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- 2021-05-14 发布
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2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)-同湖南卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
S台侧
其中c′、c分别表示上、下底面周长, l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V台体
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.若siniθcosθ>0,则θ在 ( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
2.过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x+y-2 = 0上的圆的方程是 ( )
A.(x-3) 2+(y+1) 2 = 4 B.(x+3) 2+(y-1) 2 = 4
C.(x-1) 2+(y-1) 2 = 4 D.(x+1) 2+(y+1) 2 = 4
3.设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.6
4.若定义在区间(-1,0)的函数满足,则a的取值范围是 ( )
A.() B. C.(,+∞) D.(0,+∞)
5.极坐标方程的图形是 ( )
6.函数y = cos x+1(-π≤x≤0)的反函数是 ( )
A.y =-arc cos (x-1)(0≤x≤2) B.y = π-arc cos (x-1)(0≤x≤2)
C.y = arc cos (x-1)(0≤x≤2) D.y = π+arc cos (x-1)(0≤x≤2)
7. 若椭圆经过原点,且焦点为F1 (1,0), F2 (3,0),则其离心率为 ( )
A. B. C. D.
8. 若0<α<β<,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,则 ( )
A.a<b B.a>b C.ab<1 D.ab>2
9. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若,则AB1 与C1B所成的角的大小为 ( )
A.60° B.90° C.105° D.75°
10.设f (x)、g (x)都是单调函数,有如下四个命题:
① 若f (x)单调递增,g (x)单调递增,则f (x)-g (x)单调递增;
② 若f (x)单调递增,g (x)单调递减,则f (x)-g (x)单调递增;
③ 若f (x)单调递减,g (x)单调递增,则f (x)-g (x)单调递减;
④ 若f (x)单调递减,g (x)单调递减,则f (x)-g (x)单调递减.
其中,正确的命题是 ( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
11. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 ( )
A.P3>P2>P1 B.P3>P2 = P1 C.P3 = P2>P1 D.P3 = P2 = P1
12. 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为 ( )
A.26 B.24 C.20 D.19
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是
14.双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为
15.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则
q =
16.圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC = 90°,SA⊥面ABCD,SA = AB = BC = 1,.
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积;
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
18. (本小题满分12分)
已知复数z1 = i (1-i) 3.
(Ⅰ)求arg z1及;
(Ⅱ)当复数z满足=1,求的最大值.
19. (本小题满分12分)
设抛物线y2 =2px (p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
20. (本小题满分12分)
已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)证明(1+m) n> (1+n) m.
21. (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出an,bn的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
22. (本小题满分14分)
设f (x) 是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x = 1对称.对任意x1,x2∈[0,]都有f (x1+x2) = f (x1) · f (x2).且f (1) = a>0.
(Ⅰ)求f () 及f ();
(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数;
(Ⅲ)记an = f (2n+),求.
2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
(1)B (2)C (3)B (4)A (5)C
(6)A (7)C (8)A (9)B (10)C
(11)D (12)D
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(13)2π (14) (15)1 (16)2n (n-1)
三.解答题:
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.
解:(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M底面, ……2分
∴ 四棱锥S—ABCD的体积是
M底面
. ……4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱. ……6分
∵ AD∥BC,BC = 2AD,
∴ EA = AB = SA,∴ SE⊥SB,
∵ SA⊥面ABCD,得SEB⊥面EBC,EB是交线,
又BC⊥EB,∴ BC⊥面SEB,
故SB是CS在面SEB上的射影,
∴ CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角. ……10分
∵ ,BC =1,BC⊥SB,
∴ tan∠BSC .
即所求二面角的正切值为. ……12分
(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解:(Ⅰ)z1 = i (1-i) 3 = 2-2i,
将z1化为三角形式,得
,
∴ ,. ……6分
(Ⅱ)设z = cos α+i sin α,则
z-z1 = ( cos α-2)+(sin α+2) i,
(), ……9分
当sin() = 1时,取得最大值.
从而得到的最大值为. ……12分
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分.
证明一:因为抛物线y2 =2px (p>0)的焦点为F (,0),所以经过点F的直线的方程可设为
; ……4分
代入抛物线方程得
y2 -2pmy-p2 = 0,
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以
y1y2 = -p2. ……8分
因为BC∥x轴,且点c在准线x = -上,所以点c的坐标为(-,y2),故直线CO的斜率为
.
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
……12分
证明二:如图,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足.则
AD∥FE∥BC. ……2分
连结AC,与EF相交于点N,则
,
……6分
根据抛物线的几何性质,,
, ……8分
∴ ,
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O. ……12分
(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.
(Ⅰ)证明: 对于1<i≤m有
= m·…·(m-i+1),
…,
同理 …, ……4分
由于 m<n,对整数k = 1,2…,i-1,有,
所以 ,即. ……6分
(Ⅱ)证明由二项式定理有
,
, ……8分
由 (Ⅰ)知>(1<i≤m<n=,
而 ,, ……10分
所以, (1<i≤m<n=.
因此,.
又 ,,.
∴ .
即 (1+m)n>(1+n)m. ……12分
(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-)万元,……,第n年投入为800×(1-)n-1万元.
所以,n年内的总投入为
an = 800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1
= 4000×[1-()n]; ……3分
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+)万元,……,第n年旅游业收入为400×(1+)n-1万元.
所以,n年内的旅游业总收入为
bn = 400+400×(1+)+…+400×(1+)n-1
= 1600×[ ()n-1]. ……6分
(Ⅱ)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此
bn-an>0,
即 1600×[()n -1]-4000×[1-()n]>0.
化简得 5×()n+2×()n -7>0, ……9分
设()n,代入上式得
5x2-7x+2>0,
解此不等式,得
,x>1(舍去).
即 ()n<,
由此得 n≥5.
答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. ……12分
(22)本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识;考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.
(Ⅰ)解:因为对x1,x2∈[0,],都有f (x1+x2) = f (x1) · f (x2),所以
f () · f ()≥0,x∈[0,1].
∵ f () = f () · f () = [f ()]2,
f ()f () = f () · f () = [f ()]2. ……3分
,
∴ f (),f (). ……6分
(Ⅱ)证明:依题设y = f (x)关于直线x = 1对称,
故 f (x) = f (1+1-x),
即f (x) = f (2-x),x∈R. ……8分
又由f (x)是偶函数知f (-x) = f (x) ,x∈R,
∴ f (-x) = f (2-x) ,x∈R,
将上式中-x以x代换,得
f (x) = f (x+2),x∈R.
这表明f (x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期. ……10分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知f (x)≥0,x∈[0,1].
∵ f ()= f (n ·) = f (+(n-1)·)
= f () · f ((n-1)·)
= f () · f () · … ·f ()
= [ f ()]n,
f () = ,
∴ f () = .
∵ f (x)的一个周期是2,
∴ f (2n+) = f (),因此an = , ……12分
∴ () = 0. ……14分