高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题 概率与统计文科学生 17页

概率与统计 一、高考预测 计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块，高考对该部分的考查分值也较多．从近几年的情况看，该部分考查的主要问题是排列组合应用问题，二项式定理及其简单应用，随机抽样，样本估计总体，线性回归分析，独立性检验，古典概型，几何概型，事件的独立性，随机变量的分布、期望和方差，正态分布的简单应用，在试卷中一般是2～3个选择题、填空题，一个解答题，试题难度中等或者稍易．预计2012年该部分的基本考查方向还是这样，虽然可能出现一些适度创新，但考查的基本点不会发生大的变化．计数原理、概率统计部分的复习要从整体上，从知识的相互关系上进行．概率试题的核心是概率计算，其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具；统计问题的核心是样本数据的分布，反映样本数据的方法：样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，得到样本数据的方法是随机抽样，在复习统计部分时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，如样本均值和方差的计算，用样本估计总体等．‎ 二、知识导学 要立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势 ‎3．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。‎ 要点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:‎ ‎(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数;设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;依公式求值;答，即给问题一个明确的答复.‎ ‎ (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.‎ 第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.‎ 要点3 正态分布与线性回归 ‎1.正态分布的概念及主要性质 ‎（1）正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为，x 其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.‎ ‎（2）期望E =μ，方差.‎ ‎（3）正态分布的性质正态曲线具有下列性质:①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.‎ ‎（4）标准正态分布 当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）‎ ‎（5）两个重要的公式①,② .‎ ‎（6）与二者联系.若，则 ;‎ ‎②若，则.‎ 三、易错点点睛 一、概念理解不清致错 例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”，事件B：“朝上一面的点数不超过3”，求P（A+B）‎ 错误解法2：事件A：朝上一面的点数为1，3，5；事件B：朝上一面的点数为1，2，3，即以A、B事件中重复的点数1、3‎ ‎∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）=‎ 错因分析：A、B事件中重复点数为1、3，所以P（A·B）=；这种错误解法在于简单地类比应用容斥原理致错 正确解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）=‎ 例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使，记 求且的概率。‎ 二、有序与无序不分致错 例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？‎ 错误解法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为乙从判断题中抽到一题的结果为 而甲、乙依次抽到一题的结果为∴所求概率为：‎ 错因分析：甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为。为避免错误，对于基本事件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为种，乙再抽取余下的9道题中的任一道的结果应为种，所以正确解答：‎ 例4．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。‎ 错解1：将8支球队均分为A、B两组，共有种方法：A、B两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。∴所求事件的概率为：。‎ 错因分析：从基本事件的结果数来看，分组是讲求顺序的，那么指定事件：“A、B组中有一组有2支弱队”应分为两种情形。即“A组有”或“B组有”，所以正确解答为：‎ 正解：或 说明：这道题也可从对立事件求解：3支弱队分法同一组共有：种结果。‎ ‎∴所求事件概率为 三、分步与分类不清致错 例5．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m处射击，若命中记3分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m远处。若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处击中目标的概率为，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2，P1，P0的值。‎ ‎：设射手射击命中目标的概率P与目标距离之间的关系 为，由已知 ‎ 错误解法： ，‎ 正解：， ，‎ 四、考虑不周致错 例6．某运动员射击一次所得环数的分布列如下：‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为，求：的分布列。‎ 例7．将n个球等可能地放入到N（n×n）个有编号的盒子中（盒子中容纳球的个数不限）。求A：某指定的n个盒子中恰有一球的概率。‎ 错误解法：将n个球等可能地放入到N个盒子中，共有Nn种方法。‎ 而指定的n个盆中各有一球的放法有：n!种，则所求概率：‎ 错因分析：这种解法不全面，如果球是有编号的，则答案是对的。若球是不可辨认的，则答案错了，若球是不可辨认的，则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球，为此，我们用“□”表示一个盒子；用“○”表示一个球，先将盒子按编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ n 把n个球放入N中盒子中，形如：1010011……10001，正好看作N+1个“1”和n个“0”的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有种；而指定的n个盒子中恰有一球的放法只有1种，故 六.混淆有放回与不放回致错 例9．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：（1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；（2）恰好到第k次3只次品全部被测出的概率的最大值和最小值。‎ 错解：（1）P（A）=（2）。‎ 错因分析：错解（1）的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解（2）的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）。‎ 正解：（1）‎ ‎（2）‎ 当时，；当时，。‎ 四、典型习题导练 ‎（II）若第一次抽张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率 ‎ ‎ ‎3、某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：‎ ‎（I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．