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- 2021-05-14 发布
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第一篇章:高中数学基础知识重点归纳
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?… ;
2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1;非空真子集的数为2n-2;
(2) 注意:讨论的时候不要遗忘了的情况。
4.是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵是奇函数f(-x)=-f(x);是偶函数f(-x)= f(x)
⑶奇函数在原点有定义,则;
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:
①在区间上是增函数当时有;
②在区间上是减函数当时有;
⑵单调性的判定
① 定义法:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有 (其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
① ;② ;③;
④ ;⑤;
(3)与周期有关的结论
或 的周期为;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数: ( ;⑵指数函数:;
⑶对数函数:;⑷正弦函数:;
⑸余弦函数: ;(6)正切函数:;⑺一元二次函数:;
⑻其它常用函数:
① 正比例函数:;②反比例函数:;③函数;
9.二次函数:
⑴解析式:
①一般式:;②顶点式:,为顶点;
③零点式: 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是。 10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ),———左“+”右“-”;
ⅱ)———上“+”下“-”;
② 对称变换:ⅰ;ⅱ;
ⅲ ; ⅳ;
③ 翻转变换:
ⅰ)———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ)———上不动,下向上翻(||在下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;
注:①曲线C1:f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C2方程为:f(-x,-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为:f(-x, y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为:f(x, -y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为:f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=a对称;
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
13.导数
⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作;
⑵常见函数的导数公式: ①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧ 。
⑶导数的四则运算法则:
⑷(理科)复合函数的导数:
⑸导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:
①是增函数;②为减函数;③为常数;
③利用导数求极值:ⅰ)求导数;ⅱ)求方程的根;ⅲ)列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ)求的极值;ⅱ——求区间端点值(如果有);ⅲ)得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:弧度,弧度,弧度
⑵弧长公式:;扇形面积公式:。
2.三角函数定义:角α中边上任意一P点为,设则:
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”;
5.⑴对称轴:;对称中心:;
⑵对称轴:;对称中心:;
6.同角三角函数的基本关系:;
7.三角函数的单调区间:
的递增区间是,递减区间是;的递增区间是,递减区间是,的递增区间是,的递减区间是。
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①
②③ 。
9.二倍角公式:①;
②;③。
10.正、余弦定理:
⑴正弦定理: (是外接圆直径 )
注:①;②;③。
⑵余弦定理:等三个; 等三个。
11。几个公式:
⑴三角形面积公式:;
⑵内切圆半径r=;外接圆直径2R=
第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧=;③体积:V=S底h
⑵锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧=;③体积:V=S底h:
⑶台体:①表面积:S=S侧+S上底S下底;②侧面积:S侧=;③体积:V=(S+)h;
⑷球体:①表面积:S=;②体积:V= 。
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。
4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法:
①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法:
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②用向量法:
5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)
点到平面的距离:①等体积法;②向量法:。
6.结论:
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为,全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abc。
⑵正方体的棱长为a,则对角线长为,全面积为6a2,体积V=a3。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质:设棱长为,则正四面体的:
① 高:;②对棱间距离:;③内切球半径:;④外接球半径:。
第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ;
⑷两点式: ;⑸一般式:,(A,B不全为0)。
2.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系:
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
有斜率
已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。
4.几个公式
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:();
⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:;
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是;
5.圆的方程:
⑴标准方程:① ;② 。
⑵一般方程: (
注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。
7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(表示点到圆心的距离)
①点在圆上;②点在圆内;③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(表示圆心到直线的距离)
①相切;②相交;③相离。
⑶圆与圆的位置关系:(表示圆心距,表示两圆半径,且)
①相离;②外切;③相交;
④内切;⑤内含。
8、直线与圆相交所得弦长
第六部分 圆锥曲线
1.定义:⑴椭圆:;
⑵双曲线:;⑶抛物线:|MF|=d
2.结论
⑴焦半径:①椭圆:(e为离心率); (左“+”右“-”);
②抛物线:
⑵弦长公式:
注:⑴抛物线:=x1+x2+p;⑵通径(最短弦):①椭圆、双曲线:;②抛物线:2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: (同时大于0时表示椭圆,时表示双曲线);当点与椭圆短轴顶点重合时最大;
⑷双曲线中的结论:
①双曲线(a>0,b>0)的渐近线:;
②共渐进线的双曲线标准方程为为参数,≠0);
③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直;
⑸焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:
①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ① a∥b(b≠0)a=b (x1y2-x2y1=0;
② a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2;
注:①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
① a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
⑶cos=;
⑷三点共线的充要条件:P,A,B三点共线;
(理科)P,A,B,C四点共面。
第八部分 数列
1.定义:
⑴等差数列 ;
⑵等比数列
2.等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP ③成GP
④成AP, ④成GP,
3.数列通项的求法:
an=
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2)
⑴定义法(利用AP,GP的定义);⑵累加法(型);⑶公式法:
⑷累乘法(型);⑸构造法(型);
⑺间接法(例如:);⑻(理科)数学归纳法。
4.前项和的求法:⑴分组求和法;⑵裂项法;⑶错位相减法。
5.等差数列前n项和最值的求法:
⑴ ;⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分 不等式
1.均值不等式:
注意:①一正二定三相等;②变形,。
2.绝对值不等式:
3.不等式的性质:
⑴;⑵;⑶;
;⑷;;
;⑸;⑹
第十部分 复数
1.概念:
⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0;⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;
⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则:
(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3.几个重要的结论:
;⑶;⑷
⑸性质:T=4;;
4.模的性质:⑴;⑵;⑶。
第十一部分 概率
1.事件的关系:
⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作;
⑵事件A与事件B相等:若,则事件A与B相等,记作A=B;
⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作(或);
⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作(或) ;
⑸事件A与事件B互斥:若为不可能事件(),则事件A与互斥;
﹙6﹚对立事件:为不可能事件,为必然事件,则A与B互为对立事件。
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型:;
⑶几何概型: ;
第十二部分 统计与统计案例
1.抽样方法
⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:①每个个体被抽到的概率为;
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。
⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的
规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号;
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。
注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2.总体特征数的估计:
⑴样本平均数;
⑵样本方差 ;
⑶样本标准差= ;
3.相关系数(判定两个变量线性相关性):
