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- 2021-05-24 发布
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关键能力·题型突破
考点一 机械能守恒条件的判断
1. 在如图所示的物理过程示意图中,甲图为一端固定有小球的轻杆,
从右偏上 30°角释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的
轻质直角架, 释放后绕直角顶点的固定轴 O无摩擦转动; 丙图为置于
光滑水平面上的 A、B两小车, B静止,A获得一向右的初速度后向右
运动,某时刻连接两车的细绳绷紧,然后带动 B车运动;丁图为置于
光滑水平面上的带有竖直支架的小车, 把用细绳悬挂的小球从图示位
置释放, 小球开始摆动。 则关于这几个物理过程 ( 空气阻力忽略不计 ) ,
下列判断中正确的是 ( )
A. 甲图中小球机械能守恒
B. 乙图中小球 A的机械能守恒
C.丙图中两车组成的系统机械能守恒
D.丁图中小球的机械能守恒
【解析】 选 A。甲图过程中轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒;
乙图过程中 A、B 两球通过杆相互影响 ( 例如开始时 A 球带动 B 球转
动) ,轻杆对 A 的弹力不沿杆的方向,会对小球做功,所以每个小球
的机械能不守恒, 但把两个小球作为一个系统时机械能守恒; 丙图中
绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功,但弹力突变有内能转
化,机械能不守恒;丁图过程中细绳也会拉动小车运动,取地面为参
考系,小球的轨迹不是圆弧,细绳会对小球做功,小球的机械能不守
恒,把小球和小车当作一个系统,机械能才守恒。
2.(2020 ·大兴区模拟 )根据生活经验可知, 处于自然状态的水都是往
低处流的,当水不再流动时,水面应该处于同一高度。在著名的牛顿
“水桶实验”中发现:将一桶水绕竖直固定中心转轴 OO′以恒定的
角速度转动,稳定时水面呈凹状,水桶截面如图所示。这一现象可解
释为,以桶为参考系,其中的水除受重力外,还受到一个与转轴垂直
的“力”,其方向背离转轴,大小与到轴的垂直距离成正比。水面上
的一个小水滴在该“力”作用下也具有一个对应的“势能” ,在重力
和该“力”的共同作用下,水面上相同质量的小水滴最终将具有相同
的总势能。根据以上信息可知,下列说法中正确的是 ( )
A. 该“力”对水面上小水滴做功与路径有关
B. 小水滴沿水面向上移动时,该“势能”增加
C.小水滴沿水面向上移动时,重力势能的增加量大于该“势能”的减
少量
D.水面上的小水滴受到重力和该 “力”的合力一定与水滴所在水面垂
直
【解析】 选 D。因水面上的一个小水滴在该“力”作用下也具有一个
对应的“势能”可知,该“力”对水面上小水滴做功与路径无关,选
项 A错误;因该“力”的方向与转轴垂直,方向背离转轴,可知小水
滴沿水面向上移动时,该“力”做正功,则该“势能”减小,选项 B
错误; 因水面上相同质量的小水滴最终将具有相同的总势能, 可知重
力势能的增加量等于该“势能”的减少量,选项 C错误;对其中的一
个小水滴而言, 水面对水滴的作用力垂直水面向上, 则其受到重力和
该“力”的合力也一定与水滴所在水面垂直,选项 D正确。
3.(2019 ·福州模拟 ) 如图所示, 将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于
光滑的水平面上,槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口 A
点的正上方由静止开始下落,小球从 A点与半圆形槽相切进入槽内,
则下列说法正确的是 ( )
A. 小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B. 小球从 A点向半圆形槽的最低点运动的过程中, 小球处于失重状态
