2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第十四章14-1第2课时圆的进一步认识 14页

第2课时　圆的进一步认识 ‎1．圆周角与圆心角定理 ‎(1)圆心角定理：圆心角的度数等于其所对弧的度数．‎ ‎(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．‎ 推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径)．‎ ‎2．圆的切线的性质及判定定理 ‎(1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．‎ ‎(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心．‎ ‎3．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．‎ ‎4．弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半．‎ ‎5．与圆有关的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦AB，CD相交于圆内点P ‎(1)PA·PB＝PC·PD；‎ ‎(2)△ACP∽△BDP ‎(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；‎ ‎(2)求弦长及角 割线定理 PAB，PCD是⊙O的割线 ‎(1)PA·PB＝PC·PD；‎ ‎(2)△PAC∽△PDB ‎(1)求线段PA，PB，PC，PD；‎ ‎(2)应用相似求AC，BD 切割线定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线 ‎(1)PA2＝PB·PC；‎ ‎(2)△PAB∽△PCA ‎(1)已知PA，PB，PC知二可求一；‎ ‎(2)求解AB，AC 切线长定理 PA，PB是⊙O的切线 ‎(1)PA＝PB；‎ ‎(2)∠OPA＝∠OPB ‎(1)证明线段相等，已知PA求PB；‎ ‎(2)求角 ‎6.圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质定理：圆内接四边形的对角互补．‎ ‎(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．‎ ‎1．(2016·南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP·BC＝AC·CP.‎ 证明　因为PC为圆O的切线，所以∠PCA＝∠PBC，‎ 又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP，‎ 所以＝，即AP·BC＝AC·CP.‎ ‎2．(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．‎ 解　首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，‎ 因此CE＝6，ED＝3，再由相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2.‎ ‎3．(2017·扬州质检)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长．‎ 解　∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，‎ ‎∴△AEF∽△ACB，∴＝，‎ ‎∴2＝，∴EF＝3.‎ ‎4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．‎ 解　在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，‎ ‎∴AC＝10，BC＝10.‎ ‎∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.‎ ‎∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.‎ 由切割线定理得DC2＝DE·DB，‎ 即(5)2＝15DE，‎ ‎∴DE＝5.‎ 题型一　圆周角、弦切角和圆的切线问题 例1　(2016·全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，OA为半径作圆．‎ ‎(1)证明：直线AB与⊙O相切；‎ ‎(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.‎ 证明　(1)设E是AB的中点，‎ 连结OE.‎ 因为OA＝OB，∠AOB＝120°，‎ 所以OE⊥AB，∠AOE＝60°，‎ 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O 相切．‎ ‎(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.‎ 同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.‎ 思维升华　(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．‎ ‎(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．‎ ‎　(1)(2016·无锡模拟)如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的大小．‎ ‎(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长．‎ 解　(1)如图所示，连结OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.‎ 故∠AOB＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°.‎ ‎(2)如图，连结OA，由圆周角定理知∠AOC＝60°，‎ 又OA⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝1×＝.‎ 题型二　四点共圆问题 例2　如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎(1)证明：A，P，O，M四点共圆；‎ ‎(2)求∠OAM＋∠APM的大小．‎ ‎(1)证明　如图，连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，‎ 所以OP⊥AP，‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，‎ 所以OM⊥BC，‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．‎ ‎(2)解　由(1)得，A，P，O，M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM，‎ 由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，‎ 可知∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ 思维升华　(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆．‎ ‎(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎　如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明　(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，‎ 所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，‎ 故∠D＝∠E.