专题20 三种面内的圆周运动及临界问题（精讲）-2019年高考物理双基突破（一） 16页

专题二十 三种面内的圆周运动及临界问题（精讲）‎ 一、水平面内的圆周运动 ‎1．水平面内的圆周运动 ‎（1）题型简述：此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。‎ ‎（2）方法突破：‎ ‎①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。‎ ‎②分析物体受力情况，其合外力提供向心力。‎ ‎③由Fn＝m=mrω2=m列方程求解。‎ ‎【题1】如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A和B。小球A和B的质量之比＝。当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，此时小球B恰好处于平衡状态。管子的内径粗细不计，重力加速度为g。试求：‎ ‎（1）拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ；‎ ‎（2）小球A转动的周期。‎ ‎【答案】（1）60°（2）π ‎（2）对于小球A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有Fsin θ＝mAr＝lsinθ 解得小球A的线速度为v＝ 又T＝，则小球A转动的周期T＝π 。‎ ‎2．水平面内圆周运动的临界问题 ‎（1）题型简述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。‎ ‎（2）方法突破——步骤：‎ ‎①判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。‎ ‎②确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。‎ ‎③选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。‎ ‎（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧 ‎①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。‎ ‎②三种临界情况：‎ ⅰ．接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0。‎ ⅱ．相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。‎ ⅲ．绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0。‎ ‎【题2】如图所示，用一根长为 l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示）。求：‎ ‎（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？‎ ‎（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？‎ ‎【答案】（1） rad/s （2）2 rad/s 解得ω02＝，即ω0＝ ＝ rad/s。‎ ‎（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω′2lsinα 得ω′2＝，即ω′＝ ＝ 2 rad/s。‎ ‎（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。‎ 第一、与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。‎ ‎①如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心；‎ ‎②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。‎ ‎【题3】（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ‎ A．b一定比a先开始滑动 ‎ B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 ‎ ‎ D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg ‎【答案】AC 本题容易错选D选项，求摩擦力时应先判断是静摩擦力还是滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小根据公式Ff＝μFN求解，静摩擦力的大小一般根据物体所处的状态由平衡条件或牛顿第二定律求解。‎ ‎【题4】如图，水平圆盘上有两个质量相等的、可以看做质点的小物块A、B，它们之间的连接细线经过圆心，与圆盘间的动摩擦因数大小相等，且OB＝2OA。开始时，细绳仅处于伸直状态，没有张力。现让圆盘从静止开始绕着竖直轴做转速越来越大的转动，直至刚要滑动。则以下说法正确的是 A．细绳中的张力从转动开始一直逐渐增大 B．物块A的摩擦力先变大后变小 ‎ C．物块A的摩擦力先沿半径指向里再指向外 D．物块B的摩擦力先沿半径指向外再指向里 ‎【答案】C ‎【解析】由于开始转动时，两物块的向心力均由静摩擦力提供，一段时间内绳子是没有张力的，所以选项A错误。当B 物块的静摩擦力增大到最大时，绳子才开始有张力，随着转速的增大，张力也增大，则对A：FT＋Ff＝m·r·ω22，A受到的静摩擦力减小，当减小到零时，若转速继续增大，则A受到的静摩擦力将背向圆心逐渐增大，当增大到最大时，A先开始滑动。由此看来，从开始到A开始滑动，A受到的静摩擦力先增大后减小再增大，所以B选项错误。由上述分析知道，物块A的摩擦力先沿半径指向里再指向外，所以选项C正确。B开始转动时，静摩擦力提供向心力，静摩擦力指向圆心，后来一直指向圆心，所以选项D错误。‎ 第二、与弹力有关的临界极值问题 ‎①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；‎ ‎②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。‎ ‎【题5】如图，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是 A．OB绳的拉力范围为0～mg ‎ B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为mg～mg ‎ D．AB绳的拉力范围为0～mg ‎【答案】B ‎【题6】（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图，当轻杆绕轴以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向伸直且长为l，则下列说法正确的有 A．a绳的拉力一定大于b绳的拉力 B．a绳的拉力随角速度的增大而增大 C．若角速度ω2> ，b绳将出现拉力 D．若b绳突然被剪断，a绳的弹力大小可能不变 ‎【答案】CD 二、竖直面内的圆周运动 ‎1．轻绳模型和轻杆模型概述 ‎（1）在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型”；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型”。‎ ‎（2）“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。‎ ‎（3）有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况——绳、杆模型涉及的临界问题。‎ ‎2．三类模型对比 ‎（1）拱桥模型 ‎①实例：汽车过拱形桥。‎ ‎②图示。‎ ‎③受力特征：下有支撑，上无约束。‎ ‎④力学方程：mg－FN＝m。‎ ‎⑤临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。‎ ‎⑥过最高点条件：v≤。‎ ‎⑦讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。‎ ‎（2）绳模型（最高点无支撑）‎ ‎①实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等。‎ ‎②图示。‎ ‎③受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。受力示意图。‎ ‎④力学方程：mg＋FN＝m。‎ ‎⑤临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。‎ ‎⑥过最高点条件：在最高点的速度v≥。‎ ‎⑦讨论分析：‎ ⅰ．过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；‎ ⅱ．不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。‎ ‎⑧在最高点的FN－v2图线 ‎（3）杆模型（最高点有支撑）‎ ‎①实例：球与杆连接、球在光滑管道中运动等。‎ ‎②图示。‎ ‎③受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。受力示意图。‎ ‎④力学方程：mg±FN＝m。‎ ‎⑤临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。‎ ‎⑥过最高点条件：在最高点的速度v≥0。