高考立体几何专题复习 15页

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  • 2021-05-14 发布

高考立体几何专题复习

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高考数学分类汇编:立体几何 一、选择题:‎ ‎1.在空间,下列命题正确的是( )‎ A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 ‎2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该集合体 的俯视图为 ‎ ‎ ‎2.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )‎ A. B‎.2 C. D.6‎ ‎4.如图,是正方体的棱的中点,给出下列四个命题:‎ ‎①过点有且只有一条直线与直线都相交;‎ ‎②过点有且只有一条直线与直线都垂直;‎ ‎③过点有且只有一个平面与直线都相交;‎ ‎④过点有且只有一个平面与直线都平行.‎ 其中真命题是 A.②③④ B.①③④ C.①②④ D. ①②③‎ ‎5.设长方体的长、宽、高分别为‎2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ‎ (A)‎3‎a2 (B)‎6‎a2 (C)‎12‎a2 (D) ‎24‎a2‎ ‎6.已知是球表面上的点,,,,,则球的表面积等于 ‎(A)4 (B)3 (C)2 (D)‎ ‎7.一个几何体的三视图如右图,该几何体的表面积是 ‎(A)372 (B)360 (C)292 (D)280‎ ‎8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 ‎(A)cm3 ‎ ‎ B)cm3‎ ‎(C)cm3 ‎ ‎(D)cm3‎ ‎9.如图为正三角形,,,则多面体的正视图(也称主视图)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ‎(A)只有1个 (B)恰有3个 ‎ ‎(C)恰有4个 (D)有无穷多个 ‎11.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ‎ ‎(A)2 (B)1 (C) (D)‎ ‎12.用、、表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:‎ ‎①若∥,∥,则∥;②若⊥,⊥,则⊥;③若∥,∥,则∥;‎ ‎④若⊥,⊥,则∥. ‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④‎ ‎13.直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于 ‎ ‎ (A)30° (B)45°(C)60° (D)90°‎ ‎14.正方体-中,与平面所成角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎15.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎16.与正方体ABCD—A1B‎1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 ‎(A)有且只有1个 (B)有且只有2个 (C)有且只有3个 (D)有无数个 ‎17.已知三棱锥中,底面为边长等于2的等边三角形,垂直于底面,=3,那么直线与平面所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 二、填空题:‎ ‎1.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ‎ ‎2.长方体的顶点均在同一个球面上,,,则,两点间的球面距离为 ‎ ‎3.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形,侧棱底面,且,则该四棱椎的体积是 ‎ ‎4.如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 .‎ ‎5.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的______‎ ‎①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 ‎6.圆柱形容器内盛有高度为‎3cm的水,若放入三个相同的珠(球的半么与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是____cm.‎ ‎7.已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,,‎ 若,则两圆圆心的距离 。‎ O M N E A B ‎8.如图,二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则 与平面所成的角的正弦值是 .‎ 三、解答题:‎ ‎1.在五面体ABCDEF中,ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,‎ ‎∠BAD=∠CDA=45°.‎ ‎(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值; ‎ ‎(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF;‎ ‎(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值 ‎2.如图,在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中,E,H分别是A1B1,D‎1C1上的点(点E与B1不重合),且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G.‎ ‎ (I)证明:AD//平面EFGH;‎ ‎ (II)设AB=2AA1=在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p.当点E,F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=时,求p的最小值.‎ ‎3.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,AB=,CE=EF=1‎ ‎(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎4.与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面,.‎ ‎(1)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCD,F为线段A’C的中点。‎ ‎(Ⅰ)求证:BF∥平面A’DE;‎ ‎(Ⅱ)M为线段DE的中点,求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值 ‎6.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,‎ ‎(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;‎ ‎(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB; ‎ ‎(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;‎ ‎7.如图,棱柱的侧面是菱形,‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)设是上的点,且平面,求的值.‎ ‎ ‎ ‎8.如图弧AEC是半径为的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎(1)证明:EBFD ‎(2)求点B到平面FED的距离. ‎ ‎9.四棱锥中,底面为矩形,面,,是棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值. ‎ ‎10.如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点 ‎(Ⅰ)求异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值; ‎ ‎(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M ‎11.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.‎ ‎ (Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.‎ ‎12.如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎13.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M -BC′-B′正切值;w_w w. k#s5_u.c o*m ‎14.