C.小球从 A点经最低点向右侧最高点运动的过程中, 小球与槽组成的
系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
【解析】 选 C。小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中,半圆
形槽有向左运动的趋势, 但实际上没有动, 整个系统中只有重力做功,
所以小球与槽组成的系统机械能守恒; 小球过了半圆形槽的最低点以
后,半圆形槽向右运动,系统没有其他形式的能量产生,满足机械能
守恒的条件, 所以系统的机械能守恒; 小球从 A点至到达槽最低点过
程中,小球先失重,后超重;小球由最低点向右侧最高点运动的过程
中,半圆形槽也向右移动,半圆形槽对小球做负功,小球的机械能不
守恒,故选项 C正确。
【加固训练】
( 多选 ) 轻质弹簧一端悬挂于天花板, 另一端与一小木块相连处于静止
状态,一子弹以水平速度 v 瞬间射穿木块,不计空气阻力 ( )
A. 子弹射穿木块的过程中,子弹与木块组成的系统机械能不守恒
B. 子弹射穿木块后,木块在运动过程中机械能守恒
C.木块在向右摆动过程中, 木块的动能与弹簧的弹性势能之和在变小
D.木块在向右摆动过程中重力的功率在变小
【解析】 选 A、C。子弹射穿木块的过程中,子弹相对木块发生了相
对滑动,有摩擦力做功,故子弹与木块组成的系统机械能不守恒,故
A正确;子弹射穿木块后,木块在运动过程受到弹簧的弹力作用,且
弹簧弹力对木块做功,木块机械能不守恒,故 B错误;木块在向右摆
动过程中, 木块和弹簧组成的系统机械能守恒, 由于木块重力势能增
大,故木块的动能与弹簧的弹性势能之和在变小,故 C正确;木块在
最低点时,重力的瞬时功率为零,达到最高点时,速度为零,重力的
瞬时功率为零, 故在此过程中重力的瞬时功率先增大后减小, 故 D错
误。
考点二 机械能守恒定律的简单应用
【典例 1】(2019·广州模拟 ) 某实验小组做了如下实验,装置如图甲
所示。 竖直平面内的光滑轨道由倾角为 θ 的斜面轨道 AB和圆弧轨道
BCD组成,使质量 m=
0.1 kg 的小球从轨道 AB上高 H处的某点由静止滑下,用压力传感器
测出小球经过圆弧最高点 D时对轨道的压力 F。改变 H的大小,可测
出相应的 F 大小, F 随 H的变化关系如图乙所示,取 g=10 m/s 2
。
(1) 求圆轨道的半径 R;
(2) 若小球从 D点水平飞出后又落到斜面上,其中最低点与圆心 O等
高,求 θ 的值。
【解析】 (1)小球经过 D 点时,满足竖直方向的合力提供圆周运动的
向心力,即: F+mg=m
从 A 到 D 的过程中只有重力做功,根据机械能守恒定律有:
mg(H-2R)= mv 2
联立解得: F= H-5mg
由题中给出的 F-H 图象知斜率
k= N/m=10 N/m
即 =10 N/m
所以可得 R=0.2 m 。
(2)小球离开 D 点做平抛运动,根据几何关系知,小球落地点越低平
抛的射程越小,即题设中小球落地点位置最低对应小球离开 D 点时
的速度最小。根据临界条件知,小球能通过 D 点时的最小速度为
v=
小球在斜面上的落点与圆心等高, 故可知小球平抛时下落的距离为 R
所以小球平抛的射程
s=vt=v = · = R
由几何关系可知,角θ =45 °。
答案: (1)0.2 m (2)45 °
【多维训练】 如图所示, 半径为 R的光滑半圆轨道 ABC与倾角 θ=37°
的粗糙斜面轨道 DC相切于 C,圆轨道的直径 AC与斜面垂直。质量为
m的小球从 A点左上方距 A高为 h 的斜上方 P点以某一速度水平抛出,
刚好与半圆轨道的 A点相切进入半圆轨道内侧, 之后经半圆轨道沿斜
面刚好滑到与抛出点等高的 D 处。已知当地的重力加速度为 g,取
R= h,sin37 °=0.6 ,cos37°=0.8 ,不计空气阻力,求:
(1) 小球被抛出时的速度 v0;
(2) 小球到达半圆轨道最低点 B时,对轨道的压力大小;
(3) 小球从 C到 D过程中克服摩擦力做的功 W。