注:⑴>0时,变量正相关; <0时,变量负相关;⑵① 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;② 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4.回归分析中回归效果的判定:
⑴总偏差平方和:;⑵残差:;⑶残差平方和: ;
⑷回归平方和:-;⑸相关指数 。
注:①得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;
②越接近于1,,则回归效果越好。
5.独立性检验(分类变量关系):
随机变量越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
第十三部分 算法初步
1.程序框图:
⑴图形符号:
① 终端框(起止况);② 输入、输出框;
③
处理框(执行框);④ 判断框;⑤ 流程线 ;
⑵程序框图分类:
①顺序结构: ②条件结构: ③循环结构:
r=0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
in或r=0?否
是
注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while型)——先判断条件,再执行循环体;
Ⅱ.直到型(until型)——先执行一次循环体,再判断条件。
2.基本算法语句:
⑴输入语句: INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式
赋值语句: 变量=表达式
⑵条件语句:① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF
⑶循环语句:①当型: ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1. 四种命题:
⑴原命题:若p则q; ⑵逆命题:若q则p;
⑶否命题:若p则q; ⑷逆否命题:若q则p
注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
2.充要条件的判断:
(1)定义法----正、反方向推理;
(2)利用集合间的包含关系:例如:若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;
3.逻辑连接词:
⑴且(and) :命题形式 pq; p q pq pq p
⑵或(or):命题形式 pq; 真 真 真 真 假
⑶非(not):命题形式p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用表示;
全称命题p:; 全称命题p的否定p:。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用表示;
特称命题p:; 特称命题p的否定p:;
第十五部分 推理与证明
1.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。
①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;
⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
附:数学归纳法(仅限理科)
一般的证明一个与正整数有关的一个命题,可按以下步骤进行:
⑴证明当取第一个值是命题成立;
⑵假设当命题成立,证明当时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
① 的取值视题目而定,可能是1,也可能是2等。
第十六部分 理科选修部分
1. 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式:(m≤n),;
⑶组合数性质:;
⑷二项式定理:
①通项:②注意二项式系数与系数的区别;
⑸二项式系数的性质:
①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数,中间一项(第+1项)二项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第和+1项)二项式系数最大;
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列:①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;
②离散型随机变量:
X
x1
X2
…
xn
…
P
P1
P2
…
Pn
…
期望:EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差:DX= ;
注:;
③二项分布(独立重复试验):
若X~B(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注: 。
⑵条件概率:称为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
注:①0P(B|A)1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。
⑷正态总体的概率密度函数:式中是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与标准差;
(6)正态曲线的性质:
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x= 对称;
③曲线在x=处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为1;
① 当一定时,曲线随质的变化沿x轴平移;
② 当一定时,曲线形状由确定:越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越集中;
越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。
注:P=0.6826;P=0.9544
P=0.9974
第二篇章:经典训练题型及答案 (高考压轴题型)
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质:
(3)德摩根定律:
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
10. 如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
12. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
14. 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
∴……)
15. 如何利用导数判断函数的单调性?
值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
∴a的最大值为3)
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。)
如:
18. 你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下“翻折”变换:
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质! (注意底数的限定!)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)
如求下列函数的最值:
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
(x,y)作图象。
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
图象?
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。)
具体方法:
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些?
答案:C
35. 利用均值不等式:
值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)
证明:
(按不等号方向放缩)
42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)
43. 等差数列的定义与性质
0的二次函数)
项,即:
44. 等比数列的定义与性质
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:(1)求差(商)法
解:
[练习]
(2)叠乘法
解:
(3)等差型递推公式
[练习]
(4)等比型递推公式
[练习]
(5)倒数法
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
解:
[练习]
(2)错位相减法:
(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
[练习]
48. 你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足
p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
(3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
50. 解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析:可分成两类:
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理
性质:
(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
表示)
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
(6)对立事件(互逆事件):
(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。
如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图:
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一组基底。
(9)向量的坐标表示
表示。
57. 平面向量的数量积
数量积的几何意义:
(2)数量积的运算法则
[练习]
答案:
答案:2
答案:
58. 线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线面平行的判定:
线面平行的性质:
三垂线定理(及逆定理):
线面垂直:
面面垂直:
60. 三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。
(2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD1和AD所成的角;
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
(∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线……)
61. 空间有几种距离?如何求距离?
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。
如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB1C1的距离为___________;
(2)点B到面ACB1的距离为____________;
(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;
(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;
(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
它们各包含哪些元素?
63. 球有哪些性质?
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。
积为( )
答案:A
64. 熟记下列公式了吗?
(2)直线方程:
65. 如何判断两直线平行、垂直?
66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?
68. 分清圆锥曲线的定义
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如:
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案:
73. 如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C:F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲线C上任意一点,设A'(x',y')为A关于点M的对称点。
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值。