2020学年高中物理 第六章 万有引力与航天 4 万有引力理论的成就学案 新人教版必修2 15页

‎4　万有引力理论的成就 学习目标 ‎1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.‎ ‎2.了解“计算天体质量”的基本思路.‎ ‎3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路.‎ 考试要求 学考 选考 c c 一、计算天体的质量 ‎1.称量地球的质量 ‎(1)思路：若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于地球对物体的万有引力.‎ ‎(2)关系式：mg＝G.‎ ‎(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.‎ ‎2.太阳质量的计算 ‎(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.‎ ‎(2)关系式：＝mr.‎ ‎(3)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量.‎ ‎(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.‎ 二、发现未知天体 ‎1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶 15‎ 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.‎1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.‎ ‎2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.‎ ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×)‎ ‎(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，就可以求出太阳的质量.(×)‎ ‎(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(×)‎ ‎(4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(√)‎ ‎(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(×)‎ ‎(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√)‎ ‎2.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝‎9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×‎106 m，则可知地球的质量约为(　　)‎ A.2×‎1018 kg B.2×‎‎1020 kg C.6×‎1022 kg D.6×‎‎1024 kg 答案　D 一、天体质量和密度的计算 ‎1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.‎ ‎(1)他“称量”的依据是什么？‎ ‎(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度.‎ 答案　(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.‎ ‎(2)由mg＝G，得：‎ M＝ ρ＝＝＝.‎ ‎2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？‎ 15‎ 答案　由＝m地r知M太＝，可以求出太阳的质量，因此可以求出太阳的质量.由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.‎ 天体质量和密度的计算方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心 天体做匀速圆周运动 思路 物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r ‎(G＝m或G＝mω2r)‎ 天体质量 天体(如地球)质量：M＝ 中心天体质量：‎ M＝(M＝或M＝)‎ 天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝(以T为例)‎ 说明 利用mg＝求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度 由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量 例1　过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为(　　)‎ A. B‎.1 C.5 D.10‎ 答案　B 解析　由G＝mr得M∝ 已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B项正确.‎ 例2　假设在半径为R 15‎ 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.‎ ‎(1)则该天体的密度是多少？‎ ‎(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？‎ 答案　(1)　(2) 解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M.‎ ‎(1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝ 根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3‎ 故该天体的密度为ρ＝＝＝.‎ ‎(2)卫星距天体表面的高度为h时，有 G＝m(R＋h)‎ M＝ ρ＝＝＝.‎ 求解天体质量和密度时的两种常见错误 ‎1.根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量.‎ ‎2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.‎ 二、天体运动的分析与计算 ‎1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向.‎ ‎2.常用关系 ‎(1)G＝man＝m＝mω2r＝mr.‎ 15‎ ‎(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”.‎ ‎3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 ‎(1)由G ＝m得v＝，r越大，v越小.‎ ‎(2)由G ＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小.‎ ‎(3)由G ＝m2r得T＝2π ，r越大，T越大.‎ ‎(4)由G ＝man得an＝，r越大，an越小.‎ 例3　(2015·浙江10月选考科目考试)‎2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射，如图1所示.在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)‎ 图1‎ A.20颗小卫星的轨道半径均相同 B.20颗小卫星的线速度大小均相同 C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同 D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同 答案　C 解析　小卫星在不同轨道上运动时其轨道半径不同，由＝＝mω2r＝m2r，可知不同圆轨道上小卫星的线速度大小不同，角速度不同，同一圆轨道上小卫星的周期相同.‎ 针对训练　‎2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约‎805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是(　　)‎ A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 15‎ D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案　D 解析　甲的运行速率大，由G ＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的轨道半径小，距地面的高度低，故B错；由G ＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对.‎ ‎【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 ‎【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 例4　如图2所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(　　)‎ 图2‎ A.a、b的线速度大小之比是∶1‎ B.a、b的周期之比是1∶2 C.a、b的角速度大小之比是3∶4‎ D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2‎ 答案　C 解析　两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向.‎ 由＝m得，＝＝＝，故A错误.‎ 由＝mr2得＝＝，故B错误.‎ 由＝mrω2得＝＝，故C正确.‎ 由＝man得＝＝，故D错误.‎ ‎【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 ‎【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 15‎ ‎1.(天体质量的估算)(2018·浙江4月选考科目考试)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图3)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×‎106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)‎ 图3‎ A.5×‎1017 kg B.5×‎‎1026 kg C.7×‎1033 kg D.4×‎‎1036 kg 答案　B 解析　由万有引力提供向心力得，‎ G ＝m2r，则M＝，代入数据得M≈5×‎1026 kg，故选B.‎ ‎2.(天体质量的计算)(2018·宁波市高三上学期期末十校联考)已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　地球绕太阳做圆周运动有＝mr①‎ 地球表面物体m′g＝②‎ 由①②得：太阳质量M＝，B正确.