‎ ‎ ‎ ‎4、对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： ‎ 分组 频数 频率 ‎10‎ ‎0.25‎ ‎24‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 ‎1‎ 频率/组距 ‎15‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎30‎ 次数 a ‎（Ⅰ）求出表中及图中的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．‎ ‎ ‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎6、某工厂有甲、乙两个车间，每个车间各有编号为1、2、3、4、5的5名技工．在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表：‎ ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲车间 ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ 乙车间 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎（Ⅰ）分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较两个车间技工的技术水平；（Ⅱ）质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和不小于12个，则称该工厂“质量合格”，求该工厂“质量合格”的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示。已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(Ⅲ)已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.‎ 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工 ‎196‎ 男教职工 ‎204‎ ‎156‎ ‎ ‎ ‎9、某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5.现从一批日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下表所示：‎ 等级 频数 频率 ‎1‎ c ‎ a ‎2‎ ‎4‎ b ‎3‎ ‎9‎ ‎0.45‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0.1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎0.15‎ 合计 ‎20‎ ‎1‎ ‎ (Ⅰ)若所抽取的20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，求a,b,c的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为4的2件日用品和等级为5的3件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.‎ ‎ ‎ ‎10、某大学对该校参加某项活动的志愿者实施“社会教育实施”学分考核，该大学考核只有合格和优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予个学分；考核为优秀，授予个学分.假设该校志愿者甲、乙考核为优秀的概率分别为、，乙考核合格且丙考核优秀的概率为.甲、乙、丙三人考核所得等次相互独立. (Ⅰ)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(Ⅱ)求在这次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为的概率.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12、某校高二年级研究性学习小组，为了分析2011年我国宏观经济形势，上网查阅了2010年和2011年2—6月我国CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2011年4，5，6三个月的数据（分别记为x，y，z）没有查到. 有的同学清楚记得2011年2，3，4，5，6五个月的CPI数据成等差数列. （Ⅰ）求x，y，z的值；（Ⅱ）求2011年2—6月我国CPI的数据的方差；（Ⅲ）一般认为，某月CPI达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀. 现随机地从上表2010年的 五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严13、某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎（3.9，4.2]‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎（4.2，4.5]‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎（4.5，4.8]‎ ‎25‎ x ‎（4.8，5.1]‎ y z ‎（5.1，5.4]‎ ‎2‎ ‎0.04‎ 合计 n ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．‎ ‎ ‎ ‎14、口袋中有6个大小相同的小球,其中1个小球标有数字“‎3”‎,2个小球标有数字“‎2”‎,3个小球标有数字“‎1”‎,每次从中任取一个小球,取后放回,连续抽取两次。(I)求两次取出的小球所标数字不同的概率;(II)记两次取出的小球所标数字之和为,求事件“”的概率 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17、对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有38人主要的休闲方式是看电视，另外22人主要的休闲方式是运动；男性中有15人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)判断性别与休闲方式是否有关．‎ 参考公式：；‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ 参考数据：60×40×53×47=5978400,620×620=384400, 384400÷59784≈6.4298.‎ ‎ ‎ ‎18、时维壬辰，序属仲春，值春耕播种时机，某中学生物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究，记录了实验室‎4月10日至‎4月14日的每天昼夜温差与每天每50颗稻籽浸泡后的发芽数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎4月10日 ‎4月11日 ‎4月12日 ‎4月13日 ‎4月14日 温 差x（oC）‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎11‎ 发芽数y（颗）‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎12‎ ‎（Ⅰ）从‎4月10日至‎4月14日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于14”的概率；‎ ‎ ‎ ‎19、在某医学实验中，某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只实验动物进行血检，得到如下资料：‎ 动物编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 用药量x（单位）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 抗体指标y ‎(单位）‎ ‎3.4‎ ‎3.7‎ ‎3.8‎ ‎4.0‎ ‎4.2‎ ‎4.3‎ 记为抗体指标标准差，若抗体指标落在内则称该动物为有效动物，否则称为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验.(Ⅰ)求选取的两只动物都是有效动物的概率；（Ⅱ）若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出关于的线性回归方程为试求出的值;(Ⅲ)若根据回归方程估计出的1号和6‎ 号动物的抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差则认为得到的线性回归方程是可靠的，试判断（Ⅱ）中所得线性回归方程是否可靠.‎ ‎ ‎ ‎20、衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎110‎