【推荐】专题36 电磁感应中的：杆-2B导轨模型-2017-2018学年高二物理专题提升之电学 17页

一：专题概述 ‎1. 模型构建 ‎“杆+导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”,也是高考的热点,考查的知识点多,题目的综合性强,物理情景变化空间大.“杆+导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(重点考查“单杆”型);导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜;杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等.‎ ‎2. 模型分类及特点 ‎(1) 单杆水平式 匀强磁场与导轨垂直,磁感应强度为B,棒ab长为L,质量为m,初速度为零,拉力恒为F,水平导轨光滑,除电阻R外,其他电阻不计 设运动过程中某时刻棒的速度为v,由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a=-,a、v同向,随速度的增加,棒的加速度a减小,当a=0时,v最大,I=恒定 运动形式 匀速直线运动 力学特征 a=0　v恒定不变 电学特征 I恒定 ‎　　(2) 单杆倾斜式 匀强磁场与导轨垂直,磁感应强度为B,导轨间距L,导体棒质量m,电阻R,导轨光滑,电阻不计 棒ab释放后下滑,此时a=gsin α,棒ab的速度v↑感应电动势E=BLv↑电流I=↑安培力F=BIL↑加速度a↓,当安培力F=mgsin α时,a=0,v最大 运动形式 匀速直线运动 力学特征 a=0　v最大　vm=‎ 电学特征 I恒定 二：典例精讲 典例1：如图所示，两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨相距为L，导轨平面与水平面成θ角，质量均为m、阻值均为R的金属棒a、b紧挨着放在两导轨上，整个装置处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，以一平行于导轨平面向上的恒力F＝2mgsinθ拉a棒，同时由静止释放b棒，直至b棒刚好匀速时，在此过程中通过棒的电量为q，棒与导轨始终垂直并保持良好接触，重力加速度为g。求：‎ ‎(1)b棒刚好匀速时，a、b棒间的距离s；‎ ‎(2)b棒最终的速度大小vb；‎ ‎(3)此过程中a棒产生的热量Q。‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)－ ‎【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律有＝　①‎ 根据闭合电路欧姆定律有 ＝　②‎ 又q＝Δt　③‎ 得q＝＝＝，解得 s＝　 ④‎ ‎(2)b棒匀速时有 ‎ BIL＝mgsin θ　⑤‎ E＝BL(va＋vb)　⑥‎ I＝　⑦‎ 对a棒向上加速的任一时刻由牛顿第二定律得 F－BIL－mgsin θ＝ma1，即 mgsin θ－BIL＝ma1　⑧‎ 对b棒向下加速的任一时刻由牛顿第二定律得 mgsin θ－BIL＝ma2　⑨‎ 由⑧⑨式可得a1＝a2，‎ 故a、b棒运动规律相似，速度同时达到最大，且最终 va＝vb　 ⑩‎ 由⑤⑥⑦⑩式可得 vb＝　⑪‎ 典例2：如图甲所示,MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定,N、Q之间接电阻箱R,导轨所在空间存在匀强磁场,磁场方向垂直于轨道平面向上,磁感应强度为B=0.5T.质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上,其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab,测得最大速度为vm.改变电阻箱的阻值R,得到vm与R之间的关系如图乙所示.已知导轨间距为L=2 m,重力加速度取g=10m/s2,轨道足够长且电阻不计.求:‎ ‎ ‎ 甲 乙 ‎(1) 当R=0时,杆ab匀速下滑过程中产生感应电动势E的大小及杆中的电流方向.‎ ‎(2) 金属杆的质量m及阻值r.‎ ‎(3) 当R=4Ω时,回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W.‎ ‎【答案】 (1) 3V　b→a　(2) 0.2kg　3Ω　(3) 0.7J ‎【解析】 (1) 由图乙可知,当R=0时,杆以最终速度3 m/s匀速运动,产生电动势为E=BLv,‎ 代入数据得E=3 V,‎ 杆中电流方向为b→a.‎ 从图象可知:斜率为 k= m/(s·Ω)=1 m/(s·Ω),‎ 截距为v0=3 m/s,‎ 得到 r=v0,=k,‎ 代入数据得m=0.2 kg,r=3Ω.‎ ‎(3) 由题意知E=BLv,P=,得P=,‎ 所以ΔP=-,‎ 由动能定理得W=m-m,得 W=ΔP,‎ 代入数据得W=0.7J.‎ 典例3：如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ 中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg、电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg、电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2。