【解析】 (1) 小球到达 A 点时, 速度与水平方向的夹角为θ, 如图所示。
设竖直方向的速度为 vy,则有 =2gh
由几何关系得 v0=v ycot θ
得 v0= 。
(2)A 、B 间竖直高度 H=R(1+cos θ)
设 小 球 到 达 B 点 时 的 速 度 为 v , 则 从 抛 出 点 到 B 过 程 中 有
m +mg(H+h)= mv 2
在 B 点,有 FN -mg=m
解得 FN=5.6mg
由牛顿第三定律知,小球在 B 点对轨道的压力大小是 5.6mg 。
(3)小球沿斜面上滑过程中克服摩擦力做的功等于小球做平抛运动的
初动能,有 W= m = mgh 。
答案: (1) (2)5.6mg (3) mgh
应用机械能守恒定律解题的基本思路
【加固训练】
如图所示,半径为 R的光滑圆周轨道 AB固定在竖直平面内, O 为圆
心,OA与水平方向的夹角为 30°, OB在竖直方向。一个可视为质点
的小球从 O点正上方某处以某一水平初速度向右抛出, 小球恰好能无
碰撞地从 A点进入圆轨道内侧, 此后沿圆轨道运动到达 B点。 已知重
力加速度为 g,求:
(1) 小球初速度的大小。
(2) 小球运动到 B点时对圆轨道压力的大小。
【解析】 (1)设小球的初速度为 v0,飞行时间为 t,则:
水平方向: Rcos30 °=v 0t
竖直方向: y= gt 2
vy=gt
由于小球运动到 A 点时与轨道无碰撞,则: tan30 °=
联立以上各式解得: v0= y= R
(2)抛出点距轨道最低点的高度 h=R+Rsin30 °+y
小球运动到最低点 B 的过程由机械能守恒定律得:
mgh+ m = mv 2
由牛顿第二定律得: FN -mg=m
联立解得: FN =6mg
由牛顿第三定律可知,压力大小为 6mg
答案: (1) (2)6mg
考点三 系统机械能守恒定律的应用
绳、杆连接的物体
【典例 2】(2019·长沙模拟 ) 如图所示,左侧为一个半径为 R的半球
形的碗固定在水平桌面上,碗口水平, O点为球心,碗的内表面及碗
口光滑。右侧是一个固定光滑斜面,斜面足够长,倾角 θ=30°。一
根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑
轮两端上,绳的两端分别系有可视为质点的小球 m1 和 m2,且 m1>m2。
开始时 m1 恰在碗口水平直径右端 A处,m2 在斜面上且距离斜面顶端足
够远,此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。 当 m1 由静止释放
运动到圆心 O的正下方 B点时细绳突然断开, 不计细绳断开瞬间的能
量损失。
(1) 求小球 m2 沿斜面上升的最大距离 s;
(2) 若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为 ,求 。
( 结果保留两位有效数字 )
【解析】 (1)设重力加速度为 g,小球 m 1 到达最低点 B 时, m 1、m 2
速度大小分别为 v1、v2
如图所示,由运动的合成与分解得 v1= v2
对 m 1、m 2 组成的系统由机械能守恒定律得
m 1gR-m 2gh= m 1 + m 2
h= Rsin30 °
联立以上三式得
v1= ,v2=
设细绳断开后 m 2 沿斜面上升的距离为 s′,对 m 2 由机械能守恒定律
得
m 2gs′sin30 °= m 2
小球 m 2 沿斜面上升的最大距离 s= R+s ′
联立以上两式并代入 v2 得
s= R= R
(2)对 m 1 由机械能守恒定律得:
m 1 =m 1g
代入 v1 得 = ≈1.9。
答案: (1) R (2)1.9
【多维训练】 如图所示,左侧竖直墙面上固定半径为 R=0.3 m的光滑
半圆环, 右侧竖直墙面上与圆环的圆心 O等高处固定一光滑直杆。 质
量为 ma=100 g 的小球 a 套在半圆环上,质量为 mb=36 g 的滑块 b 套在
直杆上,二者之间用长为