‎ ‎3.(天体密度的估算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　)‎ A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度 答案　A 解析　取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.‎ 15‎ ‎【考点】天体密度的计算 ‎【题点】已知周期、半径求密度 ‎4.(天体运动分析)(2016·浙江10月选考科目考试)如图4所示，“天宫二号”在距离地面‎393 km的近圆轨道运行.已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×‎1024 kg，地球半径R＝6.4×‎103 km.由以上数据可估算(　　)‎ 图4‎ A.“天宫二号”的质量 B.“天宫二号”的运行速度 C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力 答案　B 解析　根据万有引力提供向心力，即＝m知“天宫二号”的质量m会在等式两边消去，所以无法求出“天宫二号”的质量，选项A错误；v＝，式中G、M、r的大小已知，所以可估算“天宫二号”的运行速度，选项B正确；“天宫二号”受到的向心力、引力都因为不知道质量而无法估算，选项C、D错误.‎ ‎5.(天体运动分析)(2017·绍兴市9月选考科目适应性考试)伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法正确的是(　　)‎ 名称 周期/天 木卫一 ‎1.77‎ 木卫二 ‎3.55‎ 木卫三 ‎7.16‎ 木卫四 ‎16.7‎ A.木卫一角速度最小 B.木卫四线速度最大 C.木卫四轨道半径最大 D.木卫一受到的木星的万有引力最大 答案　C 15‎ 一、选择题 考点一　天体质量和密度的计算 ‎1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)‎ A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度 答案　B 解析　由天体运动规律知G＝mR可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确.‎ ‎【考点】计算天体的质量 ‎【题点】已知周期、半径求质量 ‎2.若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由万有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝.‎ ‎【考点】计算天体的质量 ‎【题点】已知周期、半径求质量 ‎3.如图1所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　)‎ 图1‎ A.M＝，ρ＝ 15‎ B.M＝，ρ＝ C.M＝，ρ＝ D.M＝，ρ＝ 答案　D 解析　设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝.‎ ‎【考点】天体密度的计算 ‎【题点】已知周期、半径求密度 ‎4.有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(　　)‎ A.倍 B.4倍 C.16倍 D.64倍 答案　D 解析　由G ＝mg得M＝g ，‎ ρ＝＝＝ 所以R＝，则＝＝4‎ 根据M＝＝＝＝‎64M地，所以D项正确.‎ ‎5.‎2015年7月23日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3×107 s)，轨道半径约为1.5×‎1011 m，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为(　　)‎ A.1.8‎‎×‎1030 kg B.1.8×‎‎1027 kg C.1.8×‎1024 kg D.1.8×‎‎1021 kg 答案　A 解析　根据万有引力充当向心力，有G＝mr，则中心天体的质量M＝≈ 15‎ ‎ kg≈1.8×‎1030 kg，故A正确.‎ ‎【考点】计算天体的质量 ‎【题点】已知周期、半径求质量 ‎6.(2018·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)“天宫二号”在2016年秋季发射成功，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道.设每经过时间t，“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则地球的质量是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径r＝，t时间内“天宫二号”通过的弧长是l，所以线速度v＝，“天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则G＝m，所以M＝＝，A正确.‎ 考点二　天体运动分析 ‎7.如图2所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的(　　)‎ 图2‎ A.速度大 B.向心加速度大 C.运行周期小 D.角速度小 答案　D 解析　飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝Fn，‎ 所以G＝man＝＝＝mrω2，‎ 即an＝，v＝，T＝，ω＝.‎ 15‎ 因为r1v2，an1>an2，T1ω2，选项D正确.‎ ‎【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 ‎【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 ‎8.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.‎2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为‎705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 ‎000 km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)‎ A.周期 B.角速度 C.线速度 D.向心加速度 答案　A 解析　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五ω四，B错.‎ v＝∝，v五>v四，C错.‎ an＝∝，an五>an四，D错.‎ ‎9.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为‎200 km和‎100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 ‎700 km)(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G ＝m，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有＝＝.‎ ‎10.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图3所示，下列说法中正确的是(　　)‎ 图3‎ 15‎ A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D.a、c存在在P点相撞的危险 答案　A 解析　由G ＝m＝mω2r＝mr＝man可知，选项B、C错误，选项A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，由题图可知当c运动到P点与a不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误.‎ ‎11.两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星的半径之比为＝q，则两个卫星的周期之比为(　　)‎ A. B.q C.p D.q 答案　D 解析　卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：G ＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正确，A、B、C错误.‎ ‎【考点】天体运动规律分析 ‎【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 二、非选择题 ‎12.(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面.已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)‎ ‎(1)月球表面的自由落体加速度大小g月.‎ ‎(2)月球的质量M.‎ ‎(3)月球的密度ρ.‎ 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动h＝g月t2，月球表面自由落体的加速度大小g月＝.‎ 15‎ ‎(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝.‎ ‎(3)月球的密度ρ＝＝＝.‎ ‎【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用 ‎【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题 ‎13.(天体运动的分析与计算)如图4所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：‎ 图4‎ ‎(1)A的线速度大小v1；‎ ‎(2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2.‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)设地球质量为M，A卫星质量为m1，‎ 由万有引力提供向心力，对A有：＝m1①‎ 在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G②‎ 由①②得v1＝ ‎(2)由G＝mω2(R＋h)得，ω＝ 所以A、B的角速度大小之比＝ .‎ ‎【考点】天体运动规律分析 ‎【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 ‎14.(天体质量计算、天体运动分析)我国发射了绕月运行探月卫星“嫦娥一号”，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期为T及月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g月，引力常量为G. 求：‎ ‎(1)月球质量；‎ 15‎ ‎(2)探月卫星“嫦娥一号”离月球表面的高度.‎ 答案　(1)　(2)－R 解析　(1)由G ＝mg月 得M＝ ‎(2)由G ＝m(R＋h) 得h＝－R＝－R.‎ 15‎