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎(2)求该安全标识墩的体积 ‎(3)证明:直线BD平面PEG ‎15.已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.‎ z y x E1‎ G1‎ ‎(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;‎ ‎(2)证明:直线平面;‎ ‎16.平面,,,,为中点 ‎(I)证明:平面;‎ ‎(II)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎17.如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面; ‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点,求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎18.如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点,DE⊥平面BCC1‎ ‎(Ⅰ)证明:AB=AC ‎A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 ‎19.如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,‎ 求证:(1)EF∥平面ABC; ‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎20.在四棱锥中,底面是矩形,平面,,. 以的中点为球心、为直径的球面交于点,交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面; ‎ ‎(2)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎(04山东文科)如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.‎ ‎(I)求点P到平面ABCD的距离;‎ ‎(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.‎ ‎(16)已知是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题:‎ ‎①若则②若则③若,则④是两条异面直线,若,则 上面的命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号)‎ ‎16.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面,则a、b在上的射影有可能是 .‎ ‎①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ‎③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).‎ ‎10.已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体EFGH的表面积为T,则等于 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎(05山东文科)如图,已知长方体,,直线与平面所成的角为,垂直于为的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求异面直线与所成的角;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成二面角(锐角)的大小;‎ ‎(Ⅲ)求点到平面的距离 ‎(06山东理科)如图,已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC,等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直,且ACB=90°,设AC=2,BC=‎ ‎(1)求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线;‎ ‎(2)求点A到平面VBC的距离;‎ ‎(3)求二面角A-VB-C的大小.‎ ‎(16)已知m、n是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题:‎ ‎① 若,则平行于平面内的任意一条直线 ②若则 ‎③若,则④若则 ‎ 上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命的序号)‎ ‎(9)设地球半径为R,若甲地位于北纬东经,乙地位于南纬度东经,则甲、乙两地球面距离为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(07山东文科) 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.‎ ‎(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;‎ ‎(Ⅲ)设点M在棱PC上,且为何值时,PC⊥平面BMD.‎ ‎(07山东理科)在直四棱柱中,已知,,.‎ ‎(I)设是的中点,求证: (2)求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎3下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )‎ ‎(A)1∶ (B)1∶3 (C)1∶3 (D)1∶9‎ ‎(16)如图,在正三棱柱ABC-中,所有棱长均为1,则点B到平面ABC的距离为    .‎ ‎(08理科)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ P B E C D F A ‎(Ⅱ)若为上的动点,与所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.‎ ‎(08山东文科)A B C M P D 如图,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,.‎ ‎(Ⅰ)设是上的一点,证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求四棱锥的体积.‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6.右图是一个几何体的三视图,该几何体的表面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎(09文科)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ E,E1分别是棱AD,AA1的中点.‎ (1) 设F是棱AB的中点,证明:直线EE//平面FCC;‎ (2) 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.‎ ‎(9)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 ‎(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(09理科)E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ 如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ 求二面角B-FC-C的余弦值。‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎(4)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 俯视图 ‎ ‎(A) 2π+ (B)4π+ (C) 2π+ (D)4π+‎ ‎(10山东文科)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA。‎ ‎(Ⅰ)求证:平面EFG平面PDC;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比。‎ ‎(4)在空间,下列命题正确的是 ‎(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行 ‎(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行 ‎(10山东理科)如图,在五棱锥P—ABCDE中,平面ABCDE,AB//CD,AC//ED,AE//BC,,三角形PAB是等腰三角形 ‎ (Ⅰ)求证:平面PCD 平面PAC;‎ ‎ (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;‎ ‎ (Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积