l=0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将 a 从圆环的最高处由静止释放,
使 a 沿圆环自由下滑,不计一切摩擦, a、b 均视为质点,重力加速
度 g=10 m/s 2。求:
(1) 小球 a 滑到与圆心 O等高的 P点时的向心力大小;
(2) 小球 a 从 P 点下滑至杆与圆环相切的 Q点的过程中,杆对滑块 b
做的功。
【解析】 (1)当 a 滑到与圆心 O 等高的 P 点时, a 的速度 v 沿圆环切
线竖直向下, b 的速度为零,
由机械能守恒可得: m agR= m av2
解得 v=
在 P 点对小球 a,由牛顿第二定律可得:
F= =2m ag=2 N
(2)杆与圆环相切时,如图所示,此时 a 的速度沿杆方向,设此时 b
的速度为 vb,则知 va=v bcos θ,由几何关系可得:
cos θ= =0.8
球 a 下降的高度 h=Rcos θ
a、b 及杆组成的系统机械能守恒:
m agh= m a + m b - m av2
对滑块 b,由动能定理得:
W= m b =0.1 944 J
答案: (1)2 N (2)0.1 944 J
弹簧连接的物体
【典例 3】如图所示, 右边传送带长 L=15 m、逆时针转动速度为 v0=16
m/s,左边是光滑竖直半圆轨道 ( 半径 R=0.8 m) ,中间是光滑的水平
面 AB(足够长 ) 。用轻质细线连接甲、乙两物体,中间夹一轻质弹簧,
弹簧与甲、 乙两物体不拴连。 甲的质量为 m1=3 kg,乙的质量为 m2=1 kg,
甲、乙均静止在光滑的水平面上。现固定甲物体,烧断细线,乙物体
离开弹簧后在传送带上滑行的最远距离为
sm=12 m。传送带与乙物体间动摩擦因数为 0.6 ,重力加速度 g 取 10
m/s2
,甲、乙两物体可看作质点。
(1) 固定乙物体,烧断细线,甲物体离开弹簧后进入半圆轨道,求甲
物体通过 D点时对轨道的压力大小;
(2) 甲、乙两物体均不固定,烧断细线以后 ( 甲、乙两物体离开弹簧时
的速度大小之比为 = ) ,问甲物体和乙物体能否再次在 AB面上发生
水平碰撞?若碰撞,求再次碰撞前瞬间甲、乙两物体的速度;若不会
碰撞,说明原因。
【解析】 (1)乙物体滑上传送带做匀减速运动:
μm 2g=m 2a
①
由运动学公式: =2as m
②
由机械能守恒定律得弹簧压缩时的弹性势能
Ep = m 2
③
固定乙物体,烧断细线,甲物体离开弹簧的速度满足:
Ep = m 1
④
甲物体从 B 运动到 D 过程中机械能守恒:
2m 1gR= m 1 - m 1
⑤
甲物体在 D 点: m 1g+F N =m 1
⑥
联立①~⑥得 FN=30 N
由牛顿第三定律知 FN ′=F N =30 N
(2)甲、乙两物体均不固定,烧断细线以后:
Ep = m 1v1′2+ m 2v2′2
由题意: =
解得: v1′=2 m/s ,v2′=6 m/s
之后甲物体沿轨道上滑,设上滑的最高点高度为 h ,则 m 1v1 ′
2=m 1gh ,
得 h=0.6 m<0.8 m
滑不到与圆心等高位置就会返回, 返回 AB 面上时速度大小仍然是 v1′
=2 m/s
乙物体滑上传送带,因 v′2=6 m/s<16 m/s ,则乙物体先向右做
匀减速运动,后向左做匀加速运动。
由对称性可知乙物体返回 AB 面上时速度大小仍然为 v′2=6 m/s
甲物体和乙物体能再次在 AB 面上发生水平碰撞。
答案: (1)30 N (2)会碰撞 2 m/s 6 m/s
多物体机械能守恒问题的解题思路
题型 光滑面接触的系统
【典例】 (2019·蚌埠模拟 ) 如图所示, AB为光滑的水平面, BC是倾
角为 α 的足够长的光滑斜面,斜面体固定不动。 AB、BC间用一小段
光滑圆弧轨道相连。一条长为 L 的均匀柔软链条开始时静止地放在
ABC面上,其一端 D至 B点的距离为 L-a。现自由释放链条,则:
(1) 链条下滑过程中,系统的机械能是否守恒?简述理由;
(2) 链条的 D端滑到 B点时,链条的速率为多大?
