2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章9-1直线的方程 18页

第1讲　直线的方程 最新考纲　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ 知 识 梳 理 ‎1．直线的倾斜角与斜率 ‎(1)直线的倾斜角 ‎①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.‎ ‎②范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．‎ ‎(2)直线的斜率 ‎①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．‎ ‎②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.‎ ‎2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)‎ 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1‎ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)‎ 所有直线 ‎3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)‎ ‎(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)‎ ‎(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ 解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.‎ ‎(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.‎ ‎(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．‎ ‎(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．(2017·衡水金卷)直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．45° C．120° D．150°‎ 解析　由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.‎ 答案　B ‎3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．‎ 答案　C ‎4．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______.‎ 解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，∴x＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎5．(教材改编)过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________．‎ 解析　当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；‎ 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.‎ 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0‎ 考点一　直线的倾斜角与斜率(典例迁移)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．‎ 解析　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，‎ 因为α∈，所以≤cos α≤，‎ 因此k＝2·cos α∈[1，]．‎ 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．‎ 又θ∈[0，π)，所以θ∈，‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．‎ 答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ ‎【迁移探究1】 若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解　‎ ‎∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎【迁移探究2】 将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．‎ 解　‎ 如图：‎ 直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图像知直线l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．‎ 规律方法　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．‎ ‎【训练1】 (2017·惠州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A．[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B.‎ 答案　B 考点二　直线方程的求法 ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3,4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋10－5k＝0.‎ 由点线距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 规律方法　根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性．‎ ‎【训练2】 求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；‎ ‎(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．‎ 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ 考点三　直线方程的综合应用 ‎【例3】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ ‎(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ 得A，B(0,1＋2k)．‎ 依题意得 解得k>0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ 规律方法　在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎【训练3】 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．‎ 解　法一　设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△ABO＝ab≥12，‎ 当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，‎ 从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，‎ 且有A，B(0,2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．直线的倾斜角和斜率的关系：‎ ‎(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．‎ ‎2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．‎ ‎3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 解析　直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.‎ 答案　B ‎2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ 解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.‎ 答案　D ‎3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ 解析　∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.‎ 答案　B ‎4．(2017·南昌一中期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)‎ A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0‎ C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0‎ 解析　因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.‎ 答案　A ‎5．(2016·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B．－ ‎ C．－ D. 解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得 a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.‎ 答案　B ‎6．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)‎ 解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．‎ 答案　B ‎7．(2016·衡水一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)‎ A．y＝x＋2 B．y＝x－2‎ C．y＝x＋ D．y＝－x＋2‎ 解析　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.‎ 答案　A ‎8．(2017·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ 解析　∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，‎ ‎∴a＋b＝ab，即＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．‎ ‎∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.‎ 答案　C 二、填空题 ‎9．已知三角形的三个顶点A(－5,0，)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．‎ 解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.‎ 答案　x＋13y＋5＝0‎ ‎10．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．‎ 解析　当≤α<时，≤tan α<1，∴≤k<1.‎ 当≤α<π时，－≤tan α<0，‎ 即－≤k＜0，∴k∈∪[－，0)．‎ 答案　[－，0)∪ ‎11．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．‎ 解析　①若直线过原点，则k＝－，‎ 所以y＝－x，即4x＋3y＝0.‎ ‎②若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，‎ 即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，‎ 所以直线的方程为x＋y＋1＝0.‎ 答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0‎ ‎12．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．‎ 解析　直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由解得x＝2，y＝－2，‎ 所以直线l恒过定点(2，－2)．‎ 答案　(2，－2)‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0‎ C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0‎ 解析　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，‎ 所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，‎ 即4x－3y－4＝0.‎ 答案　D ‎14．(2017·西安调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A. B．[－1,0]‎ C．[0,1] D. 解析　由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.‎ 答案　A ‎15．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ 解析　‎ 设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y)．‎ 则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2,4)，B(3,2)，‎ 设直线l的斜率为k.‎ 又kOA＝2，kOB＝.‎ 如图所示，可知≤k≤2.‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围是.‎ 答案　 ‎16．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．‎ 解析　直线OA的方程为y＝x，‎ 代入半圆方程得A(1,1)，‎ ‎∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，‎ 代入半圆方程得B.‎ 所以直线AB的方程为＝，‎ 即x＋y－－1＝0.‎ 答案　x＋y－－1＝0‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