2020-2021高中必修三数学上期中第一次模拟试卷及答案(3) 22页

2020-2021 高中必修三数学上期中第一次模拟试卷及答案 (3) 一、选择题 1．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1， 2，⋯， 1 000，从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 2．执行右面的程序框图，若输入的 , ,a b k 分别为 1,2,3，则输出的 M ( ) A． 20 3 B． 7 2 C． 16 5 D． 15 8 3．一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 y e 3 e 4 e 6e 已知变量 y 关于 x 的回归方程为 +0.5? bxy e ，若 5x ，则预测 y 的值可能为 ( ) A． 5e B． 11 2e C． 13 2e D． 7e 4．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大 . 假 设李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 1 0.3P ；同时，有 n 个水平相同的人 也在研究项目 M，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.1. 现在李某单独研究项目 M，且这 n 个人组成的团队也同时研究项目 M，设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 2P ， 若 2 1P P ，则 n 的最小值是 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．从区间 0,2 随机抽取 4n个数 1 2 3 2, , ,..., nx x x x ， 1 2 3 2, , ,..., ny y y y 构成 2n个数对 1 1,x y ， 2 2,x y ，⋯， 2 2,n nx y ，其中两数的平方和小于 4 的数对有 m 个，则用随机 模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A． 2 m n B． 2m n C． 4 m n D． 16 m n 6．在去年的足球甲 A联赛上，一队每场比赛平均失球数是 1.5 ，全年比赛失球个数的标准 差为 1.1 ；二队每场比赛平均失球数是 2.1 ，全年失球个数的标准差是 0.4 ，你认为下列说 法中正确的个数有（ ） ①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时 表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球 . A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需 该组织 4 位同学参加 . 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 4 位同学，且所发信息都能收到 . 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 （ ） A． 2 5 B． 12 25 C． 16 25 D． 4 5 8．执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是（ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善 织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第十五日所 织尺数为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 10． 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小 学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查，则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为（ ） A．100， 20 B． 200 ， 20 C． 100，10 D． 200 ， 10 11．从区间 [ ]0,1 随机抽取 2n 个数 1x , 2x ，⋯， nx ， 1y ， 2y ，⋯， ny ，构成 n 个数对 1 1,x y ， 2 2,x y ，⋯， ,n nx y ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机 模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 A． 4n m B． 2n m C． 4m n D． 2m n 12． 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到 如下统计数据表： 收入 x （万 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y （万 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ?? ?y bx a ，其中 ? ??0.76,b a y bx ，据此估计，该社区一 户收入为 15 万元家庭年支出为（ ） A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元 二、填空题 13． 执行如图所示的程序框图，则输出的 m 的值为 ____. 14． 运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 为_______． 15． 已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8，9，10，10， 8，则该组数据的方差为 ______． 16． 在区间 [-3 ，5] 上随机取一个实数 x，则事件“ 1 1 4 2 2 x （ ） ”发生的概率为 ____________． 17． 从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ___________． 18． 在 1 2 7 0 x y x y x 的可行域内任取一点 ,x y ，则满足 2 3 0x y 的概率是 __________． 19． 