【解析】 (1)链条在下滑过程中机械能守恒,因为斜面 BC 和水平面
AB 均光滑,链条下滑时只有重力做功,符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为 m ,可以认为始、末状态的重力势能变化是由 L-a
段下降引起的,高度减少量
h= sin α= sin α
该部分的质量为 m ′= (L-a)
由机械能守恒定律可得: (L-a)gh= mv 2,
解得: v= 。
答案: (1)守恒 理由见解析 (2)
【多维训练】
1.(2019 ·莱芜模拟 ) 一根质量为 m、长为 L 的均匀链条一半放在光滑
的水平桌面上,另一半悬在桌边,桌面足够高,如图甲所示。若将一
个质量为 m的小球分别拴在链条右端和左端,如图乙、图丙所示。约
束链条的挡板光滑, 三种情况均由静止释放, 当整根链条刚离开桌面
时,关于它们的速度关系,下列判断正确的是 ( )
A.v 甲 =v 乙=v 丙 B.v 甲 v 甲 >v 乙 D.v 乙>v 甲 >v 丙
【解析】 选 D。三种情况下所研究的系统机械能守恒,由 -ΔEp= ΔEk
得,对于甲: mg × + mg × = m ,v 甲 = ;
对于乙: mg × + mg × +mg ×
= ×2m ,v 乙 = ;
对于丙: mg × + mg × = ×2m ,v 丙= ,故 v 乙>v 甲 >v 丙,
D 正确。
2. 如图所示,在倾角为 30°的光滑斜面上,一劲度系数为 k=200 N/m
的轻质弹簧一端连接固定挡板 C上,另一端连接一质量为 m=4 kg 的
物体 A,一轻细绳通过定滑轮,一端系在物体 A上,另一端与质量也
为 m的物体 B 相连,细绳与斜面平行,斜面足够长。用手托住物体 B
使绳子刚好没有拉力,然后由静止释放。求:
(1) 弹簧恢复原长时细绳上的拉力;
(2) 物体 A沿斜面向上运动多远时获得最大速度;
(3) 物体 A的最大速度的大小。
【解析】 (1)恢复原长时
对 B 有 mg-F T=ma
对 A 有 FT-mgsin30 °=ma
解得 FT=30 N 。
(2)初态弹簧压缩量
x1= =10 cm
当 A 速度最大时
mg=kx 2+mgsin30 °
弹簧伸长量 x2= =10 cm
所以 A 沿斜面上升 x1+x 2=20 cm 。
(3)因 x1=x 2,故弹性势能改变量Δ Ep=0 ,
由系统机械能守恒:
mg(x 1+x 2)-mg(x 1+x 2)sin30 °= ×2m ·v2
得 v=g · =1 m/s 。
答案: (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
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