问：‎ ‎(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；‎ ‎(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；‎ ‎(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少。‎ ‎【答案】(1)从a到b　(2)5 m/s　(3)1.3 J ‎【解析】(1)cd下滑，根据右手定则判断，c端电势高于d端，ab中电流方向从a到b。‎ ‎(2)ab刚放上时，刚好不下滑，说明ab棒受到了最大静摩擦力Ffm作用，且Ffm＝m1gsinθ cd棒下滑后，分析导体棒ab的受力如图所示，ab刚要上滑时，ab所受最大静摩擦力沿斜面向下，则 F安＝Ffm＋m1gsinθ 又F安＝ILB cd棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv 由闭合电路的欧姆定律得 I＝ 由以上各式得 v＝＝5 m/s。‎ 三 总结提升 分析方法和步聚：‎ ‎（1）找准主动运动（即切割磁感线）者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动 势大小和方向.‎ ‎（2）根据等效电路图，求解回路电流大小及方向 ‎（3）分析导体棒的受力情况及导体棒运动后对电路中电学参量的“反作用”.‎ ‎（4）从宏观上推断终极状态 ‎（5）列出动力学方程或平衡方程进行求解.‎ 四 提升专练 ‎1.(多选) 如图所示,间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置,导轨左端用一阻值为R的电阻连接,导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒,金属棒与导轨接触良好.整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中.现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动,若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q.则 (　　)‎ A. 金属棒做加速度增大的减速运动 B. 整个过程中电阻R上产生的热量为 C. 整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为 D. 整个过程中金属棒克服安培力做功为 ‎【答案】 BCD ‎2.(多选)倾角为α的光滑导电轨道间接有电源，轨道间距为L，轨道上放一根质量为m的金属杆ab，金属杆中的电流为I，现加一垂直金属杆ab的匀强磁场，如图所示， ab杆保持静止，则磁感应强度方向和大小可能为 (　　)‎ A. 方向垂直轨道平面向上时，磁感应强度最小，大小为 B. z正向，大小为 C. X正向，大小为 D. Z正向，大小为 ‎【答案】ACD ‎【解析】A、当磁场垂直轨道平面向上时，根据平衡条件： ，则，此时B最小，故选项A正确；‎ B、当磁场沿Z正方向时，安培力水平向右，由平衡条件可得， ，则，故选项B错误，D正确；‎ C、当磁场沿X正向时，安培力竖直向上，则根据平衡条件： ，则： ，故选项C正确。‎ ‎3.用两根足够长的粗糙金属条折成“┏”形导轨,右端水平,左端竖直,与导轨等宽的粗糙金属细杆ab、cd和导轨垂直且接触良好.已知ab、cd杆的质量、电阻值均相等,导轨电阻不计,整个装置处于竖直向上的匀强磁场中.当ab杆在水平拉力F作用下沿导轨向右匀速运动时,cd杆沿轨道向下运动,下列说法中正确的是 (　　)‎ A. cd杆一定向下做匀速直线运动 B. cd杆一定向下做匀加速直线运动 C. F做的功等于回路中产生的焦耳热与ab杆克服摩擦做功之和 D. F的功率等于ab杆上的焦耳热功率与摩擦热功率之和 ‎【答案】C ‎4.如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好。则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)‎ A．流过金属棒的最大电流为 B．通过金属棒的电荷量为 C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)‎ ‎【答案】D ‎5. 如图所示,MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨,导轨间距L为0.5 m,导轨左端连接一个阻值为2 Ω的定值电阻R,将一根质量为0.2 kg的金属棒cd垂直放置在导轨上,且与导轨接触良好,金属棒cd的电阻r=2 Ω,导轨电阻不计,整个装置处于垂直导轨 平面向下的匀强磁场中,磁感应强度为B=2T.若棒以1‎ ‎ m/s的初速度向右运动,同时对棒施加水平向右的拉力F作用,并保持拉力的功率恒为4 W,从此时开始计时,经过2 s金属棒的速度稳定不变.试求:‎ ‎(1) 金属棒的最大速度.‎ ‎(2) 金属棒速度为3 m/s时的加速度.‎ ‎(3) 从开始计时起2 s内电阻R上产生的热量.‎ ‎【答案】 (1) 4m/s　(2) m/s2　(3) 3.25J ‎【解析】 (1) 金属棒的速度最大时,所受合力为零,即BIL=F,‎ 而P=Fvm,I=,‎ 解出vm== m/s=4 m/s.