已知 x ， y 取值如表，画散点图分析可知 y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 $ 3 5y x ，则 m 的值为 __________． x 0 1 3 5 6 y 1 2m 3 m 3.8 9.2 20． 已知方程 0.85 2. 1? 8 7y x 是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ?,x y 的单 位是 cm 和 kg ，则针对某个体 160,53 的残差是 __________． 三、解答题 21． 自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受 到高中生家长的重视 .某机构为了调查 A城市和 B 城市的高中家长对于自主招生的关注程 度，在这两个城市中抽取了 100名高中生家长进行了调查，得到下表： 关注 不关注 合计 A城高中家长 20 50 B 城高中家长 20 合计 100 （1）完成上面的列联表； （2）根据上面列联表的数据，是否有 95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城 市有关； （3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽 样方法抽取了 5 人，并再从这 5人里面抽取 2 人进行采访，求所抽取的 2 人恰好 ,A B 两城 市各一人的概率 . 附： 2 2 n ad bc K a b c d a c b d （其中 n a b c d ）. 2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 22． 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人 心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环 . 据此，某网站推出了关于生态文明建设 进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占 80%.现从参与调 查的人群中随机选出 200人，并将这 200人按年龄分组：第 1 组 [15,25) ，第 2 组 [25,35) ，第 3 组 [35,45) ，第 4 组 [45,55) ，第 5 组 [55,65] ，得到的频率分布直方图如 图所示 (1) 求 a 的值 (2) 现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 12人，再从这 12 人中随机抽 取 3人进行问卷调查，求在第 1 组已被抽到 1人的前提下，第 3 组被抽到 2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出 3 人，记关注“生态文明”的人数为 X ，求 X 的 分布列与期望 . 23． 现将甲、乙两个学生在高二的 6 次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶 图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的 提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为 x ，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计 为 4x . （1）试预测：高三 6 次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳 定？ （2）若已知甲、乙两个学生的高二 6 次考试成绩分别由低到高进步的，定义 y 为高三的任 意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求 y 的平均值 . 24． 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人） .现用分层抽样方法（按 A 类， B 类分二层）从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数） . （1）A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人？ （2）从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表一 生产能力分 组 [ 100, 110) [ 110, 120) [ 120, 130) [ 130, 140) [ 140, 150) 人数 4 8 x 5 3 表二 生产能力分组 [ 110, 120) [ 120, 130) [ 130, 140) [ 140, 150) 人数 6 y 36 18 ①先确定 ,x y 再补全下列频率分布直方图（用阴影部分表示） . ②就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更 小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ③分别估计 A类工人生产能力的平均数和中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表） . 25． 2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“ 3+1+2”模式，即语文、数 学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物 中选择 2 门 . 为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析， 其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示 . (1) 若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2) 试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3) 甲同学发现，其物理考试成绩 y ( 分) 与班级平均分 x ( 分) 具有线性相关关系，统计数据 如下表所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩 . 参考数据 : 7 2 1 34840i i x ， 7 2 1 50767i i y ， 7 1 41964i i i x y ， 7 1 ( )( ) 314i i i x x y y . 