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- 2021-05-24 发布
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3
圆周运动的实例分析
4
圆周运动与人类文明
(
选学
)
[
考纲下载
]
1.
会分析具体圆周运动问题中向心力的来源,能解决生活中的圆周运动问题
.
2
.
了解离心运动及物体做离心运动的条件,知道离心运动的应用及危害
.
3
.
列举实例,了解圆周运动在人类文明进程中的广泛应用,认识到圆周运动对人类文明发展的重大影响
.
一、汽车过拱形桥
1.
受力分析
(
如图
1
)
2.
向心力:
F
=
=
m
.
3.
对桥的压力:
N
′
=
________
.
4.
结论:汽车对桥的
压力
汽车
的重力,而且汽车速度越大,对桥的
压力
.
图
1
mg
-
N
小于
越小
二、
“
旋转秋千
”
——
圆锥摆
1.
物理模型:细线下面悬挂一个钢球,使钢球
在
做
匀速圆周运动,悬线旋转形成一个圆锥面,这种装置叫圆锥摆
.
2.
向心力来源:由重力和悬线拉力
的
提供
(
如图
2
).
由
F
合
=
mg
tan
α
=
mω
2
r
,
r
=
l
sin
α
得:
ω
=
________
周期
T
=
=
______
_
___.
图
2
某个水平面内
合力
3.
结论:悬线与中心轴的夹角
α
跟
“
旋转秋千
”
的角速度和悬线长有关,与所乘坐人的
体重
.
在悬线长一定的情况下,角速度越大则悬线与中心轴的夹角
也
(
小于
90°).
三、火车转弯
1.
运动特点:火车转弯时实际是在
做
运动
,因而具有向心加速度,由于其质量巨大,所以需要很大
的
力
.
2.
向心力来源
(1)
若转弯时内外轨一样高,则
由
对
轮缘的弹力提供向心力,这样铁轨和车轮极易受损
.
(2)
内外轨有高度差,依据规定的行驶速度行驶,转弯时向心力几乎完全
由
和
的
合力提供
.
无关
越大
圆周
向心
外轨
重力
G
支持力
N
四、离心运动
1.
定义:在做圆周运动时,由于合外力提供的
向心力
或
,
以致物体沿圆周运动
的
方向
飞出
或
而
去的运动叫做离心运动
.
2.
离心机械:利用离心运动的机械叫做离心机械
.
常见的离心机械
有
____
、
.
消失
不足
切线
远离圆心
洗衣
机的脱水筒
离心机
1.
判断下列说法的正误
.
(1)
汽车行驶经过凸形桥顶部时,对桥面的压力等于车重
.(
)
(2)
汽车行驶经过凹形桥底部时,对桥面的压力大于车重
.(
)
(3)
铁路的弯道处,内轨高于外轨
.(
)
(4)
火车驶过弯道时,火车对轨道一定没有侧向压力
.(
)
(5)
做离心运动的物体可以沿半径方向运动
.(
)
即
学即
用
×
×
√
答案
×
×
2.
飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧,如图
3
所示,飞机做俯冲拉起运动时,在最低点附近做半径为
r
=
180 m
的圆周运动,如果飞行员质量
m
=
70 kg
,飞机经过最低点
P
时的速度
v
=
360 km/h
,则这时飞行员对座椅的压力大小为
__________
_
___.
(
g
取
10 m/s
2
)
答案
解析
4 589 N
图
3
解析
飞机经过最低点时,
v
=
360 km/h
=
100 m/s.
重点探究
一、汽车过拱形桥
如图
4
甲、乙为汽车在凸形桥、凹形桥上行驶的示意图,汽车行驶时可以看做圆周运动
.
(
1)
如图甲,汽车行驶到拱形桥的桥顶时:
①
什么力提供向心力?汽车对桥面的压力有什么特点?
图
4
导学探究
答案
②
汽车对桥面的压力与车速有什么关系?汽车安全通过拱桥顶
(
不脱离桥面
)
行驶的最大速度是多大?
答案
(2)
如图乙当汽车行驶到凹形桥的最底端时,什么力提供向心力?汽车对桥面的压力有什么特点?
答案
1.
汽车过拱形桥
(
如图
5)
知识深化
图
5
2.
汽车过凹形桥
(
如图
6)
图
6
例
1
如图
7
所示,质量
m
=
2.0
×
10
4
kg
的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面,两桥面的圆弧半径均为
60 m
,如果桥面承受的压力不超过
3.0
×
10
5
N
,则:
(
g
取
10 m/s
2
)
(
1)
汽车允许的最大速率是多少?
答案
图
7
解析
解析
对汽车受力分析如图,汽车驶至凹形桥面的底部时,合力向上,车对桥面压力最大;汽车驶至凸形桥面的顶部时,合力向下,车对桥面的压力最小
.
汽车
在凹形桥的底部时,由牛顿第三定律可知
,桥面对
汽车的支持力
N
1
=
3.0
×
10
5
N
,根据牛顿第二定律
(2)
若以所求速率行驶,汽车对桥面的最小压力是多少?
