高考数学圆锥曲线双曲线题型总结 6页

二、双曲线 ‎1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ ‎（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得．‎ 此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线方程为．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．‎ 将上式代入③式得，整理得，．‎ 解得或．所以的取值范围是 ‎2、（2008上海理18）已知双曲线，为上的任意点。‎ ‎（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；‎ ‎（2）设点的坐标为，求的最小值；‎ 解；（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和. ‎ 点到两条渐近线的距离分别是和， ‎ 它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常数. ‎ ‎（2）设的坐标为，则 ‎ ‎ ， 当时，的最小值为，‎ 即的最小值为. ‎ ‎3、（2007湖南理20）‎ 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点.‎ ‎（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；‎ ‎（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；‎ 若不存在，请说明理由.‎ 解：由条件知，，设，.‎ 解法一：（I）设，则则，，‎ ‎，由得 即于是的中点坐标为.‎ 当不与轴垂直时，，即.‎ 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ‎，即.‎ 将代入上式，化简得.‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.‎ 所以点的轨迹方程是.‎ ‎（II）假设在轴上存在定点，使为常数.‎ 当不与轴垂直时，设直线的方程是.‎ 代入有.‎ 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 ‎.‎ 因为是与无关的常数，所以，即，此时=.‎ 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，‎ 此时.故在轴上存在定点，使为常数.‎ 解法二：（I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是.‎ 代入有.‎ 则是上述方程的两个实根，所以.‎ ‎. 由①②③得.…………..…④‎ ‎.…………………⑤ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ‎.整理得.当时，点坐标为，满足上述方程.‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.‎ 故点的轨迹方程是.‎ ‎（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，‎ 当不与轴垂直时，由（I）有，.‎ 以上同解法一的（II）.‎ ‎4、21．（本小题满分12分）06山东 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。‎ ‎（1）求双曲线C的方程； ‎ ‎（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 ‎ 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 ‎ 解得 ，双曲线的方程为 ‎（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。‎ 设的方程：，‎ 则 在双曲线上，‎ 同理有：‎ 若则直线过顶点，不合题意.‎ 是二次方程的两根.‎ ‎，此时.所求的坐标为.‎ 解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，则.，分的比为.‎ 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则.‎ ‎， .‎ ‎， ，，‎ 又，即 将代入得 ‎，否则与渐近线平行。‎ ‎。 ‎ 解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，‎ 则 , 。‎ 同理 .‎ 即 。 （*）‎ 又 消去y得.‎ 当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。‎ 由韦达定理有： 代入（*）式得 所求Q点的坐标为 ‎［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.‎ 选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.‎ 解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α= ‎ ‎(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∵m＞2时，k＞0.‎ ‎∴α=arctan,α∈（0，），‎ ‎∵当m＜2时，k＜0‎ ‎∴α＝π＋arctan，α∈(,π).‎ 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.‎ ‎［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（，m）共线，求m的值.‎ 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.‎ 解：∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴ｋAB＝ｋAC，‎ 解得m=.‎ 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.‎ ‎［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.‎ 选题意图：强化斜率公式.‎ 解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan2α=ｋAB=‎ 即3tan2α+8tanα－3=0，‎ 解得tanα＝或tanα＝－3.‎ ‎∵tan2α＝＞0,∴0°＜2α＜90°,‎ ‎0°＜α＜45°，‎ ‎∴tanα＝.‎ 因此，直线l的斜率是 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.‎