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  • 2021-05-14 发布

四川高考文科数学试题文史类解析

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绝密 ★ 启封并使用完毕前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数 学(文史类)‎ 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。满分l50‎ 分。考试时间l20分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 注意事项:‎ ‎ 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。‎ ‎ 第Ⅰ卷共10小题。‎ 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合,集合,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵,,,选A.‎ 2. 设向量与向量共线,则实数 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由共线向量,的坐标运算可知,‎ 即,选B.‎ ‎3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 ‎(A)抽签法 (B)系统抽样法 ‎ ‎(C)分层抽样法 (D)随机数法 ‎【答案】C ‎【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异,所以选择分层抽样法。‎ ‎4.设,为正实数,则“”是“”的 ‎ ‎(A)充要条件 (B)充分不必要条件 ‎ ‎(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由已知当时,∴,“”是“”的充分条件。反过来由,可得,∴“”是“”的必要条件,综上,“”是“”的充要条件,选A.‎ ‎5.下列函数中,最小正周期为的奇函数是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A. ,可知其满足题意;‎ 是 否 开始 结束 K=k+1‎ K=1‎ k>4?‎ 输出S B. ,可知其最小正周期为,偶函数;‎ C. ,最小正周期为,非奇非偶函数;‎ D. ,可知其最小正周期为,非奇非偶函数.选A ‎6.执行如图所示的程序框图,输出S的值是 ‎(A) (B) (C)- (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否,当k=5时就执行是的步骤,‎ 所以,选D.‎ ‎7.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则 (A) ‎ (B) (C)6 (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为,且右焦点,则直线与两条渐近线的交点分别为,,∴,选D.‎ ‎8. 某食品的保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)满足函数关系( 为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在的保鲜时间是192小时,在23的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是 ‎(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,,∴, ‎ ‎∴当时,,∴,选C.‎ ‎9. 设实数满足,则的最大值为 ‎(A) (B) (C) 12 (D)14‎ ‎【答案】A ‎【解析】由第一个条件得:。于是,,当且仅当时取到最大值。经验证,在可行域内,选.‎ ‎10.设直线与抛物线相交于A,B两点,与圆相切于点M,且M为线 段AB的中点.若这样的直线恰有4条,则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 设,,,则 两式相减,得:,当直线的斜率不存在时,显然符合条件的直线有两条。当直线的斜率存在时,可得:,又∵‎ ‎,∴,∴‎ 由于M在抛物线的内部,∴,‎ ‎∴,∴,‎ 因此,,选D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。‎ ‎11. 设是虚数单位,则复数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知:‎ ‎12. 的值是 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎13. .已知,则的值是________. ‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由已知得,,‎ ‎∴‎ ‎14. 三棱柱中,,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是,,的中点,则三棱锥的体积是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】采用等积法,‎ ‎15.已知函数, (其中)。对于不相等的实数,,设,,现有如下命题:‎ ‎(1) 对于任意不相等的实数,,都有;‎ ‎(2) 对于任意的及任意不相等的实数,,都有;‎ ‎(3) 对于任意的,存在不相等的实数,,使得;‎ ‎(4) 对于任意的,存在不相等的实数,,使得。‎ 其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号)。