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- 2021-05-14 发布
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第06节 正弦定理和余弦定理
A 基础巩固训练
1.【2018年理数全国卷II】在中,,,,则
A. B. C. D.
【答案】A
2.【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为,,,若的面积为,则
A. B. C. D.
【答案】C
3.【2017课标II,文16】的内角的对边分别为,若,则
【答案】
【解析】由正弦定理可得
4.【2018年北京卷理】在△ABC中,a=7,b=8,cosB= –.
(Ⅰ)求∠A;
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(Ⅱ)求AC边上的高.
【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为
(Ⅱ)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==.
如图所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==,∴AC边上的高为.
5. 【2017课标3,理17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 ,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
试题分析:(1)由题意首先求得,然后利用余弦定理列方程,边长取方程的正实数根可得 ;
(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值,然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为 .
试题解析:(1)由已知得 ,所以 .
在 △ABC中,由余弦定理得 ,即 .
解得: (舍去), .
10
B 能力提升训练
1. 提出了已知三角形三边求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有周长为的满足,则用以上给出的公式求得的面积为
A. 12 B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合正弦定理可得:,
∵△ABC周长为,即a+b+c=,
∴a=4,b=6,c=,
所以,
本题选择D选项.
2.【2017课标1,文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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3.【2017浙江,13】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.
【答案】
【解析】取BC中点E,DC中点F,由题意:,
△ABE中,,,
.
又,
,
综上可得,△BCD面积为,.
4.【2017浙江,11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积, .
【答案】
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5.【2017北京,理15】在△ABC中, =60°,c=a.
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
C思维扩展训练
1.【2018届河南省南阳市第一中学第十九次考】已知的内角,,的对边分别为,,,且,,点是的重心,且,则的外接圆的半径为__________.
【答案】1
【解析】分析:如图,延长AD交BC于E,易得由条件结合正弦定理及内角和定理可得A=,再利用余弦定理解得a,c,再结合正弦定理易得结果.
详解:如图,延长AD交BC于E,则
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由正弦定理及得
,
因
故,
∴
∵
∴
∴
又,∴
即,∵
∴A=
在中,由余弦定理有
,
在中,由余弦定理有
,
又
故
∴
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即①
又在中,由余弦定理得
②
由①②解得
由正弦定理有
解得,即
故答案为:1
2.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=8,c=6,A=,∠BAC的角平分线交边BC于点D,则|AD|=___________.
【答案】
法二:在AC上取|AE|=|AB|=6,连结BE,则△ABE为等边三角形
记AD与BE的交点为F
在△BEC中,由余弦定理可得|BC|=2
再由正弦定理:
可得sin∠EBC=,进而tan∠EBC=
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所以,在Rt△BFD中,|FD|=3×=
又|AF|=3,故|AD|=
3.【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】 已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,f(A)=,△ABC的面积为,AB=,求BC的长.
【答案】(1) (2)2或
【解析】分析:(1)先根据两角和与差正弦公式展开,再根据配角公式得基本三角函数形式,最后根据正弦函数周期公式求结果,(2)先求A,再根据面积公式求不,最后根据余弦定理求a.
详解:
解:函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx.
化简可得:f(x)=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin(x+)
(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=;
(Ⅱ)由f(A)=,即2sin(A+)=,
∴sin(A+)=,
∵0<A<π,
∴<(A+).
可得:(A+)=或
则A=或A=.
当则A=时,△ABC的面积为=bcsinA,AB=c=,
∴b=AC=2
余弦定理:BC2=22+(2)2﹣2××cos,
解得:BC=2
当A=时,△ABC的面积为=bc,AB=c=,
∴b=AC=1
直角三角形性质可得:BC2=22+(2)2,
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解得:BC=.
4. 【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若,求的面积最大值.
【答案】(1)(2)
(Ⅱ)由余弦定理得:,
即,
整理得:.
(当且仅当取等号),
,即,
,
故面积的最大值为.
5.在中,角,,所对的边分别是,,,且,.
(1)若满足条件的有且只有一个,求的取值范围;
(2)当的周长取最大值时,求的值.
【答案】(1);(2).
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【解析】
试题分析:(1)首先利用三角恒等变形求出的三角函数值,再利用正弦定理即可求解;(2)利用正弦定理将周长的表达式转化为以为变量的函数,利用三角函数的性质即可求解.
试题解析:(1),即,
又∵,且,有,若满足条件的有且只有一个,则有或,则的取值范围为;(2)设的周长为,由正弦定理得
,
其中为锐角,且, ,当,时取到,
此时.
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