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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学一轮方法测评练步骤规范练——空间几何体及点线面之间的位置关系

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步骤规范练——空间几何体及点、线、面之间的位置关系 ‎ ‎(建议用时:90分钟)‎ 一、填空题 ‎1.若圆锥的母线长为‎2 cm,底面圆的周长为2π cm,则圆锥的体积为________cm3.‎ 解析 设圆锥底面半径为r,则由2πr=2π,得r=1,所以圆锥高为h==,从而体积为V=·π·=π.‎ 答案 π ‎2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的值为________.‎ 解析 还原正方体,如图所示,连接AB,BC,AC,可得△ABC是正三角形,则∠ABC=60°.‎ 答案 60°‎ ‎3.设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是________.‎ 解析 由于l1与l2是相交直线,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m ‎,它们也可以异面,故必要性不成立,故填m∥l1,且n∥l2.‎ 答案 m∥l1且n∥l2‎ ‎4.若直线m⊂平面α,则条件甲:直线l∥α是条件乙:l∥m的________条件.‎ 解析 若l∥α,m⊂α,不一定有l∥m;若l∥m,m⊂α则α,l⊂α或l∥α.因而甲⇒/ 乙,乙⇒/ 甲. ‎ 答案 既不充分也不必要 ‎5.已知α、β是两个不同的平面,直线a⊂α,直线b⊂β,命题p:a与b没有公共点,命题q:α∥β,则p是q的________条件.‎ 解析 当a,b都平行于α与β的交线时,a与b无公共点,但α与β相交.当α∥β时,a与b一定无公共点,所以q⇒p,但p⇒/ q.‎ 答案 必要不充分 ‎6.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.当满足条件________时,有m⊥β(填序号).‎ 解析 利用一条直线垂直两平行平面中的一个平面必垂直另一个平面.‎ 答案 ②⑤‎ ‎7.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则对于下列条件:①a⊥c,b⊥c;②α⊥β,a⊂α,b⊂β;③a⊥α,b∥α;④a⊥α,b⊥α,其中是a⊥b的一个充分不必要条件的是________. ‎ 解析 若a⊥α,b∥α,则a⊥b,反之显然不成立,故应填③.‎ 答案 ③‎ ‎8.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥PDCE外接球的体积为________.‎ 解析 由题意,折叠后的三棱锥P DCE为正四面体,且棱长为1,以此正四面体构作正方体,则此正方体棱长为 ‎,正四面体外接球恰为该正方体外接球,直径2R=×=,故V球=R3=×3=.‎ 答案  ‎9.(2014·合肥一模)如图,在正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论不成立的是________.‎ ‎①EF与BB1垂直;②EF与BD垂直;③EF与CD异面;④EF与A‎1C1异面.‎ 解析 连接B‎1C,AC,则B‎1C交BC1于F,且F为B‎1C的中点,又E为AB1的中点,所以EF綉AC,‎ 而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,‎ 所以B1B⊥EF,①正确;‎ 又AC⊥BD,所以EF⊥BD,②正确;‎ 显然EF与CD异面,③正确;由EF綉AC,AC∥A‎1C1,‎ 得EF∥A‎1C1.故不成立的为④.‎ 答案 ④‎ ‎10.(2014·江苏城贤中学月考)正三棱锥SABC中,BC=2,SB=,D、E分别是棱SA、SB上的点,Q为边AB的中点,SQ⊥平面CDE,则三角形CDE的面积为________.‎ 解析 如图,设SQ与DE交于点F,连接CF,CQ,∵SQ⊥面CDE,‎ CF⊂面CDE ‎∴SQ⊥CF ‎∵Q为AB中点,SA=SB,AC=BC ‎∴AB⊥SQ,AB⊥CQ ‎∴AB⊥面SQC,∴AB⊥CF ‎∴CF⊥面SAB,∴CF⊥DE ‎∴CF为△CDE的高,DE∥AB ‎∵BC=2,SB=,正三棱锥SABC ‎∴CQ=,SQ=,SC=QC;‎ ‎∴F为SQ中点,‎ ‎∴DE=AB=1‎ CF=== ‎∴S△CDE=×1×=.‎ 答案  ‎12.设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不重合的直线,给出下列四个命题:‎ ‎①若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α;‎ ‎②若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;‎ ‎③若m⊥n,m∥α,n∥β,则α⊥β;‎ ‎④若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直.其中,所有真命题的序号是________.‎ 解析 ③α,β可以平行,所以错误;④n与m可以垂直,所以错误.‎ 答案 ①②‎ ‎13.(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.‎ 解析 如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以OH=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由题意得πr2=π,则r=1,故R2=1+2,即R2=.由球的表面积公式,得S=4πR2=.‎ 答案  ‎14.