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- 2021-05-14 发布
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第九章 圆锥曲线
1. 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方
程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
参数方程
(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （c=）
2c （c=）
离心率
e=1
准线
x=
x=
渐近线
y=±x
焦半径
通径
2p
焦参数
P
第一节 椭圆
知识点精讲
1.椭圆的定义:
第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2
｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
2a>2c 轨迹为椭圆 a=c 轨迹为F1F2 线段a0)上变化，则x2+2y的最大值( )
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 2b
4．（05天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为（ ）
A．43 B． 72 C． 86 D． 90
5. （05山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
_．
8．已知椭圆的离心率，则的值等于 _________．
9 是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，
是椭圆的中心，求证：为定值．
10. (05全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值
11．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．
第二节双曲线及其性质
知识点精讲
1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
(2)双曲线的第二定义:若点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1)
2.双曲线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
焦点:F1(-c,0),F2(c,0)
焦点:F1(0,-c),F2(0,c)
对称性
关于坐标轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b)
范围
|x|≥a;即x≥a,x≤-a.
长轴、短轴、焦距
线段A1A2叫双曲线的实轴,B1B2叫双曲线的虚轴,其中B1(0,b),B2(0,b).|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.
离心率
离心率:e=,00)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
g3.1085 轨迹问题（1）
一、知识要点
1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.
2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.
3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.
二、基础训练
1．已知点、，动点，则点P的轨迹是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2． 若，则点的轨迹是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
3．点与点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是
4．一动圆与圆外切，而与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是
5．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得｜PQ｜＝｜F2P｜，求Q的轨迹方程是 ．
三、例题分析
（一）、定义法
例1. ⊙C：内部一点A（，0）与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程.
例2.已知A（0，7）、B（0，－7），C（12，2），以C为焦点的椭圆经过点A、B，求此椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
（二）、直接法
例3.线段AB的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且，求AB的中点P的轨迹方程。
例4.一条曲线在x轴上方，它上面的每一个点到点的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
（三）、转移法：
例5.△ABC中，B（－3，8）、C（－1，－6），另一个顶点A在抛物线y2=4x上移动，求此三角形重心G的轨迹方程.
例6.已知M是圆O：x2＋y2=a2（a＞0）上任意一点，M在x轴上的射影为N，在线段OM上取点P 使得|OP|=|MN|，求点P的轨迹方程.
N
P
·
O
M
四、作业 同步练习 g3.1085 轨迹问题（1）
1．与两点距离的平方和等于38的点的轨迹方程是
（ ）
2．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）
和
和
3.双曲线经过原点,一个焦点是(4,0),实轴长为2,则双曲线中心的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+y2=1 B.(x-2)2+y2=9
C.(x-2)2+y2=1或(x-2)2+y2=9 D.(x-2)2+y2=1(x≥2)
4.过椭圆4x2+9y2=36内一点P(1,0)引动弦AB,则AB的中点M的轨迹方程是( )
A.4x2+9y2-4x=0 B.4x2+9y2+4x=0 C.4x2+9y2-4y=0 D.4x2+9y2+4y=0
5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
6.P在以F1,F2为焦点的双曲线上运动,则ΔF1F2P的重心G的轨迹方程
是 .
7.已知圆的方程为x2+y2=4,动抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是 .
8(05重庆卷)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为
9．以点F（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。
10.双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x2+y2+4x-10y+20=0的圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。
11求与两定圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x－33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程。
12（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
g3.1086轨迹问题（2）
一、知识要点：
1．相关点法（代入法）：对于两个动点，点在已知曲线上运动导致点运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为然后将其代入已知曲线的方程即得到点的轨迹方程．
2．参数法（交规法）：当动点的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出的范围．
二、基础训练
1．已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆上和椭圆外一点，且点分的比为，则点的轨迹方程为 （ ）
2．设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，则动点的轨迹是 （ ）
两条平行直线
抛物线 双曲线
3．已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是 （ ）
圆 抛物线 椭圆 双曲线
4．双曲线关于直线对称的曲线方程是
5．倾斜角为的直线交椭圆于两点，则线段中点的轨迹方程是
三、经典例题
例1．动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．
例2．求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．
例3．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
四、作业 同步练习 g3.1086轨迹问题（2）