‎ ‎⑦讨论分析：‎ ⅰ．当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；‎ ⅱ．当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。‎ ‎⑧在最高点的FN－v2图线 ‎3．竖直面内圆周运动的求解思路 第一步，定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。‎ 第二步，确定临界点：v临＝，对轻绳，模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。‎ 第三步，研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。‎ 第四步，受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。‎ 第五步，过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。‎ 模型1　轻绳模型 ‎【题7】如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m 的小球（可视为质点）。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式T＝a＋bcosθ，式中a、b为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为 A．　　　　B． C． D． ‎【答案】D ‎【题8】有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成，如图所示。右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的。现在最低点A给一质量为m的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B点又能沿BFA回到A点，到达A点时对轨道的压力为4mg。在求小球在A点的速度v0时，甲同学的解法是：由于小球恰好到达B点，故在B点小球的速度为零，mv＝2mgR，所以v0＝2。‎ 在求小球由BFA回到A点的速度时，乙同学的解法是：由于回到A点时对轨道的压力为4mg，故4mg＝，所以vA＝2。‎ 你同意两位同学的解法吗？如果同意，请说明理由；若不同意，请指出他们的错误之处，并求出结果。‎ ‎【答案】不同意　理由见解析 模型2　轻杆模型 ‎【题9】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v，其N－v2图象如图乙所示。则 A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上 D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a ‎【答案】A ‎【题10】（多选）如图所示，半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m和m的静止小球A、B，它们由长为2R的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球A 施加微小扰动。两球开始运动后，下列说法正确的是 A．轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等 B．轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等 C．运动过程中A球速度的最大值为 D．当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为mg ‎【答案】ACD 模型3　复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合）‎ ‎1．模型简述：此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。‎ ‎2．方法突破：‎ ‎（1）竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。‎ ‎（2）速度是联系前后两个过程的关键物理量。‎ ‎3．解题关键 ‎（1）明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。‎ ‎（2）平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。‎ ‎（3）速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。‎ ‎【题11】如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球。现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点，地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长 L＝1.0 m，B点离地高度 H＝1.0 m，A、B 两点的高度差 h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，求：‎ ‎（1）地面上D、C两点间的距离s；‎ ‎（2）轻绳所受的最大拉力大小。‎ ‎【答案】（1）1.41 m（2）20 N ‎（2）小球下摆到B点，绳子的拉力和小球重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有F－mg＝m④ ‎ 联立①④式解得F＝20 N 由牛顿第三定律得F′＝F＝20 N，即轻绳所受的最大拉力为20 N。‎ ‎【题12】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。‎ ‎（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；‎ ‎（2）绳能承受的最大拉力；‎ ‎（3）‎ 改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？‎ ‎【答案】（1）　　（2）mg（3）　d 解得 FT＝mg ‎（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变。由牛顿第二定律得FT－mg＝ 解得 v3＝ 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l，水平位移为x，时间为t1，则 竖直方向 d－l＝gt 水平方向 x＝v3t1，‎ 解得 x＝4 当l＝时，x有极大值，xmax＝d ‎【题13】如图所示，一质量为m＝1 kg 的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的A点，随传送带运动到B点，小物块从C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道恰能做圆周运动。已知圆弧半径R＝0.9 m，轨道最低点为D，D点距水平面的高度h＝0.8 m。小物块离开D点后恰好垂直撞击放在水平面上E点的固定倾斜挡板。已知物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.3，传送带以5 m/s恒定速率顺时针转动（g取10 m/s2），试求：‎ ‎（1）传送带AB两端的距离；‎ ‎（2）小物块经过D点时对轨道的压力大小；‎ ‎（3）倾斜挡板与水平面间的夹角θ的正切值。‎ ‎【答案】（1）1.5 m　（2）60 N　（3） ‎ ‎ ‎（2）对小物块，由C到D由动能定理得2mgR＝mv－mv 在D点由牛顿第二定律得FN－mg＝m 解得 FN＝60 N 由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力大小F′N＝FN＝60 N ‎（3）小物块从D点抛出后做平抛运动，则h＝gt2‎ 解得 t＝0.4 s vy＝gt＝4 m/s 故 tan θ＝＝ 三、斜面上的圆周运动 ‎1．在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同，下面列举三类题型。‎ ‎2．‎ 与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。‎ 第一、静摩擦力控制下的圆周运动　‎ ‎【题14】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是 A． rad/s B． rad/s ‎ C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s ‎【答案】C 第二、轻杆控制下的圆周运动　‎ ‎【题15】如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是 A．4 m/s B．2 m/s ‎ C．2 m/s D．2 m/s ‎【答案】A ‎【解析】小球受轻杆控制，在A点最小速度为零，由2mgLsin α＝mvB2可得vB＝4 m/s，A正确。‎ 第三、轻绳控制下的圆周运动　‎ ‎【题16】如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角。板上一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？取重力加速度g＝10 m/s2‎ ‎【答案】0°≤α≤30°‎