答案
解析
答案
1.0
×
10
5
N
解析
汽车在凸形桥顶部时,由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得,在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为
1.0
×
10
5
N
,此即最小压力
.
二、
“
旋转秋千
”
“
旋转秋千
”
的运动可简化为圆锥摆模型
(
如图
8
所示
)
,当小球在水平面内做匀速圆周运动时,回答下列问题
:
(1)
小球受到几个力的作用?什么力提供小球做圆周运动
的
向心力
?
图
8
导学探究
答案
答案
受重力和绳子的拉力两个力的作用;绳子的拉力和重力的合力提供小球做圆周运动的向心力
.
(2)
“
旋转秋千
”
缆绳与中心轴的夹角与什么有关
(
设人的质量为
m
,角速度为
ω
,绳长为
l
)?
答案
答案
如图所示,设缆绳与中心轴的夹角为
α
,匀速圆周运动的半径为
r
F
合
=
mg
tan
α
r
=
l
sin
α
由牛顿第二定律得
F
合
=
mω
2
r
以上三式联立
得
由此
可以看出,缆绳与中心轴的夹角跟
“
旋转秋千
”
的角速度和绳长有关,而与所乘坐人的体重无关
.
如图
9
所示
:
(1)
转动平面:水平面
.
(2)
向心力:
F
合
=
mg
tan
α
.
(3)
圆周运动的半径:
r
=
l
sin
α
.
(4)
动力学方程:
mg
tan
α
=
mω
2
l
sin
α
.
知识深化
图
9
(6)
特点:悬绳与中心轴的夹角
α
跟角速度和绳长有关,与球的重量无关,在绳长一定的情况下,角速度越大,绳与中心轴的夹角也越大
.
例
2
如图
10
所示,已知绳长为
L
=
20 cm
,水平杆长为
L
′
=
0.1 m
,小球质量
m
=
0.3 kg
,整个装置可绕竖直轴转动
.
g
取
10 m/s
2
,要使绳子与竖直方向成
45°
角,则:
(
小数点后保留两位
)
(1)
该装置必须以多大的角速度转动才行?
答案
解析
答案
6.44 rad/s
图
10
解析
小球
绕竖直轴做圆周运动,其轨道平面在水平面内
,
轨道
半径
r
=
L
′
+
L
sin 45°.
对小球受力分析如图所示,
设
绳
对小球的拉力为
T
,小球重力为
mg
,则绳的拉力与
重力
的
合力提供小球做圆周运动的向心力
.
对小球利用牛顿第二定律可得:
mg
tan 45°
=
mω
2
r
①
r
=
L
′
+
L
sin 45
°
②
联立
①②
两式,将数值代入可得
ω
≈
6.44
rad/s
(2)
此时绳子的张力为多大?
答案
解析
答案
4.24 N.
1.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤:
(1)
确定研究对象、轨迹圆周
(
含圆心、半径和轨道平面
).
(2)
受力分析,确定向心力的大小
(
合成法、正交分解法等
).
(3)
根据向心力公式列方程,必要时列出其他相关方程
.
(4)
统一单位,代入数据计算,求出结果或进行讨论
.
规律总结
2.
几种常见的匀速圆周运动实例
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
或
mg
tan
θ
=
mω
2
l
sin
θ
a
=
g
tan
θ
或
mg
tan
θ
=
mrω
2
a
=
g
tan
θ
或
mg
tan
θ
=
mrω
2
a
=
g
tan
θ
a
=
ω
2
r
三、火车转弯
设火车转弯时的运动为匀速圆周运动
.
(1)
如果铁路弯道的内外轨一样高,火车在转弯时的向心力由什么力提供?会导致怎样的后果?
导学探究
答案
答案
如果
铁路弯道的内外轨一样高,火车在竖直方向所受重力与支持力平衡,其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨,使外轨发生弹性形变,对轮缘产生的弹力来提供
(
如图甲
)
;由于火车的质量太大,轮缘与外轨间的相互作用力太大,会使铁轨和车轮极易受损
.
(2)
实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨,试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点
.
答案
答案
如果弯道处外轨略高于内轨,火车在转弯时铁轨
对
火车
的支持力
N
的方向不再是竖直的,而是斜向弯道的
内
侧
,它与
重力
G
的合力指向圆心,为火车转弯提供
一部分
向心力
(
如
图乙
)
,从而减轻轮缘与外轨的挤压
.
(3)
当轨道平面与水平面之间的夹角为
θ
,转弯半径为
R
时,火车行驶速度多大轨道才不受挤压?
答案
答案
火车受力如图丙所示,则
答案
知识深化
图
11
2.
速度与轨道压力的关系:
(1)
当火车行驶速度
v
等于规定速度
v
0
时,所需向心力仅由重力和弹力的合力提供,此时内外轨道对火车无挤压作用
.
(2)
当火车行驶速度
v
>
v
0
时,外轨道对轮缘有侧压力
.
(3)
当火车行驶速度
v
<
v
0
时,内轨道对轮缘有侧压力
.
