高考数学模拟试题全国新课标卷 5页

高考模拟数学试题(一)（全国新课标卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．i 为虚数单位,复数 i i   1 3 = A． i2 B． i2 C． 2i D． 2 i 2．等边三角形 ABC 的边长为 1，如果 , , ,BC a CA b AB c        那么 a b b c c a          等于 A． 3 2 B． 3 2  C． 1 2 D． 1 2  3．已知集合 }4|4||{ 2  xxZxA ， }8 1 2 1|{       y NyB ，记 Acard 为集合 A 的元素 个数，则下列说法不正确．．．的是 A． 5card A B． 3card B C． 2)card( BA D． 5)card( BA  4．一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的 侧视图的面积为 A．6 3 B．8 C．8 3 D．12 5．过抛物线 2 4y x 的焦点作直线交抛物线于点    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 两点，若 1 2 6x x  ，则 PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为 A．5 B．4 C．3 D．2 6．下列说法正确的是 A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C．事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大 D．事件 A、B 同时发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率小 7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为 A． 1 0 3 0 0 2 0( ( ))a x a x a a x   的值 B． 3 0 2 0 1 0 0( ( ))a x a x a a x   的值 C． 0 0 1 0 2 3 0( ( ))a x a x a a x   的值 D． 2 0 0 0 3 1 0( ( ))a x a x a a x   的值 8．若(9x－ 1 3 x )n（n∈N*）的展开式的第 3 项的二项式 系数为 36，则其展开式中的常数项为 A．252 B．－252 C．84 D．－84 9．若 S1＝错误!1 xdx，S2＝错误!(lnx＋1)dx，S3＝错误!xdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为 A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S1＜S2 10．在平面直角坐标系中,双曲线 2 2 112 4 x y  的右焦点为 F,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点。若△FAB 的面识为8 3 ，则直线l 的斜率为 A． 13 132 B． 2 1 C． 4 1 D． 7 7 11．已知三个正数 a，b，c 满足 acba 3 ， 22 5)(3 bcaab  ，则以下四个命题正确的是 p1：对任意满足条件的 a、b、c，均有 b≤c； p2：存在一组实数 a、b、c，使得 b>c； p3：对任意满足条件的 a、b、c，均有 6b≤4a+c； p4：存在一组实数 a、b、c，使得 6b>4a+c. A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 12．四次多项式 )(xf 的四个实根构成公差为 2 的等差数列，则 ( )f x 的所有根中最大根与最小 根之差是 A．2 B．2 3 C．4 D． 52 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题－21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题－23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题包括 4 小题，每小题 5 分. 13．某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据（单位：百万元）． x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为y^＝6.5x＋17.5，则表中 t 的值为 ． 14．已知函数 y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，π 2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值 集合为 ． 15．已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥 S-ABC 的体积为 ． 16．等比数列{an}中，首项 a1＝2，公比 q＝3，an＋an＋1＋…＋am＝720(m，n∈N*，m＞n)，则 m ＋n＝ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 在  ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,证明： （1） cos cosb C c B a  ； （2） 22sincos cos 2 C A B a b c   . 18．（本小题满分 12 分） 直三棱柱 111 CBAABC  的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点． （1）求证：直线 BDAAB 11 平面 ； （2）求二面角 BDAA  1 的大小正弦值； 19．