‎ ‎(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，‎ 则由MB＝MC知MN⊥BC，‎ 故点O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，‎ 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ 题型三　与圆有关的比例线段 例3　(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO 交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.‎ ‎(1)证明：∠CBD＝∠DBA；‎ ‎(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．‎ ‎(1)证明　因为DE为⊙O的直径，‎ 则∠BED＋∠EDB＝90°，‎ 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，‎ 从而∠CBD＝∠BED，‎ 又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，‎ 所以∠CBD＝∠DBA.‎ ‎(2)解　由(1)知BD平分∠CBA，‎ 则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3，‎ 所以AC＝＝4，所以AD＝3，‎ 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，‎ 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.‎ 思维升华　(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．‎ ‎(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．‎ ‎　(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长．‎ ‎(2)(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，求PB的长．‎ 解　(1)由相交弦定理得AF·FB＝DF·CF，由于AF＝2FB，可解得FB＝1，所以BE＝.‎ 由切割线定理得CE2＝BE·EA＝，即CE＝.‎ ‎(2)由切割线定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.‎ 由切线长定理得PB＝PA＝2QA＝4. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2015·江苏)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 求证：△ABD∽△AEB.‎ 证明　因为AB＝AC，‎ 所以∠ABD＝∠C.‎ 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，‎ 又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.‎ ‎2．(2017·苏北四校联考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.‎ 证明　因为B，C是圆O上的两点，‎ 所以OB＝OC.‎ 故∠OCB＝∠B.‎ 又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，‎ 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，‎ 所以∠B＝∠D.‎ 因此∠OCB＝∠D.‎ ‎3．(2015·湖南)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ 证明　如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ ‎4.如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC＝30°，求AD的长．‎ 解　由题意可知圆O的半径为2，在Rt△ABC中，由∠ABC＝30°可得AC＝AB＝2，由弦切角定理可知∠ACD＝∠ABC＝30°，故AD＝AC＝1.‎ ‎5. (2016·苏锡常镇四市联考)如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上异于B，C的任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O上一点，且∠ABD＝∠ABP.求证：AB2＝BP·BD.‎ 证明　∵AP与⊙O相切于点A，AB为⊙O的弦，‎ ‎∴∠ADB＝∠PAB，‎ 又在△DBA和△ABP中，∠DBA＝∠ABP，‎ ‎∴△DBA∽△ABP，∴＝，即AB2＝BP·BD.‎ ‎6. (2016·南京、盐城联考)如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA＝12 cm，PC＝6 cm，求CD的长．‎ 解　设⊙O的半径为r，由切割线定理得AP2＝PC·(PC＋2r)，即122＝6×(6＋2r)，解得r＝9.连结OA，则有OA⊥AP.‎ 又CD⊥AP，所以OA∥CD.‎ 所以＝，即CD＝＝ cm.‎ ‎7．(2016·苏州模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，点N在⊙O上，AN＝AC.证明：∠MDN＝2∠ACO.‎ 证明　如图，连结ON，因为AN＝AC，‎ ON＝OC，OA是公共边，‎ 所以△ANO≌△ACO，故∠OAC＝∠OAN.‎ 又∠OAC＝∠ACO，‎ 所以∠NAC＝∠OAC＋∠OAN＝∠ACO＋∠OAC＝2∠ACO.‎ 因为A，C，D，N四点共圆，所以∠MDN＝∠NAC，‎ 所以∠MDN＝2∠ACO.‎ ‎8．(2016·徐州模拟)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，求圆O的半径R.‎ 解　由切割线定理可得PA2＝PB·PC，‎ 即PC＝＝＝4，‎ 所以BC＝PC－PB＝3，‎ 因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，‎ 所以AB2＝BC·BP＝3，‎ 所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，‎ 即AC＝＝2，‎ 所以2R＝2，即R＝.‎ ‎9．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．‎ 解　设EB＝x，则ED＝x＋5，‎ 由切割线定理知x(x＋5)＝62，∴x＝4.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，‎ 又∠ACB＝∠ADB，∠EAB＝∠ADB，‎ ‎∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又AC∥ED，‎ ‎∴四边形EBCA为平行四边形．‎ ‎∴AC＝EB＝4，BC＝AE＝6，由△AFC∽△DFB.‎ ‎∴＝，即＝，∴CF＝.‎ ‎10．(2016·全国丙卷)如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．‎ ‎(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.‎ ‎(1)解　连结PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.‎ 因为＝，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，‎ 所以∠BFD＝∠PCD.‎ 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.‎ ‎(2)证明　因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.‎