参考公式： y bx a$ $ $ ， 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x n x $ ， $a y b x$ (计算 $a b$，时精确到 0.01). 26． 某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期 8 次参加比赛的成绩的茎叶图。如图所示， 甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用 a 表示。 （1）假设 4a ，求甲的成绩的平均数； （2）假设数字 a 的取值是随机的，求乙的平均数高于甲的概率。 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．C 解析： C 【解析】 【分析】 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】 详解：由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样， 46 号学生被抽 到， 所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 { }na ，公差 10d ， 所以 6 10na n ( )n N ， 若 8 6 10n，则 1 5 n ，不合题意；若 200 6 10n，则 19.4n ，不合题意； 若 616 6 10n，则 61n ，符合题意；若 815 6 10n ，则 80.9n ，不合题意．故 选 C． 【点睛】 本题主要考查系统抽样 . 2．D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：根据题意由 1 3成立，则循环，即 1 3 31 , 2, , 2 2 2 2 M a b n ;又由 2 3 成立，则循环，即 2 8 3 82 , , , 3 3 3 2 3 M a b n ;又由 3 3 成立，则循环，即 3 3 15 8 15, , , 4 2 8 8 3 8 M a b n ;又由 4 3 不成立，则出循环，输出 15 8 M ． 考点：算法的循环结构 3．C 解析： C 【解析】 【分析】 令 lnz y$= ，求得 ,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即 可求得 b ；再令 5x ，即可求得预测值 y . 【详解】 将式子两边取对数，得到 $ln 0.5y bx ，令 lnz y$= ，得到 0.5z bx ， 根据已知表格数据，得到 ,x z的取值对照表如下： x 1 2 3 4 z 1 3 4 6 由上述表格可知： 1 2 3 4 2.5 4 x ， 1 3 4 6 3.5 4 z ， 利用回归直线过样本中心点，即可得 3.5 2.5 0.5b ， 求得 1.2b ，则 1.2 0.5z x ， 进而得到 $ 1.2 +0.5xy e ，将 5x 代入， 解得 13 6.5 2y e e . 故选： C. 【点睛】 本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得 求解，属中档题 . 4．B 解析： B 【解析】 【分析】 设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 2P ，则 0 2 1 (0.9) n nP C ，由 2 1P P⋯ ，得 1 0.9 0.3n ⋯ ， 由此能求出 n 的最小值． 【详解】 Q 李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 1 0.3P ， 有 n 个水平相同的人也在研究项目 M ，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.1， 现在李某单独研究项目 M ，且这 n 个人组成的团队也同时研究 M ， 设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 2P ， 则 0 2 1 (0.9) n nP C ， 2 1P PQ ⋯ ， 1 0.9 0.3n ⋯ ， 解得 4n ． n 的最小值是 4． 故选 B ． 【点睛】 本题考查实数的最小值的求法，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率的计 算 公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．B 解析： B 【解析】 【分析】 根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可 . 【详解】 如下图： 由题意，从区间 0,2 随机抽取的 2n 个数对 1 1,x y ， 2 2,x y ，⋯， 2 2,n nx y ，落在面 积为 4 的正方形内，两数的平方和小于 4 对应的区域为半径为 2 的圆内，满足条件的区域 面积为 21 2 4 ，所以由几何概型可知 4 2 m n ，所以 2m n . 故选： B 【点睛】 本题主要考查几何概型，属于中档题 . 6．D 解析： D 【解析】 在（ 1）中，一队每场比赛平均失球数是 1.5，二队每场比赛平均失球数是 2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（ 1）正确； 在（ 2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为 1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为 0.4， ∴二队比一队技术水平更稳定，故（ 2）正确； 在（ 3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为 1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为 0.4， ∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（ 3）正确； 在（ 4）中，二队每场比赛平均失球数是 2.1，全年比赛失球个数的标准差为 0.4， ∴二队很少不失球，故（ 4）正确 . 故选： D． 7．C 解析： C 【解析】 【分析】 甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信 息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概 率． 