2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章9-3圆的方程 17页

第3讲　圆的方程 最新考纲　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．‎ 知 识 梳 理 ‎1．圆的定义和圆的方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方 程 标准 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心C(a，b)‎ 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ ‎(D2＋E2－4F＞0)‎ 充要条件：D2＋E2－4F＞0‎ 圆心坐标： 半径r＝ ‎2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：‎ ‎(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；‎ ‎(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；‎ ‎(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)‎ ‎(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)‎ ‎(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ 解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆．‎ ‎(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时才表示圆．‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ 解析　由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.‎ 答案　D ‎3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1‎ 解析　因为点(1,1)在圆的内部，‎ 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－10，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．5 C．4 D．3＋2 解析　由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，‎ ‎∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋ ‎≥3＋2 ＝3＋2，‎ 当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．‎ ‎∴＋的最小值为3＋2.‎ 答案　D ‎12．已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为(　　)‎ A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9‎ B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25‎ C．(x＋6)2＋2＝ D.2＋2＝ 解析　由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上，‎ 得b＝2a＋1　①，‎ 由此圆在y轴上截得的弦长为2，‎ 得b2－a2＝5　②，‎ 由①②得或(舍去)．所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选A.‎ 答案　A ‎13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．‎ 解析　设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.‎ 答案　74‎ ‎14．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，‎ 由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，‎ 且＝b＋5.‎ 解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.‎ 又|BC|＝|OA|＝＝2，‎ 由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝＝＝2，‎ 即＝2，解得m＝5或m＝－15.‎ ‎∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，‎ 又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.‎ ‎∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，‎ 解得2－2≤t≤2＋2.‎ 故所求t的范围为[2－2，2＋2].‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