2016•永康市模拟）设函数，若（1），则实数___________，函数的单调增区间为___________．
【答案】2，
【解析】函数，
可得（1），（1）（2），
解得；
的增区间为，
．
故答案为：2，
25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数的单调递增区间为___________．
【答案】，
【解析】根据题意，，是开口向下的二次函数，其对称轴为，
故的单调递增区间为，；
故答案为：，．
26．（2019秋•香坊区校级月考）函数的值域是___________，单调递增区间是___________．
【答案】，；，
【解析】根据题意，函数，
设，必有，解可得，
必有，则，则有，即函数的值域为，；
又由，必在区间，上为增函数，则，上为减函数，则函数的递增区间为，；
故答案为：，；，．
27．（2019春•江阴市期中）已知在，上是单调函数，则实数的取值范围为___________．
【答案】或
【解析】根据题意，为二次函数，其对称轴为，
若在，上是单调函数，则有或，
解可得或，
即的取值范围为或；
故答案为：或．
28．（2018秋•驻马店期末）已知是定义在，上的单调递增函数，则不等式的解集是___________．
【答案】，
【解析】根据题意，是定义在，上的单调递增函数，
则，
解可得：，
即不等式的解集为，；
故答案为：，．
29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数，则的单调递增区间是___________．
【答案】
【解析】；
在上单调递增；
即的单调递增区间为．
故答案为：．
30．（2019秋•思明区校级期中）函数的单调减区间为___________．
【答案】，
【解析】当时，，
当时，，
这样就得到一个分段函数．
的对称轴为：，开口向上，时是增函数；
，开口向下，对称轴为，
则时函数是增函数，时函数是减函数．
即有函数的单调减区间是，．
故答案为：，．
31．（2018秋•定远县期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】函数
函数的增区间为和，减区间是．
在区间上单调递减，
，，，得，解之得
故答案为：．
32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数
（1）若，求函数的最小值．
（2）求函数的单调区间．
【解析】（1），在区间上单调递增，
所以在，上是增函数，
所以
（2）
当时，在，上是增函数
当时，在上递减，在递增，所以
①当时，在，上是增函数；
②当时，在上是减函数，在上是增函数；
综上所述，当时，在，上是增函数
当时，在上是减函数，在上是增函数．
33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数的值域；
（2）求函数的单调区间．
【解析】（1），则，
所以，
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，
所以当时，取得最小值为，无最大值，
所以函数的值域为．
（2）设．令，解得，
所以函数的定义域为，，
，对称轴方程为，
在，上为单调增函数，而在上为单调减函数，
因为为单调减函数，
函数的单调增区间为，单调减区间为，．
34．（2018秋•合肥期末）已知函数．
（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于的不等式（1）．
【解析】（1），则函数是奇函数，
则当时，设，
则
，
，
，即，，
则，即，
则在，上是增函数，
是上的奇函数，
在上是增函数．
（2）在上是增函数，
不等式（1）等价为不等式，
即．
即不等式的解集为．
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