高考数学复习教学案专题12概率与统计学生版 17页

专题十二 概率与统计 ‎（一）知识梳理 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．‎ ‎3．两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．‎ ‎4．排列与排列数公式 ‎(1)排列与排列数 ‎(2)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ .‎ ‎(3)排列数的性质 ‎①A＝n！； ②0！＝1.‎ ‎5．组合与组合数公式 ‎(1)组合与组合数 ‎(2)组合数公式 C＝ ＝ ＝ .‎ ‎(3)组合数的性质 ‎①C＝1； ②C＝； ③C＋C＝C.‎ ‎6．排列与组合问题的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 ‎7．二项式定理 ‎(1)定理：‎ ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．‎ ‎(2)通项：‎ 第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk.‎ ‎(3)二项式系数：‎ 二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0,1,2，…，n)．‎ ‎8．二项式系数的性质 ‎9．概率与频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．‎ ‎10．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等 关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥 事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立 事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅；‎ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1‎ ‎11．理解事件中常见词语的含义：‎ ‎(1)A，B中至少有一个发生的事件为；‎ ‎(2)A，B都发生的事件为AB；‎ ‎(3)A，B都不发生的事件为；‎ ‎(4)A，B恰有一个发生的事件为A∪B；‎ ‎(5)A，B至多一个发生的事件为A∪B∪.‎ ‎12．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率：P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ ‎13．互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ ‎14．基本事件的特点 ‎(1)任意两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎15．古典概型 ‎（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．‎ ‎②每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎（2）古典概型的概率公式：P(A)＝ .‎ ‎16．几何概型 ‎（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎（2）几何概型的概率公式：P(A)＝ .‎ ‎17．条件概率及其性质 ‎(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝＝．‎ ‎(2)条件概率具有的性质：‎ ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎18．相互独立事件 ‎(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．‎ ‎(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．‎ ‎(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．‎ ‎(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．‎ ‎19．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ ‎20．离散型随机变量的分布列及其性质 ‎(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质：‎ ‎①pi≥0(i＝1,2，…，n)； ②pi＝1.‎ ‎21．常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布：‎ 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ ‎（3）二项分布 ‎①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎②在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎22．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎<1>均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎<2>方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎<3>均值与方差的性质 (a，b为常数)．‎ ‎<4>两点分布与二项分布的均值、方差 X X服从两点分布 X～B(n，p)‎ E(X)‎ p(p为成功概率)‎ np D(X)‎ p(1－p)‎ np(1－p)‎ ‎23.正态分布：若随机变量的概率密度函数可以表示为，则称服从正态分布，记为，其中.‎ ‎24.正态曲线的特点 ‎(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；‎ ‎(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；‎ ‎(3)曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎(4)曲线与x轴之间的面积为1；‎ ‎(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；‎ ‎(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆)‎ ‎① P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；‎ ‎② P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；‎ ‎③ P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.‎ ‎25．简单随机抽样 ‎(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．‎ ‎(2)常用方法：抽签法和随机数表法．‎ ‎26．系统抽样 ‎(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；‎ ‎②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；‎ ‎③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；‎ ‎④按照一定的规则抽取样本．‎ ‎(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．‎ ‎27．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．‎ ‎(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．‎ ‎28．三种抽样方法的比较 类别 各自特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中 逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 系统 抽样 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层 抽样 将总体分成几层，按各层个体 数之比抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎29．作频率分布直方图的步骤 ‎(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．‎ ‎(2)决定组距与组数．‎ ‎(3)将数据分组．‎ ‎(4)列频率分布表．‎ ‎(5)画频率分布直方图．‎ ‎30．频率分布折线图和总体密度曲线 ‎(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．‎ ‎(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．‎ ‎31．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．‎ ‎32．样本的数字特征 ‎(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．‎ ‎(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．‎ ‎(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．‎ ‎(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据 标准差为s＝ 方差为s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]‎ ‎33．变量间的相关关系 ‎(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．‎ ‎(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．‎ ‎34．两个变量的线性相关 ‎(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．‎ ‎(2)回归直线方程为，其中 ‎ ‎(3)通过求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．‎ ‎(4)相关系数：‎ 当r>0时，表明两个变量正相关；‎ 当r<0时，表明两个变量负相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．‎ ‎35．独立性检验 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．‎ ‎（二）考点剖析 考点一：二项式的多项展开问题 例1:(1)两项展开之积] (1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为 .‎ ‎ (2)三项展开问题] (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为 .‎ 考点释疑：(1)(a＋b)m(c＋d)n的多项展开问题分别用通项公式之积进行化简，对应指数后，讨论r1，r2的取值．‎ ‎(2)(a＋b＋c)n的展开型，转化为(a＋b)＋c]n二项展开求解，但注意a，b，c的结合或用展开的方式借助组合知识求解．　‎ 考点二：二项式的展开式系数和问题 例2：(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ 考点释疑：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　　　‎ 考点三：条件概率 例3：(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ‎ . ‎ ‎(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，‎ 则①P(A)＝________；②P(B|A)＝________.‎ 考点释疑：条件概率的求法：‎ ‎①利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法．‎ ‎②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.　　　　 ‎ 考点四：相互独立事件同时发生的概率 ‎ 例4：甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：‎ ‎(1)两人都击中目标的概率；‎ ‎(2)其中恰有一人击中目标的概率；‎ ‎(3)至少有一人击中目标的概率．‎ 考点释疑：(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．‎ 考点五：离散型随机变量分布列的性质及应用 ‎ 例5：(1)随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(