【物理】2019届二轮复习动态圆周运动学案（全国通用） 11页

‎2019届二轮复习 动态圆周运动 学案（全国通用）‎ ‎【题型概览】‎ 在动态圆周运动中，圆周运动的轨迹平面可以在水平面内、竖直面内，也可以在斜面内；约束可以是由接触面形成，可以由杆形成，也可以由绳、环形成；接触面可以是水平面、竖直面或是斜面，可以是单侧约束或双侧约束；形成临界的原因可以是接触面的分离、接触面间滑动、绳的松弛与断裂等 ‎【题型通解】‎ ‎1.动态分析方法 ‎(1)首先分析物体受力,建立正交坐标系列方程 一种正交分解方法是：在沿半径方向上列出动力学方程：，注意v与F向对应于圆周上同一位置；垂直于半径方向上在匀速圆周运动中可列出平衡方程，变速圆周运动中此方向上合力不为0.‎ 再一种正交分解的方法是以待求的力所在直线建立坐标轴，向心加速度不在坐标轴上时将向心加速度也分解，在两方向上均利用牛顿第二定律列方程 ‎(2)确定方程中的不变量与变化量，分析变量的变化情况，需注意变量的取值范围.‎ ‎2.圆周运动中的临界状态 ‎(1)绳形成的临界状态有两种:张力最小时(等于零)的即将松弛状态与张力最大时即将断裂的状态.‎ ‎(2)接触面形成的临界状态也有两种常见情形：一是即将分离时的弹力为零状态;二是即将发生相对滑动时的摩擦力达到最大静摩擦力的状态或是静摩擦力方向即将改变即恰好为零的状态. ‎ 例6.如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO’转动，OO’沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为Ｌ=1. 2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2．‎ 例6图 ‎（1）求杆转动角速度ω的最小值；‎ ‎（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式；‎ ‎【答案】（1）3.33rad/s（2）‎ ‎【解析】（1）∵角速度最小时，fmax沿杆向上，则 ‎，，且，，∴ω1=10/3≈3.33rad/s ‎（2）当fmax沿杆向下时，有，，‎ ‎， ∴ω2=5rad/s 当细线拉力刚达到最大时，有 ‎，∴ω3=10rad/s ‎∴‎ ‎4.竖直平面及斜面内的变速圆周运动 ‎(1)轻绳模型 如图2所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.‎ 图2‎ ‎ 图3‎ 小球能通过最高点的条件 如图3所示,在最高点A:、即 小球能过最高点A的临界条件、‎ 小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件 小球不脱离轨道在最低点B满足的条件或 小球沿圆周运动过程中绳中张力（或轨道弹力）变化情况：‎ 在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小.‎ 变速圆周中小球位于最高点处时:动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.小球位于最高点处时:动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂. ‎ 设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x2，如上图，则：AG=‎ r2=l－AG= l－…………⑥ ‎ 在最高点：mg≤…………⑦ ‎ 由机械能守恒定律得：mg (r2)=mv22…………⑧ ‎ 由④⑤⑥联立得：x2≥l…………………………⑨ ‎ 在水平线上EF上钉子的位置范围是：l≤x≤l ‎ 例9一小球以初速度v0竖直上抛，它能到达的最大高度为H，下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度H（忽略空气阻力）‎ ‎ ‎ 例9题图 A．以初速v0沿光滑斜面向上运动（图a）‎ B．以初速v0沿光滑的抛物线轨道从最低点向上运动（图b）‎ C．以初速v0沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动（图c，）‎ D．以初速v0沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动（图d、R>H）‎ ‎【答案】C ‎(2)轻杆模型 如图4所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.‎ 图4‎ 图5‎ 小球能通过最高点的条件如图5所示,在最高点C:‎ 小球能过最高点C的临界条件、‎ 小球能做完整圆周运动时在最低点D满足的条件 小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况 在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:‎ 若,杆中弹力方向向上,大小为 若,杆中弹力方向向上,大小小于重力, ,大小随此点速度的增大而减小.‎ 若,杆中无弹力 若,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力, ,大小 随此点速度的增大而增大 此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即;若在最高点C处杆中弹力为推力时,此两点处弹力大小之和恒定,即.‎ 小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.‎ 例10.如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球A．b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是 例10图 ‎ A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg ‎ B．当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 ‎ C．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动 ‎ D．