【详解】 设甲同学收到李老师的信息为事件 A，收到张老师的信息为事件 B，A、B 相互独立， 4 2( ) ( ) 10 5 P A P B ， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 3 3 161 ( ) 1 (1 ( ))(1 ( )) 1 5 5 25 P AB P A P B ． 故选 C． 【点睛】 本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的 概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证 正确． 8．C 解析： C 【解析】 【分析】 根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的 n 的值 . 【详解】 执行如图所示的程序框图如下： 40 9 S 不成立， 1 1S 1 3 3 ， 1 2 3n ； 1 4 3 9 S 不成立， 1 1 2 3 3 5 5 S ， 3 2 5n ； 2 4 5 9 S 不成立， 2 1 3 5 5 7 7 S ， 5 2 7n ； 3 4 7 9 S 不成立， 3 1 4 7 7 9 9 S ， 7 2 9n . 4 4 9 9 S 成立，跳出循环体，输出 n 的值为 9 ，故选 C. 【点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步， 考查计算能力，属于中等题 . 9．C 解析： C 【解析】 【分析】 【详解】 由题意得等差数列 { }na 中 2 5 8 715, 28a a a S 求 15a 2 5 8 5 515 3 15 5a a a a a 1 7 7 4 428 7 7 28 4 5 4 1 2 a aS a a d 15 4 (15 4) 1 4 15 4 15a a ，选 C. 10．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由题意知，样本容量为 3500 4500 2000 2% 200，其中高中生人数为 2000 2% 40， 高中生的近视人数为 40 50% 20，故选 B. 【考点定位】 本题考查分层抽样与统计图，属于中等题 . 11．C 解析： C 【解析】 此题为几何概型．数对 ( , )i ix y 落在边长为 1 的正方形内，其中两数的平方和小于 1 的数落 在四分之一圆内，概型为 4 1 mP n ，所以 4m n ．故选 C． 12．B 解析： B 【解析】 试题分析：由题 ， ，所以 ． 试题解析：由已知 ， 又因为 ?? ?y bx a ， ? ??0.76,b a y bx 所以 ，即该家庭支出为 万元． 考点：线性回归与变量间的关系． 二、填空题 13．【解析】【分析】执行如图所示的程序框图逐次计算根据判断条件即可求 解得到答案【详解】执行如图所示的程序框图可得：第 1 次循环满足判断条 件；第 2 次循环满足判断条件；第 3 次循环满足判断条件；第 4 次循环满足判 解析： 6 【解析】 【分析】 执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案 . 【详解】 执行如图所示的程序框图，可得： 0, 1S m ， 第 1 次循环，满足判断条件， 10 1 2 2, 2S m ； 第 2 次循环，满足判断条件， 22 2 2 10, 3S m ； 第 3 次循环，满足判断条件， 310 3 2 34, 4S m ； 第 4 次循环，满足判断条件， 434 4 2 98, 5S m ； 第 5 次循环，满足判断条件， 598 5 2 258, 6S m ； 不满足判断条件，此时输出 6m . 故答案为 6. 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框 图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 题. 14．【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知 当则执行运算 ;继续运行 :;继续运行 :;当时 ;应填答案 解析： 1 2 【解析】 【分析】 【详解】 由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当 2, 1 35S i , 则执行运算 1 32 , 2 2 2 S i ; 继续运行 : 3 2 5 , 3 2 3 6 S i ; 继续运行 : ; 当 35i 时 ; 1 2 S , 应填答案 1 2 ． 15．【解析】 16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本 事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成 事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的 解析： 3 8 【解析】 【分析】 解不等式 1 1 4 2 2 x ，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域 长度，由几何概型可求出概率． 【详解】 设事件 A 表示 1 1| 4 2 2 x x ， 由 1 1 4 2 2 x 得 2 1 1 1 2 2 2 x ，则 2 1x ， 即构成事件 A的区域的长度为 1 2=3 . 又因为所有的基本事件构成的区域的长度为 5 3=8 ， 所以事件 A的概率 3( ) 8 P A . 故答案为 3 8 ． 【点睛】 本题考查了几何概型的概率公式，属基础题． 17．【解析】从分别写有 12345 的 5 张卡片中随机抽取 1 张放回后再随机抽取 1 张 基本事件总数 n=5×5=25 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （21）（ 31）（ 32）（41） 解析： 2 5 【解析】 从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数 n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（ 3，1），（ 3，2），（ 4，1），（ 4，2），（ 4，3），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 5，3），（ 5，4）， 共有 m=10 个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 p= 2 . 