正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,设三棱锥D-GAC的体积为V1,三棱锥P-GAC体积为V2,则V1∶V2=________.‎ 解析 设棱锥的高为h,‎ V1=VD-GAC=VG-ADC=S△ADC·h,‎ V2=VP-GAC=VP-ABC=VG-ABC=S△ABC·.‎ 又S△ADC∶S△ABC=2∶1,故V1∶V2=2∶1.‎ 答案 2∶1‎ 二、解答题 ‎15.(2014·济南一模)在如图的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=‎ AD=EF=BC,G是BC的中点.‎ ‎(1)求证:AB∥平面DEG;‎ ‎(2)求证:EG⊥平面BDF.‎ 证明 (1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.‎ 又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴AD綉BG,‎ ‎∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG.‎ ‎∵AB⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.‎ ‎(2)连接GF,四边形ADFE是矩形,‎ ‎∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,‎ ‎∴DF⊥平面BCFE,EG⊂平面BCFE,∴DF⊥EG.‎ ‎∵EF綉BG,EF=BE,‎ ‎∴四边形BGFE为菱形,‎ ‎∴BF⊥EG,‎ 又BF∩DF=F,BF⊂平面BFD,DF⊂平面BFD,‎ ‎∴EG⊥平面BDF.‎ ‎16.(2014·成都一模)如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△ABF是等边三角形,棱EF∥BC,且EF=BC.‎ ‎(1)求证:EO∥面ABF;‎ ‎(2)若EF=EO,证明:平面EFO⊥平面ABE.‎ 证明 (1)取AB的中点M,连接FM,OM.‎ ‎∵O为矩形ABCD的对角线的交点,‎ ‎∴OM∥BC,且OM=BC,‎ 又EF∥BC,且EF=BC,‎ ‎∴OM=EF,且OM∥EF,‎ ‎∴四边形EFMO为平行四边形,∴EO∥FM,‎ 又∵FM⊂平面ABF,EO⊄平面ABF,‎ ‎∴EO∥平面ABF.‎ ‎(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形,‎ 又∵EF=EO,∴四边形EFMO为菱形,连接EM,则有FO⊥EM,‎ 又∵△ABF是等边三角形,且M为AB中点,‎ ‎∴FM⊥AB,易知MO⊥AB,且MO∩MF=M,‎ ‎∴AB⊥面EFMO,又FO⊂面EFMO,‎ ‎∴AB⊥FO.∵AB∩EM=M,∴FO⊥平面ABE.‎ 又∵FO⊂平面EFO,∴平面EFO⊥平面ABE.‎ ‎17.(2013·安徽卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,‎ ‎∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.‎ ‎(1)证明:PC⊥BD;‎ ‎(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.‎ ‎(1)证明 连接AC,交BD于O点,连接PO.‎ 因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.‎ 由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.‎ ‎(2)解 因为E是PA的中点,‎ 所以VP-BCE=VC-PEB=VC-PAB=VB-APC.‎ 由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.‎ 因为∠BAD=60°,‎ 所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,‎ 所以PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC.‎ 故S△APC=PO·AC=3.‎ 由(1)知,BO⊥面APC,因此VP-BCE=VB-APC=×·BO·S△APC=.‎ ‎18.(2013·广东卷)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.‎ ‎(1)证明:DE∥平面BCF;‎ ‎(2)证明:CF⊥平面ABF;‎ ‎(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积VFDEG.‎ ‎(1)证明 在等边△ABC中,AD=AE,‎ 在折叠后的图形中,仍有AD=AE,AB=AC,‎ 因此=,从而DE∥BC.‎ 因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,‎ 所以DE∥平面BCF.‎ ‎(2)证明 在折叠前的图形中,因为△ABC为等边三角形,BF=CF,所以AF⊥BC,则在折叠后的图形中,AF⊥BF,AF⊥CF,又BF=CF=,BC=.,‎ 所以BC2=BF2+CF2,所以 BF⊥CF.‎ 又BF∩AF=F,BF⊂平面ABF,AF⊂平面ABF,‎ 所以CF⊥平面ABF.‎ ‎(3)解 由(1)知,平面DEG∥平面BCF,‎ 由(2)知AF⊥BF,AF⊥CF,‎ 又BF∩CF=F,所以AF⊥平面BCF,‎ 所以AF⊥平面DEG,即GF⊥平面DEG.‎ 在折叠前的图形中,‎ AB=1,BF=CF=,AF=.‎ 由AD=知=,‎ 又DG∥BF,所以===,‎ 所以DG=EG=×=,AG=×=,‎ 所以FG=AF-AG=.故V三棱锥FDEG=V三棱锥EDFG ‎=×DG·FG·GE=·2·=.‎