四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学（理）试题 4页

试卷第 1页，总 4页 新都一中高三月考数学（理） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、选择题 1．若全集U  R ，集合   | lg 6A x y x   ，  | 2 1xB x  ，则图中阴影部分表 示的集合是（ ） A. 2,3 B． 1,0 C． 0,6 D． ,0 2．下列有关命题的说法正确的是( ) A．命题“若 2 1x  ，则 1x  ”的否命题为：“若 2 1x  ，则 1x  ”． B．若 p q 为真命题，则 ,p q 均为真命题. C．命题“存在 Rx ，使得 2 1 0x x   ” 的否定是：“对任意 Rx ，均有 2 1 0x x   ”． D．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题． 3．数列 2 1na      是等差数列，且 1 1a  ， 3 1 3a   ，那么 5a  （ ） A． 3 5 B． 3 5 - C．5 D．-5 4．函数 2( ) ln( 2 8)f x x x   的单调递增区间是 A． ( , 2)  B． ( ,1) C． (1, ) D． (4, ) 5．根据表格中的数据，可以断定方程 2xe x  的一个根所在的区间是（ ） x -1 0 1 2 3 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x  1 2 3 4 5 A． 1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3 试卷第 2页，总 4页 6．设 ,  是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若 ,l     ，则l  B．若 / / , / /l    ，则l  C．若 , / /l    ，则 l  D．若 / / ,l    ，则 l  7．已知单位向量 1e  与 2e  的夹角为 2 3  ，则向量 1e  在向量 2e  方向上的投影为（ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 3 2  D． 3 2 8．根据如下样本数据，得到回归直线方程 0.7 8.2y x   ，则（ ） x 3 5 7 9 y 6 a 3 2 A． 5a  B．变量 x 与 y 正相关 C．可以确定当 11x  时， 0.4y  D．变量 x 与 y 之间是函数关系 9．函数 2( ) ln( 1 )f x x x x   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     左右焦点分别为 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，若椭圆上 一点 P 满足 2PF x 轴，且 1PF 与圆 2 2 2 4 cx y  相切，则该椭圆的离心率为（ ） A． 3 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 6 3 11．已知函数   2( ) ln ,x xf x e e x   则使得 (2 ) ( 3)f x f x  成立的 x 的取值范围 是（ ） A． )3,1( B．   1,3 3,  C． 3,3 D．   , 1 3,   12．设函数   2ln xef x t x xx x        恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ） 试卷第 3页，总 4页 A． 1, 2     B． 1 ,2     C． 1 , ,2 3 3 e e          D． 1, ,2 3 e          第 II 卷（非选择题） 二、填空题 13．复数 5 2i  的共轭复数是___________。 14．已知函数 (3 2) 4 , 1,( ) log , 1,a a x a xf x x x      对任意不相等的实数 1x ， 2x ，都有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，则 a 的取值范围为__________。 15．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，若商品的最低销售限价 a，最高 销售限价 b（b＞a）以及常数 x（0＜x＜1）则确定实际销售价格为 c=a+x（b﹣a），（x 被称为乐观系数）。经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a） 的等比中项，据此可得，最佳乐观系数 x 的值等于_________。 16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2: 14 yE x   的左、右顶点分别为 A，B， 点 P 在圆    2 2: 3 2 1C x y    上运动，直线 OP 与 E 的右支交于 M.记直线 MA ， MB ， MP 的斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ，则 1 2 3k k k  的取值范围是_________。 三、解答题 17．已知数列 na 为等差数列，公差 0d  ，且 1 4 27a a  ， 4 24S  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 1 1 n n n b a a    ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 18．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于 0 与 50 之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人， 按上学所学时间分组如下：第1组 (0,10]，第 2 组 (10,20] 第 3 组 (20,30]，第 4 组 (30,40]，第5 组 (40,50]，得如 图所示的频率分布直方图． （1）根据图中数据求 a 的值． 试卷第 4页，总 4页 （2）若从第3 ，4 ，5 组中用分层抽样的方法抽取 6人参与交通安全问卷调查，应从这 三组中各抽取几人？ （3）在（2）的条件下，若从这6人中随机抽取 2 人参加交通安全宣传活动，求第 4 组 至少有1人被抽中的概率． 19．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，棱长为 a，E，F 分别为 AB 、 BC 上的点，且 AE BF x  . （1）当 x 为何值时，三棱锥 1B BEF 的体积最大？ （2）求三棱椎 1B BEF 的体积最大时，二面角 1B EF B  的 正切值； （3）求异面直线 1A E 与 1B F 所成的角的取值范围. 20．过  0,1F 的直线 l 与抛物线 2: 4C x y 交于 A ，B 两点，以 A ， B 两点为切点分 别作抛物线C 的切线 1l ， 2l ，设 1l 与 2l 交于点  0 0,Q x y . （1）求 0y ； （2）过Q ， F 的直线交抛物线C 于 M ， N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值. 21．已知函数   2ln 2f x x x ax x   ， aR ． （1）若  f x 在 0,  内单调递减，求实数 a 的取值范围； （2）若函数  f x 有两个极值点分别为 1x ， 2x ，证明： 1 2 1 2x x a   ． 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的普通方程为 2 2 13 yx   ，曲线 C2 参数方程为 2 cos (1 sin x y          为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标 系，直线 l 的极坐标方程为 ,4 R   ． （1）求 C1 的参数方程和 l 的直角坐标方程； （2）已知 P 是 C2 上参数 2   对应的点，Q 为 C1 上的点，求 PQ 中点 M 到直线l 的距离 取得最大值时，点 Q 的直角坐标.