（本小题满分 12 分） 对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录： 日车流量 x 50  x 105  x 1510  x 2015  x 2520  x 25x 频率 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立． （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天的日车流量 低于 5 万辆的概率； （2）用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数，求 X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  bab y a x 的焦距为 2 且过点 )2 3,1( ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 1 2,F F ，求该平行四边形面积的 最大值． 21．（本小题满分 12 分） 设函数 xcbxaxxf ln)( 2  ，（其中 cba ,, 为实常数） （1）当 1,0  cb 时，讨论 )(xf 的单调区间； （2）曲线 )(xfy  （其中 0a ）在点 ))1(f1( ， 处的切线方程为 33  xy ， （ⅰ）若函数 )(xf 无极值点且 )(' xf 存在零点，求 cba ,, 的值； （ⅱ）若函数 )(xf 有两个极值点，证明 )(xf 的极小值小于 4 3－ . 请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 22cos ( ) sin 2 x y        是参数 ，以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 1 sin cos     . （1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）求曲线 1C 上的任意一点 P 到曲线 2C 的最小距离，并求出此时点 P 的坐标. 23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲. 设函数 ( ) | 2 |f x x a a   . （1） 若不等式 ( ) 6f x ≤ 的解集为{ | 2 3}x x ≤ ≤ ，求实数 a 的值； （2） 在（1）条件下，若存在实数n ，使得 ( ) ( )f n m f n ≤ 恒成立，求实数m 的取值范围. 高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案 一、选择题：本大题包括 12 小题，每小题 5 分。 1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题： 13. 50 14.{1 3 ，2 3 ，1} 15. 4 3 3 16.9 三、解答题: 17.证法一：（余弦定理法） （1） 2 2 2 2 2 2 22cos cos 2 2 2 a b c a c b ab C c B b c aab ac a         （2） 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 cos cos 2 2 2 2 ( ) 2 a c b b c a A B ac bc a b a b ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc                2 2 2 2 2 2 212sin 1 cos 222 2 a c bC C ab a b cac c c c abc        ，所以等式成立 证法二：（正弦定理法） （1）在  ABC 中由正弦定理得 2 sin , 2 sinb R B c R C  ，所以 cos cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin( ) 2 sin b C c B R B C R C B R B C R A a        （2）由（1）知 cos cosb C c B a  ， 同理有 cos cosa C c A b  所以 cos cos cos cosb C c B a C c A a b     即 2(cos cos ) ( )(1 cos ) ( ) 2sin 2 Cc B A a b C a b       所以 22sincos cos 2 C A B a b c   18. 解：（1）取 BC 中点O ，连结 AO ． ABC 为正三角形， BCAO  111 CBAABC 直棱柱 11BBCCABC 平面平面  且相交于 BC 11BBCCAO 平面 取 11CB 中点 1O ，则 11 // BBOO BCOO  1 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系 xyzO  ， 则           )0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,1 11  CBAADB      3,2,1,0,1,2,3,2,1 11  BABDAB 0,0 111  BAABBDAB ， 111 , BAABBDAB  ．  1AB 平面 1A BD ． （2）设平面 ADA1 的法向量为  zyxn ,, ．    0,2,0,3,1,1 1  AAAD ． ,, 1AAnADn       02 03 y zyx 令 1z 得  1,0,3n 为平面 ADA1 的一个法向量． 由（1）  3,2,11 AB 为平面 1A BD 的法向量． 4 6,cos 1  ABn ．所以二面角 BDAA  1 的大小的正弦值为 4 10 ． 19. 解：（Ⅰ）设 A1 表示事件“日车流量不低于 10 万辆”，A2 表示事件“日车流量低于 5 万辆”， B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日车流量不低于 10 万辆且另 1 天车流量低于 5 万 辆”．