1、P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为： （ ）
A、 B、 C、 D、=1
2、已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是： （ ）
A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支
3、若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）
4．抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）
5．已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨迹方程 （ ）
6、经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 。
7、倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。
8、已知两点P（－2，2），Q（0，2）以及一直线l：y=x，设长为的线段AB（A在B下方）在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。
9、过点A（0，a）作直线与圆(x－2)2+y2=1顺次相交于B、C两点，在BC上取满足BP：PC=AB：AC的点P，（1）求点P的轨迹方程。（2）证明不论a取何值，轨迹恒过一定点。
10、已知椭圆=1，直线l:=1, P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ||OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。
11．设双曲线的离心率为，右准线与两条渐近线交于两点，右焦点为，且为等边三角形．
（1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程；（3）设双曲线经过点，以为左焦点，为左准线的椭圆，其短轴的端点为，求中点的轨迹方程．
第五节圆锥曲线的综合应用
一、复习目标：进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．
二、基础训练
1．已知双曲线的半焦距是，直线过点，，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ ）
2．圆锥曲线的一条准线方程是，则的值为 （ ）
3．对于任意，抛物线与轴交于两点，以表示该两点的距离，则的值是 （ ）
4．过抛物线的焦点，且直线斜率为的直线交抛物线于两点，是坐标原点，则的面积等于 ．
5．分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，若是正三角形，则椭圆的离心率 ．
三、例题分析
例1．已知双曲线，过点作斜率的直线与双曲线恰有一个交点，
（1）求直线的方程；（2）若点在直线与所围成的三角形的三条边上及三角形内运动，求的最小值．
例2．从点出发的一束光线射到直线上后被该直线反射，反射线与椭圆交于两点，与直线交于点，为入射线与反射线的交点，若，求反射线所在直线的方程．
例3（2003年上海高考题，16分=4分＋5分＋7分）在以O为原点的直角坐标系中，A（4，－3）为直角三角形OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，并且点B的纵坐标大于零.
①求向量的坐标；
②求圆x2－6x＋y2＋2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
③是否存在实数a，使得抛物线y=ax2－1上的点总有关于直线OB对称的两个点？如果有，求出a的取值范围，如果不存在，说明理由！
例4（05湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
四、作业 同步练习 g3.1088圆锥曲线的应用（2）
1. （05湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）
A．30º B．45º C．60º D．90º
2．椭圆上到两焦点距离之积为，则最大时，点坐标是 （ ）
和 和
和 和
3．电影放映机上聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分，灯泡在焦点处，且与反射镜的顶点距离为，椭圆的通径为，为了使电影机片门获得最强的光线，片门应安装在另一焦点处，那么灯泡距离片门应是 （ ）
4．中心在原点，焦点在轴上的椭圆，短半轴长为，当两准线间距离最小时，椭圆的方程为 ．
5．椭圆上一点到两焦点的距离之比为，则点到较远的准线的距离是 ．
6. (05浙江) 过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
7．以轴为准线的椭圆经过定点，且离心率，则椭圆的左顶点的轨迹方程为 ．
8．设抛物线：，
（1）求证：抛物线恒过轴上一定点；
（2）若抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，求证：的斜率为定值；
（3）当为何值时，的面积最小？并求此最小值．
9．已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两个圆都相切，（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点，求的取值范围．
10．已知抛物线：，动直线：与抛物线交于两点，为原点，（1）求证：是定值；（2）求满足的点的轨迹方程．g3.1087圆锥曲线的应用（1）
一、知识要点：
1．相关点法（代入法）：对于两个动点，点在已知曲线上运动导致点运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为然后将其代入已知曲线的方程即得到点的轨迹方程．
2．参数法（交规法）：当动点的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出的范围．
二、基础训练
1．已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆上和椭圆外一点，且点分的比为，则点的轨迹方程为 （ ）
2．设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，则动点的轨迹是 （ ）
两条平行直线
抛物线 双曲线
3．已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是 （ ）
圆 抛物线 椭圆 双曲线
5．倾斜角为的直线交椭圆于两点，则线段中点的轨迹方程是
三、例题分析
例1．动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．
例2．求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．
例3．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
四、作业 同步练习 g3.1087圆锥曲线的应用（1）
1、P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为： （ ）
A、 B、 C、 D、=1
2、已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是： （ ）
A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支
3、若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）
4．抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）
5．已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨迹方程 （ ）
6、经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 。
7、倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。
8、已知两点P（－2，2），Q（0，2）以及一直线l：y=x，设长为的线段AB（A在B下方）在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。
9、过点A（0，a）作直线与圆(x－2)2+y2=1顺次相交于B、C两点，在BC上取满足BP：PC=AB：AC的点P，（1）求点P的轨迹方程。（2）证明不论a取何值，轨迹恒过一定点。
10、已知椭圆=1，直线l:=1, P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ||OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。
11．设双曲线的离心率为，右准线与两条渐近线交于两点，右焦点为，且为等边三角形．
（1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程；（3）设双曲线经过点，以为左焦点，为左准线的椭圆，其短轴的端点为，求中点的轨迹方程．
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