5 故答案为 2 5 . 18．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合 题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平 面区域如图所示由解得即 A(32）且故作出直线 2x-3y=0则 2x- 解析： 2 9 【解析】 分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计 算公式即可求得最终结果 . 详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示， 由 1 2 7 x y x y 解得 3 2 x y ，即 A(3,2）. 且 70, , 0, 1 2 B C ， 故 1 7 271 3 2 2 4ABCSV . 作出直线 2x-3y=0.则 2x-3y≥0所以表示区域为△ OAC， 即不等式 2x-3y≥0所表示的区领为△ OAC ，面积为 1 31 3 2 2AOCSV ， 所以满足 2 3 0x y 的概率是为 3 22 27 9 4 AOC ABC Sp S V V . 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形 准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等 式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可 . 19．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛： (1) 正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键 (2)回归直线方程必 过样本点中心 (3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据 解析： 3 【解析】 由题意可得： 0 1 3 5 6 3 5 x ， 回归方程过样本中心点，则： =3 3 5 4y ， 即： 1 2 3 3.8 9.2 4 5 m m ， 解得： 3m . 点睛： (1)正确理解计算 $,a b$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程 y bx a$ $ $ 必过样本点中心 ,x y ． (3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具 有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测． 20．-029 【解析】所以残差是 解析： -0.29 【解析】 0.85 160 82.71? 53.29y ,所以残差是 53 53.29 0.29. 三、解答题 21． （1）详见解析；（ 2）有 95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有 关；（ 3）0.6. 【解析】 【分析】 （1）根据相关数据完成 . （2）根据 2K 的观测值的计算公式求解，再对应 2K 下结论 .， （3）关注的人共有 50人，根据分层抽样的方法， A城市 2 人， B 城市 3人，算出从 5 人 抽取两的方法数， ,A B 两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解 . 【详解】 （1） 关注 不关注 合计 A城高中家长 20 30 50 B 城高中家长 30 20 50 合计 50 50 100 （2）由题意，得 2K 的观测值为 2 2 100 20 30 30 30 4 3.841 50 50 50 50 n ad bck a b c d a c b d ， 所以有 95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关 . （3）关注的人共有 50人，按照分层抽样的方法， A城市 2 人， B 城市 3人. 从 5人抽取两人有 2 5 10C 种不同的方法， ,A B 两城市各取一人有 1 1 2 3 2 3 6C C 种不同的方法， 故所抽取的 2 人恰好 ,A B 两城市各一人的概率为 1 1 3 2 2 5 6 0.6 10 C C C . 【点睛】 本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档 题. 22． (1) 0.035a (2) 21 50 （ 3） 12. 5 E X 【解析】 试题分析：（ 1）由频率分布直方图求出 a 的值；（ 2）设从 12 人中随机抽取 3 人，第 1 组 已被抽到 1 人为事件 A，第 3 组抽到 2 人为事件 B ，由条件概率公式得到所求概率； （3） X 的可能取值为 0， 1，2，3，求出相应的概率值，从而得到 X 的分布列与期望 . 试题解析： （1）由 10 0.010 0.015 0.030 0.010 1a ，得 0.035a ， （2）第 1，2，3 组的人数分别为 20 人， 30 人， 70 人，从第 1， 2，3 组中用分层抽样的方 法抽取 12 人，则第 1，2，3 组抽取的人数分别为 2 人， 3 人， 7 人. 设从 12 人中随机抽取 3 人，第 1 组已被抽到 1 人为事件 A，第 3 组抽到 2 人为事件 B ， 则 1 2 2 7 3 12 1 2 2 1 2 10 2 10 3 12 21| . 50 C C P AB CP B A C C C CP A C （3）从所有参与调查的人中任意选出 1 人，关注“生态文明”的 概率为 4 , 5 P X 的可能取值为 0，1，2，3. 3 0 3 4 10 1 5 125 P X C ， 1 2 1 3 4 4 121 1 5 5 125 P X C 2 1 2 3 4 4 482 1 5 5 125 P X C ， 3 3 3 4 643 5 125 P X C 所以 X 的分布列为 4~ 3, 5 X BQ ， 4 123 . 