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- 2021-05-14 发布
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高考数学分类汇编:立体几何
一、选择题:
1.在空间,下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该集合体
的俯视图为
2.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
A. B.2 C. D.6
4.如图,是正方体的棱的中点,给出下列四个命题:
①过点有且只有一条直线与直线都相交;
②过点有且只有一条直线与直线都垂直;
③过点有且只有一个平面与直线都相交;
④过点有且只有一个平面与直线都平行.
其中真命题是
A.②③④ B.①③④ C.①②④ D. ①②③
5.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
(A)3a2 (B)6a2 (C)12a2 (D) 24a2
6.已知是球表面上的点,,,,,则球的表面积等于
(A)4 (B)3 (C)2 (D)
7.一个几何体的三视图如右图,该几何体的表面积是
(A)372 (B)360 (C)292 (D)280
8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是
(A)cm3
B)cm3
(C)cm3
(D)cm3
9.如图为正三角形,,,则多面体的正视图(也称主视图)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
(A)只有1个 (B)恰有3个
(C)恰有4个 (D)有无穷多个
11.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
(A)2 (B)1 (C) (D)
12.用、、表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:
①若∥,∥,则∥;②若⊥,⊥,则⊥;③若∥,∥,则∥;
④若⊥,⊥,则∥.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④
13.直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
14.正方体-中,与平面所成角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
15.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A) (B) (C) (D)
16.与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
(A)有且只有1个 (B)有且只有2个 (C)有且只有3个 (D)有无数个
17.已知三棱锥中,底面为边长等于2的等边三角形,垂直于底面,=3,那么直线与平面所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
二、填空题:
1.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
2.长方体的顶点均在同一个球面上,,,则,两点间的球面距离为
3.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形,侧棱底面,且,则该四棱椎的体积是
4.如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 .
5.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的______
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
6.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水,若放入三个相同的珠(球的半么与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是____cm.
7.已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,,
若,则两圆圆心的距离 。
O
M
N
E
A
B
8.如图,二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则
与平面所成的角的正弦值是 .
三、解答题:
1.在五面体ABCDEF中,ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,
∠BAD=∠CDA=45°.
(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF;
(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值
2.如图,在长方体ABCD – A1B1C1D1中,E,H分别是A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G.
(I)证明:AD//平面EFGH;
(II)设AB=2AA1=在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p.当点E,F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=时,求p的最小值.
3.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,AB=,CE=EF=1
(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;
(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;
4.与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面,.
(1)求直线与平面所成角的大小;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCD,F为线段A’C的中点。
(Ⅰ)求证:BF∥平面A’DE;
(Ⅱ)M为线段DE的中点,求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值
6.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
7.如图,棱柱的侧面是菱形,
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)设是上的点,且平面,求的值.
8.如图弧AEC是半径为的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=
(1)证明:EBFD
(2)求点B到平面FED的距离.
9.四棱锥中,底面为矩形,面,,是棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.
10.如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点
(Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M
11.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
12.如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .
13.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.
(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;
(Ⅱ)求二面角M -BC′-B′正切值;w_w w. k#s5_u.c o*m
14.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
(2)求该安全标识墩的体积
(3)证明:直线BD平面PEG
15.已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.
z
y
x
E1
G1
(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线平面;
16.平面,,,,为中点
(I)证明:平面;
(II)求与平面所成角的正弦值.
17.如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当且E为PB的中点,求AE与平面PDB所成的角的大小.
18.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(Ⅰ)证明:AB=AC A
C
B
A1
B1
C1
D
E
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
19.如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面平面.
20.在四棱锥中,底面是矩形,平面,,. 以的中点为球心、为直径的球面交于点,交于点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成的角的大小;
(3)求点到平面的距离.
(04山东文科)如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(I)求点P到平面ABCD的距离;
(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.
(16)已知是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题:
①若则②若则③若,则④是两条异面直线,若,则
上面的命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号)
16.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面,则a、b在上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).
10.已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体EFGH的表面积为T,则等于 ( )
A. B. C. D.
(05山东文科)如图,已知长方体,,直线与平面所成的角为,垂直于为的中点.
(Ⅰ)求异面直线与所成的角;
(Ⅱ)求平面与平面所成二面角(锐角)的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离
(06山东理科)如图,已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC,等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直,且ACB=90°,设AC=2,BC=
(1)求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线;
(2)求点A到平面VBC的距离;
(3)求二面角A-VB-C的大小.
(16)已知m、n是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题:
① 若,则平行于平面内的任意一条直线 ②若则
③若,则④若则
上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命的序号)
(9)设地球半径为R,若甲地位于北纬东经,乙地位于南纬度东经,则甲、乙两地球面距离为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(07山东文科) 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且为何值时,PC⊥平面BMD.
(07山东理科)在直四棱柱中,已知,,.
(I)设是的中点,求证: (2)求二面角的余弦值.
3下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
(A) (B) (C) (D)
(8)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
(A)1∶ (B)1∶3 (C)1∶3 (D)1∶9
(16)如图,在正三棱柱ABC-中,所有棱长均为1,则点B到平面ABC的距离为 .
(08理科)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.
(Ⅰ)证明:;
P
B
E
C
D
F
A
(Ⅱ)若为上的动点,与所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.
(08山东文科)A
B
C
M
P
D
如图,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,.
(Ⅰ)设是上的一点,证明:平面平面;
(Ⅱ)求四棱锥的体积.
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
6.右图是一个几何体的三视图,该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
(09文科)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
E,E1分别是棱AD,AA1的中点.
(1) 设F是棱AB的中点,证明:直线EE//平面FCC;
(2) 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.
(9)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(09理科)E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
求二面角B-FC-C的余弦值。
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
(4)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
俯视图
(A) 2π+ (B)4π+ (C) 2π+ (D)4π+
(10山东文科)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA。
(Ⅰ)求证:平面EFG平面PDC;
(Ⅱ)求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比。
(4)在空间,下列命题正确的是
(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行
(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行
(10山东理科)如图,在五棱锥P—ABCDE中,平面ABCDE,AB//CD,AC//ED,AE//BC,,三角形PAB是等腰三角形
(Ⅰ)求证:平面PCD 平面PAC;
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;
(Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积