2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章1-3全称量词与存在量词 15页

第3讲　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ 最新考纲　1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ 知 识 梳 理 ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．‎ ‎(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．‎ ‎3．全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题．‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题．‎ ‎4．命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．‎ ‎(2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q.‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)命题“5>6或5>2”是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(　　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)‎ ‎(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　)‎ 解析　(1)错误．命题p或q中，p，q有一真则真．‎ ‎(2)错误．p且q是真命题，则p，q都是真命题．‎ ‎(3)错误．命题“长方形的对角线相等”是全称命题．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．‎ 答案　B ‎3．(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：存在n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．任意n∈N，n2>2n B．存在n∈N，n2≤2n C．任意n∈N，n2≤2n D．存在n∈N，n2＝2n 解析　命题p的量词“存在”改为“任意”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：任意n∈N，n2≤2n.‎ 答案　C ‎4．(2017·南昌调研)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．存在x0∈R，lg x0＝1 B．存在x0∈R，sin x0＝0‎ C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0‎ 解析　当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.‎ 答案　C ‎5．(2015·山东卷)若“任意x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.‎ 答案　1‎ 考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 设a，b，c是非零向量．已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p或q B．p且q C．(綈p)且(綈q) D．p且(綈q)‎ 解析　取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．‎ 又a，b，c是非零向量，‎ 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，‎ ‎∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．‎ 综上知p或q是真命题，p且q是假命题．‎ 又∵綈p为真命题，綈q为假命题．‎ ‎∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题．‎ 答案　A 规律方法　(1)“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p，q的真假；③确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假．‎ ‎(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．‎ ‎【训练1】 (2017·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为(　　)‎ A．p且q B．p或q C．p且(綈q) D．綈q 解析　由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴命题p是假命题．‎ 由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，‎ 所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．‎ 所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，綈q为假命题．‎ 答案　B 考点二　含有一个量词命题的否定及真假判定 ‎【例2】 (1)(2016·陕西师大附中质检)已知命题p：任意x∈R，ex－x－1>0，则綈p是(　　)‎ A．任意x∈R，ex－x－1<0 B．存在x0∈R，ex0－x0－1≤0‎ C．存在x0∈R，ex0－x0－1<0 D．任意x∈R，ex－x－1≤0‎ ‎(2)(2014·全国Ⅰ卷)不等式组的解集为D，有下面四个命题：‎ p1：任意(x，y)∈D，x＋2y≥－2，‎ p2：存在(x0，y0)∈D，x0＋2y0≥2，‎ p3：任意(x，y)∈D，x＋2y≤3，‎ p4：存在(x0，y0)∈D，x0＋2y0≤－1.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p2 C．p1，p4 D．p1，p3‎ 解析　(1)因为全称命题的否定是特称命题，命题p：任意x∈R，ex－x－1>0的否定为綈p：存在x0∈R，ex0－x0－1≤0.‎ ‎(2)画出可行域如图中阴影部分所示，‎ 由图可知，当目标函数z＝x＋2y，经过可行域的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题．‎ 答案　(1)B　(2)B 规律方法　(1)全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．‎ ‎(2)判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．‎ ‎【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考)命题p：存在x∈，使sin x＋cos x>；命题q：“存在x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“任意x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：(綈p)或(綈q)，p且q，(綈p)且q，p或(綈q)中，正确命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　因为sin x＋cos x＝sin≤，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)或(綈q)为真命题，p且q为假命题，(綈p)且q为真命题，p或(綈q)为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．‎ 答案　B 考点三　由命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】 (1)已知命题“存在x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,3)‎ C．(－3，＋∞) D．(－3,1)‎ ‎(2)已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]‎ 解析　(1)原命题的否定为任意x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，‎ 则－20)，q：实数x满足20，∴A＝{x|a5，解得x2‎ C．a＋b＝0的充要条件是＝－1‎ D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 解析　因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确．‎ 因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确．‎ ‎“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确．‎ 当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．‎ 答案　D ‎6．命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0,4] B．[0,4]‎ C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)‎ 解析　因为命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，‎ 所以命题綈p：存在x0∈R，ax＋ax0＋1<0，‎ 则a<0或解得a<0或a>4.‎ 答案　D ‎7．(2016·咸阳模拟)已知命题p：存在α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：任意x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是(　　)‎ A．p且q是真命题 B．p且q是假命题 C．綈p是真命题 D．綈q是真命题 解析　对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，‎ 所以命题p为真命题；‎ 对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p且q是真命题．‎ 答案　A ‎8．(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p：存在x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p且q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－1,2]‎ 解析　由命题p：存在x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.‎ 答案　B 二、填空题 ‎9．命题“存在x0∈，tan x0>sin x0”的否定是________．‎ 答案　任意x∈，tan x≤sin x ‎10．若命题“存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵“存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，‎ ‎∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，‎ ‎∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.‎ 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎11．(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：‎ ‎①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”‎ ‎②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件 ‎③命题p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0‎ ‎④若p且q为假命题，则p，q均为假命题 其中为真命题的是________(填序号)．‎ 解析　显然①③正确．‎ ‎②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.‎ ‎∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确．‎ ‎④中，若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误．‎ 答案　①②③‎ ‎12．已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“存在x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由任意x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由存在x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.‎ 答案　[e,4]‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：10分钟)‎ ‎13．(2016·浙江卷)命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)‎ A．任意x∈R，存在n∈N＋，使得n0”‎ ‎③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题 解析　显然命题①，②是真命题．‎ ‎③中，当向量c＝0，命题是假命题．‎ 答案　③‎ ‎16．已知命题p：存在x∈R，ex－mx＝0，q：任意x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p或(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 解析　若p或(綈q)为假命题，则p假q真．‎ 由ex－mx＝0得m＝，设f(x)＝，‎ 则f′(x)＝＝.‎ 当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；‎ 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；‎ 当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减．‎ 由f(x)的图像及单调性知当x＝1时，f(x)＝取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若p是假命题，则0≤m＜e；‎ 命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.‎ 所以当p或(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0,1]．‎ 答案　[0,1]‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