例
3
铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的,已知内外轨道平面与水平面的夹角为
θ
,如图
12
所示,弯道处的圆弧半径为
R
,若质量为
m
的火车转弯时速度
等于
,
则
A.
内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.
外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.
这时铁轨对火车的支持力等于
D.
这时铁轨对火车的支持力大于
答案
解析
√
图
12
火车转弯问题的解题策略
1.
对火车转弯问题一定要搞清合力的方向,指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力,方向指向水平面内的圆心
.
2.
弯道处两轨在同一水平面上时,向心力由外轨对轮缘的弹力提供
.
3.
当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的弹力的合力提供;当火车速度以规定速度行驶时,内、外轨对轮缘的弹力为零
.
方法总结
四、离心运动
1.
做圆周运动的物体向心力突然消失,它会怎样运动?
2.
如果物体受的合外力不足以提供向心力,它又会怎样运动?
导学探究
答案
答案
将沿切线方向飞出
.
答案
物体将逐渐远离圆心运动
.
3.
要使原来做匀速圆周运动的物体做离心运动,可以怎么办?举例说明离心运动在生活中的应用
.
答案
答案
方法一:提高转速,使所需的向心力大于能提供的向心力
.
即让合外力不足以提供向心力
.
方法二:减小或使合外力消失
.
应用:利用离心运动制成离心机械设备
.
例如,离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等
.
对离心现象的理解
(1)
物体做离心运动的原因:提供向心力的外力突然消失,或者外力不能提供足够的向心力
.
注意
物体做离心运动并不是物体受到离心力作用,而是由于外力不能提供足够的向心力
.
所谓
“
离心力
”
实际上并不存在
.
知识深化
(2)
合外力与向心力的关系
(
如图
13
所示
).
图
13
④
若
F
合
=
0
,则物体做直线运动
.
例
4
如图
14
所示是摩托车比赛转弯时的情形,转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动
.
关于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是
A.
摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.
摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.
摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.
摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
答案
解析
√
图
14
解析
摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,没有离心力,
A
项错误;
摩托车正常转弯时可看成匀速圆周运动,所受的合力等于向心力,如果向外滑动,说明提供的向心力即合力小于需要的向心力,
B
项正确;
摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动,
C
、
D
项错误
.
达标检测
1.
(
火车转弯问题
)
(
多选
)
全国铁路大面积提速,给人们的生活带来便利
.
火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动,火车速度提高会使外轨受损
.
为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题,以下措施可行的是
A.
适当减小内外轨的
高度差
B
.
适当增加内外轨的高度差
C.
适当减小弯道
半径
D
.
适当增大弯道半径
√
答案
解析
1
2
3
4
5
√
解析
设火车轨道平面的倾角为
α
时,
火车转弯
时内、外轨均不受损,根据牛顿第二定律有
mg
tan
α
=
m
,
解得
v
=
,
所以,为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题,可行的措施是适当增大倾角
α
(
即适当增加内外轨的高度差
)
和适当增大弯道半径
r
.
2.
(
汽车过拱形桥
)
在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子,将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥,三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦,这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了
.
把这套系统放在电子秤上做实验,如图
15
所示,关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是
A.
玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B.
玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C.
玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D.
玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大
(
未离开拱桥
)
,示数越小
√
答案
解析
1
2
3
4
5
图
15
1
2
3
4
5
3.
(
离心运动
)
在水平公路上行驶的汽车,当汽车以速度
v
运动时,车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力,汽车沿如图
16
所示的圆形路径
(
虚线
)
运动
.
如果汽车转弯速度大于
v
,则汽车最有可能沿哪条路径运动?
A.
Ⅰ
B.
Ⅱ
C.
Ⅲ
D.
Ⅳ
答案
√
图
16
1
2
3
4
5
4.
(
圆周运动的临界问题
)
一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,圆盘半径为
R
,甲、乙两物体质量分别为
M
和
m
(
M
>
m
)
,它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的
μ
倍,两物体用一根长为
L
(
L
<
R
)
的轻绳连在一起
.
如图
17
所示,若将甲物体放在转轴的位置上,甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直,要使两物体与圆盘不发生相对滑动,则圆盘旋转的角速度最大不得超过
(
两物体均看做质点
)
√
答案
解析
1
2
3
4
5
图
1
7
1
2
3
4
5
5.
(
圆锥摆
)
长为
L
的细线,拴一质量为
m
的小球,细线
上端
固定
,让小球在水平面内做匀速圆周运动,如图
18
所示
,
求
细线与竖直方向成
θ
角时:
(
重力加速度为
g
)
(1)
细线中的拉力大小
.
答案
解析
1
2
3
4
5
图
1
8
解析
小球
受重力及细线的拉力两力作用,如图所示,竖直方向
T
cos
θ
=
mg
,故拉力
T
=
(2)
小球运动的线速度的大小
.
答案
解析
1
2
3
4
5
解析
小球做圆周运动的半径
r
=
L
sin
θ
,
向心力
F
=
T
sin
θ
=
mg
tan
θ
,