‎ ‎【答案】(1) (4)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设,,∵函数是增函数,∴,, 则=>0,所以正确;‎ ‎(2)设,则,∴‎ 不妨我们设,则,矛盾,所以(2)错。‎ ‎(3)∵,由(1)(2)可得:,化简得到,‎ ‎,也即,令 ‎,即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根,。则,显然当时,恒成立,即单调递增,最多与x轴有一个交点,不满足题意,所以错误。‎ ‎(4)同理可得,设,即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根,,从而不是恒为单调函数。,恒成立,∴单调递增,又∵时,,时,。所以为先减后增的函数,满足要求,所以正确。‎ 三、简答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 设数列的前项和,且,,成等差数列。‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)记数列的前项和,求。‎ ‎【解答】:‎ ‎(Ⅰ)当时有, ‎ 则 , () ,∴数列是以为首项,2为公比的等比数列。‎ ‎ 又由题意得,,∴ ,∴ ‎ ‎(Ⅱ)由题意得,∴ ‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 一个小客车有5个座位,其座位号为,乘客 的座位号为,他们按照座位号顺序先后上车,乘客因身体原因没有坐自己号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位.‎ ‎(I)若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)‎ 乘客 ‎ ‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(II)若乘客坐到了2号座位,其,他乘客按规则就坐,求乘客坐到5号座位的概率。‎ ‎【解答】‎ ‎(Ⅰ)当乘客坐在3号位置上,此时的位置没有被占,只能坐在2位置,位置被占,可选剩下的任何,即可选1、4、5:①当选1位置,位置没被占,只能选4位置,选剩下的,只有一种情况;②当 选4位置,可选5位置也可选1位置,选剩下的,有两种情况;③当 选5位置,只可选4位置选剩下的,有一种情况;‎ 乘客 ‎ ‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎ (Ⅱ)这个问情况比较复杂,需要列表解答,当坐2位置时,位置被占,可选剩下的 座位,下表列出了所有可能 乘客 ‎ ‎ 座位号 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 综上,共有8种情况,坐在5位置上的情况有4种,所求概率为 ‎ ‎18.(本小题满分分)‎ 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。‎ ‎(I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(II)判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(III)证明:平面 ‎。‎ ‎【解答】‎ ‎(I)如答图1所示 ‎ ‎ 答图1 答图2 答图3‎ ‎(II)如答图2所示,连接,易得四边形和四边形为,所以,,又∵平面,且平面,∴平面,平面,又∵平面,且,所以平面平面 ‎ (III)如答图3所示,易得,∴平面,‎ 得∵平面,∴,同理可得,,又, ‎ ‎∴平面。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知为的内角,是关于的方程的两实根.‎ ‎(Ⅰ)求的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值.‎ ‎【解答】‎ ‎(Ⅰ)是关于的方程的两个根可得:‎ ‎,,所以,则,由三角形内角和为可知,.‎ ‎(Ⅱ)在中,由正弦定理可得,求得,则.又,由三角形内角和为及诱导公式可知,解得,将代入,解得.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 如图,椭圆()的离心率是,点在短轴上,且。‎ ‎(Ⅰ)球椭圆的方程;‎ x y O B A P ‎(Ⅱ)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数,使得 为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【解答】‎ ‎(Ⅰ)由知,,解得,‎ 又∵由离心率是得到 ; ‎ ‎∴椭圆E的方程为:。‎ ‎(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时,设AB的解析式为,,‎ ‎ 联立:,显然,由 韦达定理可知,,,‎ ‎∴,‎ 这里,与的取值无关,∴,即。‎ 此时,‎ 当直线AB的斜率不存在时,AB就是CD,‎ 那么 ‎∴‎ 综上,存在常数,使得为定值。‎ ‎21.已知函数,其中,设是的导函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:存在,使得恒成立,且在区间(1,)内有唯一解。‎ ‎【解答】:‎ ‎(Ⅰ)∵,∴求导可得,‎ ‎,即 ‎ ‎∴恒成立,∴在其定义域上单调递增。‎ ‎(Ⅱ)∵,∴由(Ⅰ)可知在(1,)内单调递增。‎ 又时,,‎ 当时,显然。而在(1,)是单调递增的,因此在 ‎(1,)内必定存在唯一的使得 …………….. ①。‎ ‎∴当时,,当时,‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增,∴。‎ 由已知条件在区间内有唯一解,∴必有。‎ 即……………………. ②,‎ 由①式得到带入②式化简得:,即,‎ 令,,恒成立,∴为减函数,‎ ‎∵,∴在内有零点,即时,有解,此时为增函数,且,‎ 即。∴存在,使得恒成立,且在区间(1,)内有唯一解。‎