只要v≥,小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg ‎【答案】BD ‎(3)半球面模型 如图6所示,小球从光滑半球面顶端E开始运动.‎图6‎ 小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端.‎ 小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置H满足.‎ 小球在顶端E时的速度V越大,离球面时的位置H越靠近顶端,角越小即小球能沿球下滑的距离越短.‎ 当小球在球面顶端的速度时,小球直接从E点离开球面做平抛运动. ‎ 例11.如图所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1和R2应满足的关系是（ ）‎ 例11图 ‎【答案】Ｄ ‎【解析】为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度，由机械能守恒定律可得：，联立解得D为正确选项．‎ ‎ 5.斜面上的圆周运动 ‎ 物体在斜面平面内做圆周运动时有匀速圆周运动与变速圆周运动，动态分析及临界与极值确定方法相同 例12.如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止， ‎ ‎4.如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动。已知细线长之比为L1∶L2=∶1，L1跟竖直方向成60º角。下列说法中正确的有 ‎ O m1‎ L1‎ L2‎ m2‎ ‎4图 A．两小球做匀速圆周运动的周期相等 ‎ B．小球m1的周期大 C．L2跟竖直方向成30º角 ‎ D．L2跟竖直方向成45º角 ‎【答案】AC ‎5.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO/转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：‎ ‎5图 ①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；‎ ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．‎ ‎【答案】①、②.‎ ‎【解析】(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图甲所示，设筒壁与水平面的夹角为θ.‎ 由平衡条件有Ff＝mgsinθ　FN＝mgcosθ 由图中几何关系有 ‎5图甲 ‎5图乙 cosθ＝，sinθ＝ 故有Ff＝，FN＝ ‎(2)分析此时物块受力如图乙所示，‎ 由牛顿第二定律有mgtanθ＝mrω2.‎ 其中tanθ＝，r＝，可得ω＝.‎ ‎6.质量为100 t的火车在轨道上行驶，火车内外轨连线与水平面的夹角为θ=37°,如图所示，弯道半径R=30 m.问：（g取10 m/s2）‎ ‎6图 ‎（1）当火车的速度为v1=10 m/s时，轨道受到的侧压力为多大？方向如何？‎ ‎（2）当火车的速度为v2=20 m/s时，轨道受到的侧压力为多大？方向如何？‎ ‎【答案】(1)方向沿轴指向内侧(2)4.7×105 N,方向沿轴指向外侧 ‎【解析】设火车转弯时刚好对铁轨无侧压力，速度为v0，以火车为研究对象，受力如图所示，则有：‎ ‎6答图甲 丙 乙 ‎6答图 得 ‎（2）v1>v0,由于半径不变，需增加向心力，则轨道外侧铁轨将受到一个沿轴的侧压力F2，此种情况下，车受力情况如力丙所示.则有：‎ 得 由牛顿第三定律知:F2=F2′=4.7×105 N,方向沿轴指向外侧.‎ ‎7.如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，求：‎ ‎(1)小球通过最高点A时的速度vA.‎ ‎(2)小球通过最低点B时，细线对小球的拉力．‎ ‎【答案】(1).(2)6mgsinθ ‎【解析】　(1)小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有 mgsinθ＝m ①‎ 解得：vA＝. ②‎ ‎ (2)小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有mvA2＋mg·2lsinθ＝mvB2③‎ 解得vB＝④‎ 小球在B点时根据圆周运动和牛顿第二定律有FT－mgsinθ＝m⑤‎ 解得FT＝6mgsinθ.⑥‎ ‎8.图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段对到与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切。点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面。一质量为m的游客（视为质点）可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力。‎ ‎（1）若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD=2R，求游客滑到的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；‎ ‎（2）若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，有因为受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h。（提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为）‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）游客从B点做平抛运动，有 联立解得 从Ａ到B，根据动能定理，有 可得 ‎（２）设OP与OB间夹角为，游客在P点时的速度为，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有 过P点根据向心力公式，有 N =0‎ 解得