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  • 2021-05-14 发布

(浙江专版)2020年高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理

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第06节 正弦定理和余弦定理 A 基础巩固训练 ‎1.【2018年理数全国卷II】在中,,,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 2.【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为,,,若的面积为,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.【2017课标II,文16】的内角的对边分别为,若,则 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正弦定理可得 ‎4.【2018年北京卷理】在△ABC中,a=7,b=8,cosB= –.‎ ‎(Ⅰ)求∠A;‎ 10‎ ‎(Ⅱ)求AC边上的高.‎ ‎【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为 ‎(Ⅱ)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==.‎ 如图所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==,∴AC边上的高为.‎ ‎5. 【2017课标3,理17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 ,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由题意首先求得,然后利用余弦定理列方程,边长取方程的正实数根可得 ;‎ ‎(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值,然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为 .‎ 试题解析:(1)由已知得 ,所以 .‎ 在 △ABC中,由余弦定理得 ,即 .‎ 解得: (舍去), .‎ 10‎ B 能力提升训练 ‎1. 提出了已知三角形三边求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有周长为的满足,则用以上给出的公式求得的面积为 A. 12 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合正弦定理可得:,‎ ‎∵△ABC周长为,即a+b+c=,‎ ‎∴a=4,b=6,c=,‎ 所以,‎ 本题选择D选项.‎ ‎2.【2017课标1,文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 10‎ ‎3.【2017浙江,13】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E,DC中点F,由题意:,‎ ‎△ABE中,,,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ 综上可得,△BCD面积为,.‎ ‎4.【2017浙江,11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积, .‎ ‎【答案】‎ 10‎ ‎5.【2017北京,理15】在△ABC中, =60°,c=a.‎ ‎(Ⅰ)求sinC的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ C思维扩展训练 ‎1.【2018届河南省南阳市第一中学第十九次考】已知的内角,,的对边分别为,,,且,,点是的重心,且,则的外接圆的半径为__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析:如图,延长AD交BC于E,易得由条件结合正弦定理及内角和定理可得A=,再利用余弦定理解得a,c,再结合正弦定理易得结果.‎ 详解:如图,延长AD交BC于E,则 10‎ ‎ ‎ 由正弦定理及得 ‎,‎ 因 故,‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又,∴‎ 即,∵‎ ‎∴A=‎ 在中,由余弦定理有 ‎,‎ 在中,由余弦定理有 ‎,‎ 又 故 ‎∴‎ 10‎ 即①‎ 又在中,由余弦定理得 ‎②‎ 由①②解得 由正弦定理有 解得,即 故答案为:1‎ ‎2.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=8,c=6,A=,∠BAC的角平分线交边BC于点D,则|AD|=___________.‎ ‎【答案】‎ 法二:在AC上取|AE|=|AB|=6,连结BE,则△ABE为等边三角形 记AD与BE的交点为F 在△BEC中,由余弦定理可得|BC|=2‎ 再由正弦定理:‎ 可得sin∠EBC=,进而tan∠EBC=‎ 10‎ 所以,在Rt△BFD中,|FD|=3×=‎ 又|AF|=3,故|AD|=‎ ‎3.【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】 已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,f(A)=,△ABC的面积为,AB=,求BC的长.‎ ‎【答案】(1) (2)2或 ‎ ‎【解析】分析:(1)先根据两角和与差正弦公式展开,再根据配角公式得基本三角函数形式,最后根据正弦函数周期公式求结果,(2)先求A,再根据面积公式求不,最后根据余弦定理求a.‎ 详解:‎ 解:函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx.‎ 化简可得:f(x)=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin(x+)‎ ‎(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=;‎ ‎(Ⅱ)由f(A)=,即2sin(A+)=,‎ ‎∴sin(A+)=,‎ ‎∵0<A<π,‎ ‎∴<(A+).‎ 可得:(A+)=或 则A=或A=.‎ 当则A=时,△ABC的面积为=bcsinA,AB=c=,‎ ‎∴b=AC=2‎ 余弦定理:BC2=22+(2)2﹣2××cos,‎ 解得:BC=2‎ 当A=时,△ABC的面积为=bc,AB=c=,‎ ‎∴b=AC=1‎ 直角三角形性质可得:BC2=22+(2)2,‎ 10‎ 解得:BC=.‎ ‎4. 【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若,求的面积最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得:,‎ 即,‎ 整理得:.‎ ‎(当且仅当取等号),‎ ‎,即,‎ ‎,‎ 故面积的最大值为.‎ ‎5.在中,角,,所对的边分别是,,,且,.‎ ‎(1)若满足条件的有且只有一个,求的取值范围;‎ ‎(2)当的周长取最大值时,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 10‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)首先利用三角恒等变形求出的三角函数值,再利用正弦定理即可求解;(2)利用正弦定理将周长的表达式转化为以为变量的函数,利用三角函数的性质即可求解.‎ 试题解析:(1),即,‎ 又∵,且,有,若满足条件的有且只有一个,则有或,则的取值范围为;(2)设的周长为,由正弦定理得 ‎,‎ 其中为锐角,且, ,当,时取到,‎ 此时. ‎ 10‎