‎ ‎(2) 速度为3 m/s时,感应电动势 E=BLv=2×0.5×3 V=3 V,‎ 电流I=,安培力F安=BIL,‎ 金属棒受到的拉力F== N,‎ 由牛顿第二定律得F-F安=ma,‎ 解得a== m/s2= m/s2.‎ ‎6. 如图所示，两根平行放置的导电轨道，间距为L，倾角为，轨道间接有电动势为E，内阻为r的电源，现将一根质量为m、电阻为R的金属杆ab水平且与轨道垂直放置，金属杆与轨道接触摩擦和电阻均不计，整个装置处在匀强磁场中且ab杆静止在轨道上，求：‎ ‎（1）若磁场竖直向上，则磁感应强度B1是多少？‎ ‎（2）如果金属杆对轨道无压力，则匀强磁场的磁感应强度的B2是多少？方向如何？‎ ‎（3）若所加匀强磁场的大小和方向可以改变，则磁感应强度B3至少多大？方向如何？‎ ‎【答案】（1） （2） 水平向左 （3）垂直斜面向上 ‎【解析】(1)依题意，对金属棒ab进行受力分析，如图所示：‎ 闭合电路欧姆定律，有： ‎ 根据平衡条件，有：F=mgtanθ 安培力大小为：F=B1IL 联立解得： ‎ 解得： ‎ ‎ (3)当磁场方向垂直与斜面斜向上时，磁感应强度最小，由mgsinθ=B3IL得：‎ ‎ ‎ ‎7. 导轨式电磁炮是利用磁场对电流的作用力,把电能转变成机械能的发射装置。如图为一电磁炮模型,把两根长为S0=100m,互相平行的铜制轨道放在垂直于轨道平面的磁场中,磁感应强度B=2.0×10−2T;质量m=2.0kg的弹体(包括金属杆PQ的质量)静止在轨道之间的宽L=2m的金属架上,通电后通过弹体的电流I=10A,弹体在运动过程中所受的阻力f恒为4.0×10−2N，求：‎ ‎(1) 弹体受到的安培力多大？‎ ‎(2)弹体最终以多大的速度V离开轨道?‎ ‎(3)求弹体在S=25m处安培力的瞬时功率P?‎ ‎【答案】（1）0.4 N； （1）6m/s； （2）1.2W．‎ ‎8. 如图所示，长度为L＝0.2m、电阻r＝0.3Ω、质量m＝0.1kg的金属棒CD，垂直跨接在位于水平面上的两条平行光滑的金属导轨上，导轨间距离也为L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计。导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过导轨平面，磁感强度B＝4T。现以水平向右的恒定外力F使金属棒右移,当金属棒以v＝2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，求：‎ ‎（1）电路中理想电流表和与理想电压表的示数；‎ ‎（2）拉动金属棒的外力F的大小。‎ ‎【答案】（1）2A；1V（2）1.6N ‎【解析】（1）CD杆产生的电动势为E，电流表的示数为I，电压表示数为U。‎ E＝BLv ‎ ‎ ‎ 联立得：I = 2A ‎ 由欧姆定律可得：U=IR ‎ 将数据代入可得：U=1V ‎（2）设CD杆受到的拉力为F，由安培力公式可得：‎ FA=BIL ‎ FA =1.6N 所以杆受到的拉力F= FA =1.6N ‎9. 如图所示,固定光滑金属导轨间距为L,导轨电阻不计,上端a、b间接有阻值为R的电阻,导轨平面与水平面的夹角为θ,且处在磁感应强度大小为B. 方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上。初始时刻,弹簧恰处于自然长度,导体棒具有沿轨道向上的初速度v0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行。‎ ‎(1)求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；‎ ‎(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a.‎ ‎【答案】（1） 电流方向为b→a （2）gsinθ−‎ ‎ (1)棒产生的感应电动势为：E1=BLv0‎ 根据欧姆定律得通过R的电流大小为： ‎ 根据右手定则判断得知：电流方向为b→a     ‎ ‎(2)棒产生的感应电动势为：E2=BLv 根据欧姆定律得感应电流为： ‎ 棒受到的安培力大小为： ，方向沿斜面向上，受力如图所示：‎ 根据牛顿第二定律有： ‎ 解得： ‎ ‎10. 如图所示,两根足够长的平行金属导轨间距l=0.50 m,倾角θ=53°,导轨上端串接电阻R=0.05 Ω.在导轨间长d=0.56 m的区域内,存在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度B=2.0 T的匀强磁场.质量m=4.0 kg的金属棒CD水平置于导轨上,用轻质细绳跨过定滑轮与拉杆GH(GH杆的质量不计)相连.某同学用F=80 N的恒力竖直向下拉动GH杆,使CD棒从图中初始位置由静止开始运动,刚进入磁场时速度为v=2.4 m/s,当CD棒到达磁场上边界时该同学松手.取g=10 m/s2,sin 53°=0.8,不计其他电阻和一切摩擦.求:‎ ‎(1) CD棒的初始位置与磁场区域下边界的距离s.‎ ‎(2) 该同学松手后,CD棒能继续上升的最大高度h.‎ ‎(3) 在拉升CD棒的过程中,该同学所做的功W和电阻R上产生的热量Q.‎ ‎【答案】 (1) 0.24 m　(2) 0.288 m　(3) 26.88 J 所以CD棒在磁场中做匀速直线运动 离开磁场后,CD棒沿导轨向上做匀减速运动 由v2=2gxsin θ 解得x=0.36 m CD棒还能继续上升的最大高度h=xsin θ=0.288 m