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- 2021-05-14 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。满分l50
分。考试时间l20分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合,集合,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】∵,,,选A.
2. 设向量与向量共线,则实数
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由共线向量,的坐标运算可知,
即,选B.
3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是
(A)抽签法 (B)系统抽样法
(C)分层抽样法 (D)随机数法
【答案】C
【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异,所以选择分层抽样法。
4.设,为正实数,则“”是“”的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由已知当时,∴,“”是“”的充分条件。反过来由,可得,∴“”是“”的必要条件,综上,“”是“”的充要条件,选A.
5.下列函数中,最小正周期为的奇函数是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
A. ,可知其满足题意;
是
否
开始
结束
K=k+1
K=1
k>4?
输出S
B. ,可知其最小正周期为,偶函数;
C. ,最小正周期为,非奇非偶函数;
D. ,可知其最小正周期为,非奇非偶函数.选A
6.执行如图所示的程序框图,输出S的值是
(A) (B) (C)- (D)
【答案】D
【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否,当k=5时就执行是的步骤,
所以,选D.
7.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
(A) (B) (C)6 (D)
【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为,且右焦点,则直线与两条渐近线的交点分别为,,∴,选D.
8. 某食品的保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)满足函数关系( 为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在的保鲜时间是192小时,在23的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时
【答案】C
【解析】
,,∴,
∴当时,,∴,选C.
9. 设实数满足,则的最大值为
(A) (B) (C) 12 (D)14
【答案】A
【解析】由第一个条件得:。于是,,当且仅当时取到最大值。经验证,在可行域内,选.
10.设直线与抛物线相交于A,B两点,与圆相切于点M,且M为线 段AB的中点.若这样的直线恰有4条,则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】
设,,,则
两式相减,得:,当直线的斜率不存在时,显然符合条件的直线有两条。当直线的斜率存在时,可得:,又∵
,∴,∴
由于M在抛物线的内部,∴,
∴,∴,
因此,,选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11. 设是虚数单位,则复数_________.
【答案】
【解析】由题意可知:
12. 的值是 ________.
【答案】
【解析】
13. .已知,则的值是________.
【答案】-1
【解析】由已知得,,
∴
14. 三棱柱中,,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是,,的中点,则三棱锥的体积是_______.
【答案】
【解析】采用等积法,
15.已知函数, (其中)。对于不相等的实数,,设,,现有如下命题:
(1) 对于任意不相等的实数,,都有;
(2) 对于任意的及任意不相等的实数,,都有;
(3) 对于任意的,存在不相等的实数,,使得;
(4) 对于任意的,存在不相等的实数,,使得。
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号)。
【答案】(1) (4)
【解析】
(1)设,,∵函数是增函数,∴,, 则=>0,所以正确;
(2)设,则,∴
不妨我们设,则,矛盾,所以(2)错。
(3)∵,由(1)(2)可得:,化简得到,
,也即,令
,即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根,。则,显然当时,恒成立,即单调递增,最多与x轴有一个交点,不满足题意,所以错误。
(4)同理可得,设,即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根,,从而不是恒为单调函数。,恒成立,∴单调递增,又∵时,,时,。所以为先减后增的函数,满足要求,所以正确。
三、简答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
设数列的前项和,且,,成等差数列。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记数列的前项和,求。
【解答】:
(Ⅰ)当时有,
则 , () ,∴数列是以为首项,2为公比的等比数列。
又由题意得,,∴ ,∴
(Ⅱ)由题意得,∴
17.(本小题满分12分)
一个小客车有5个座位,其座位号为,乘客 的座位号为,他们按照座位号顺序先后上车,乘客因身体原因没有坐自己号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
(I)若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
(II)若乘客坐到了2号座位,其,他乘客按规则就坐,求乘客坐到5号座位的概率。
【解答】
(Ⅰ)当乘客坐在3号位置上,此时的位置没有被占,只能坐在2位置,位置被占,可选剩下的任何,即可选1、4、5:①当选1位置,位置没被占,只能选4位置,选剩下的,只有一种情况;②当 选4位置,可选5位置也可选1位置,选剩下的,有两种情况;③当 选5位置,只可选4位置选剩下的,有一种情况;
乘客
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(Ⅱ)这个问情况比较复杂,需要列表解答,当坐2位置时,位置被占,可选剩下的 座位,下表列出了所有可能
乘客
座位号
2
1
3
4
5
2
3
4
5
1
2
3
4
1
5
2
3
1
4
5
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
综上,共有8种情况,坐在5位置上的情况有4种,所求概率为
18.(本小题满分分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
(I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(II)判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论;
(III)证明:平面
。
【解答】
(I)如答图1所示
答图1 答图2 答图3
(II)如答图2所示,连接,易得四边形和四边形为,所以,,又∵平面,且平面,∴平面,平面,又∵平面,且,所以平面平面
(III)如答图3所示,易得,∴平面,
得∵平面,∴,同理可得,,又,
∴平面。
19.(本小题满分12分)
已知为的内角,是关于的方程的两实根.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,求的值.
【解答】
(Ⅰ)是关于的方程的两个根可得:
,,所以,则,由三角形内角和为可知,.
(Ⅱ)在中,由正弦定理可得,求得,则.又,由三角形内角和为及诱导公式可知,解得,将代入,解得.
20.(本小题满分13分)
如图,椭圆()的离心率是,点在短轴上,且。
(Ⅰ)球椭圆的方程;
x
y
O
B
A
P
(Ⅱ)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数,使得 为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
【解答】
(Ⅰ)由知,,解得,
又∵由离心率是得到 ;
∴椭圆E的方程为:。
(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时,设AB的解析式为,,
联立:,显然,由
韦达定理可知,,,
∴,
这里,与的取值无关,∴,即。
此时,
当直线AB的斜率不存在时,AB就是CD,
那么
∴
综上,存在常数,使得为定值。
21.已知函数,其中,设是的导函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)证明:存在,使得恒成立,且在区间(1,)内有唯一解。
【解答】:
(Ⅰ)∵,∴求导可得,
,即
∴恒成立,∴在其定义域上单调递增。
(Ⅱ)∵,∴由(Ⅰ)可知在(1,)内单调递增。
又时,,
当时,显然。而在(1,)是单调递增的,因此在
(1,)内必定存在唯一的使得 …………….. ①。
∴当时,,当时,
∴在上单调递减,在上单调递增,∴。
由已知条件在区间内有唯一解,∴必有。
即……………………. ②,
由①式得到带入②式化简得:,即,
令,,恒成立,∴为减函数,
∵,∴在内有零点,即时,有解,此时为增函数,且,
即。∴存在,使得恒成立,且在区间(1,)内有唯一解。
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