则 P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70， P(A2)＝0.05， 所以 P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049 （Ⅱ） X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率分别为 027.0)7.01()0( 30 3  CXP ， 189.0)7.01(7.0)1( 21 3  CXP ， 441.0)7.01(7.0)2( 22 3  CXP ， 343.07.0)3( 33 3  CXP . X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 因为 X～B(3，0.7)，所以期望 E(X)＝3×0.7＝2.1. 20. 解：（1）由已知可得      ，1 4 91 ,222 22 22 ba bac 解得 a2＝4，b2＝3， 所以椭圆 C 的标准方程是 134 22  yx . （2）由已知得： 1 2 2F F  ，由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点 O 是其对称中心，且 1 2 2ABCD ABF FS S 四边形    1 2 1 1 2 1 2 2 2AF F AF B AF F BF FS S S S        1 2 2A B A DF F y y y y    ， 当直线 AD 的斜率存在时，设其方程为  1y k x  ， 代入椭圆方程，整理得： 2 2 2 23 4 4 12 0k x k x k     ， 由韦达定理得： 2 2 2 2 8 4 12,3 4 3 4A D A D k kx x x xk k     ， ∴          2 2 2 2 22 2 22 144 1 4 3 4 A D A D A D A D k k y y k x x k x x x x k           ， ∴       2 2 2 2 22 2 144 1 8 92 2 6 1 6 3 4 3 4 ABCD A D k k kS y y k k          ， 当直线 AD 的斜率不存在时，易得： 3 31, , 1,2 2A D          ，∴ 2 6ABCD A DS y y   ， 综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6． 21. 解：（1）当 1,0  cb 时 x ax xaxxf 1212)(' 2  ， )0( x ………1 分 当 0a 时， 0)(' xf 很成立， )(xf 在 ),0(  上是增函数；………2 分 当 0a 时，令 0)(' xf 得 ax 2 1 或 ax 2 1 （舍）………3 分 令 0)(' xf 得 ax 2 10  ；令 0)(' xf 得 ax 2 1 )(xf 在上 )2 1,0( a  是增函数，在 ),2 1(  a 上是减函数………4 分 (2) (i) x cbaxxf  2)(' 由题得      3)1(' 0)1( f f ， 即      32 0 cba ba      ac ab 3 ． 则 xaaxaxxf ln)3()( 2  ， x aaxax x aaaxxf  3232)(' 2 （ⅰ）由 )(xf 无极值点且 )(' xf 存在零点，得 0)3(82  aaa )0( a 解得 3 8a ，于是 3 8b ， 3 1c ． （ⅱ）由(i)知 )0(32)(' 2  xx aaxaxxf ，要使函数 )(xf 有两个极值点，只要方程 032 2  aaxax 有两个不等正根， 设两正根为 21, xx ，且 21x x ，可知当 2xx  时有极小值 )( 2xf ．其中这里 ,4 10 1  x 由于 对称轴为 4 1x ，所以 2 1x4 1 2  ， 且 032 2 2 2  aaxax ，得 12 3 2 2 2   xx a 【也可用以下解法：由(Ⅱ)知 )0(32)(' 2  xx aaxaxxf ，要使函数 )(xf 有两个极值 点，只要方程 032 2  aaxax 有两个不等正根， 那么实数 a 应满足           0)2(2 03 0)3(82 a a a aaa ，解得 33 8  a ， aa aaaax 2494 1 4 1 4 )3(82 2   33 8  a 12490  a 即 2 1x4 1 2  】 所以有 22 2 22 ln)3()( xaaxaxxf  12 )ln(3ln3ln3)ln( 2 2 2 22 2 2 2222 2 2   xx xxxxxxxxa )2 1x4 1( 2  而 2 2 2 2 22 2 22 2 )12( )ln)(14(3)('   xx xxxxxf ， 记 xxxxg ln)( 2  ， )14 1(  x ， 有 0)1)(12()('  x xxxg 对 ]1,4 1(x 恒成立， 又 0)1( g ，故对 )2 1,4 1(x 恒有 )1()( gxg  ，即 0)( xg ． 0)(' 2  xf 对于 2 1x4 1 2  恒成立即 )( 2xf 在      2 1,4 1 上单调递增， 故 4 3)2 1()(f 2  fx ． 22.解：(1) 由题意知， 1C 的普通方程为 2 2( 1) 1x y   2C 的直角坐标方程为 1y x  . (2) 设 (1 cos2 ,sin 2 )P   ，则 P 到 2C 的距离 2 | 2 2 cos(2 ) |2 4d    ，当 cos(2 ) 14     ， 即 32 2 ( )4 k k Z    时， d 取最小值 2 1 ， 此时 P 点坐标为 2 2(1 , )2 2  . 23.解：(1) 由 ( ) 6f x  ，得 6 2 6 ( 6)a x a a a      ，即其解集为 { | 3 3}x a x   ，由题意知 ( ) 6f x  的解集为{ | 2 3}x x   ，所以 1a  . (2) 原不等式等价于，存在实数 n ，使得 ( ) ( ) |1 2 | |1 2 | 2m f n f n n n        恒成立，即 min|1 2 | |1 2 | 2m n n     ，而由绝对值三角不等式，|1 2 | |1 2 | 2n n    ， 从而实数 4m  .