5 5 E X np 23． （1）见解析；（ 2）2 【解析】 【分析】 （1）由茎叶图计算高二 6 次考试的甲乙平均成绩，再分别加 4 即为高三平均成绩；（ 2） 列举甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，再计算均值即可 【详解】 （1）甲高二的 6 次考试平均成绩为 68 76 79 86 88 95 82 6 ， 乙高二的 6 次考试平均成绩为 71 75 82 84 86 94 82 6 ， 所以预测甲高三的 6 次考试平均成绩为 86，乙高三 6 次考试平均成绩为 86， 甲高三的 6 次考试平均成绩的方差为 2 2 2 2 2 2 72 86 80 86 83 86 90 86 92 86 99 86 77 6 . 乙高三的 6 次考试平均成绩的方差为 2 2 2 2 2 2 75 86 79 86 86 86 88 86 90 86 99 86 55.7 6 . 因为 77>55.7 ，所以乙的成绩比较稳定 . （2）预测高三的 6 次考试成绩如下： 第 1 次考 试 第 2 次考 试 第 3 次考 试 第 4 次考 试 第 5 次考 试 第次 6 考 试 甲 72 80 83 90 92 99 乙 75 79 86 88 90 98 因为 y 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值， 所以 y 的值依次为 3,1,3,2,2,1 ， 所以 y 的平均值为 2 1 2 3 2 6 . 【点睛】 本题考查茎叶图中的均值，熟记茎叶图均值的计算方法，准确计算是关键，是基础题 . 24． （1）25, 75 名；（ 2）①直方图见解析；② B 类工人中个体间的差异程度更小； ③123, 121. 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样性质能求出 A类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人． （2）①由频率分布表列出方程能求出补 x ， y ，并补全下列频率分布直方图． ②从频率分布直方图可以判断： B 类工人中个体间的差异程度更小． ③由频率分布直方图求出 A 类工人生产能力的平均数和中位数． 【详解】 解：（ 1）由分层抽样性质得： A类工人中抽查： 100250 25 1000 名工人， B 类工人中抽查： 100750 75 1000 名工人． （2）①由题意得： 4 8 5 3 25x ，解得 5x ． 6 36 18 75y ，解得 15y ． 补全频率分布直方图，如下图： ②从频率分布直方图可以判断： B 类工人中个体间的差异程度更小． ③ A类工人生产能力的平均数为： 4 8 5 3105 115 135 145 123 25 25 25 25 Ax ． A类工人生产能力的中位数的估计值为： 0.5 0.16 0.32120 10 121 0.2 ． 【点睛】 本题考查分层抽样、频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、中位数的求法， 解题时要认真审题，注意频率分布直方图、分层抽样的性质的合理运用，属于中档题． 25． （1） 1 4 ；（ 2）见解析；（ 3）见解析 【解析】 【分析】 (1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得 到答案 . (2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科； （3）先计算 x 和 y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值 50 即可得到答 案 . 【详解】 (1) 记物理、历史分别为 1 2,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为 1 2 3 4, , ,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有 1 1 2, ,A B B ， 1 1 3, ,A B B ， 1 1 4, ,A B B ， 1 2 3, ,A B B ， 1 2 4, ,A B B ， 1 3 4, ,A B B ， 2 1 2, ,A B B ， 2 1 3, ,A B B ， 2 1 4, ,A B B ， 2 2 3, ,A B B ， 2 2 4, ,A B B ， 2 3 4, ,A B B ，共 12 种 他选到物理、地理两门功课的满情形有 1 1 2 1 2 3 1 2 4, , , , , ,A B B A B B A B B ，共 3 种 甲同学选到物理、地理两门功课的概率为 3 1 12 4 P (2) 物理成绩的平均分为 76 82 82 85 87 90 93 85 7 x物理 历史成绩的平均分为 69 76 80 82 94 96 98 85 7 x历史 由茎叶图可知物理成绩的方差 2s 物理 历史成绩的方差 2s 物理 故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从 最高分的情况来看，应选择历史学科 ( 答对一点即可 ) (3) 57+61+65+72+74+77+84 70 7 x ， 85y , 7 1 7 22 2 1 7 41964 7 70 85 314 0.58 34840 7 70 540 ? 7 i ii ii x y x y b x x 85 0.58 70 44.? 0? 4a y b x y 关于 x 的回归方程为 0.58 +44.40y x 当 50x 时， 0.58 50+44.40 73y , 当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩为 73 分 【点睛】 本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读 理解能力，计算能力和分析能力，难度不大 . 26． （1） 74；（ 2） 1 2 . 【解析】 【分析】 （1）本题可用 8 个数的和除以 8 即可得出结果 （2）“乙的平均数高于甲”即“乙的总分高于甲”，借此即可计算出 a 的取值范围，最后 得出结果。 【详解】 （1）由题意可得甲的成绩的平均数为 62 64 70 73 75 78 84 86 74 8 x ； （2）因为乙的平均分高于甲的平均分，所以只需要乙的总分高于甲即可。 乙的总分为 62 64 70 71 74 75 88 89 593， 甲的总分为 62 60 70 73 75 78 84 86 588a a， 则 593 588 a，得 5a ，又的 a 取值为 0 至 9 的十个自然数， 则 a 取 0 1 2 3 4、、、、 这五个数， 所以乙的平均数高于甲的概率为 5 1 10 2 。 【点睛】 本题考查的是茎叶图的相关性质以及概率的计算，对茎叶图的理解是解决本题的关键，考 查推理能力与计算能力，考查整体思想，是中档题。