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浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 1 / 13 浙江重点名校高中物理竞赛模拟试题（九） 一、（20 分）一汽缸的初始体积为 0V ，其中盛有 2 mol 的空气和少量的水（水的 体积可以忽略） 。平衡时气体的总压强是 3.0 atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍， 在膨胀结束时， 其中的水刚好全部消失， 此时的总压强为 2.0 atm。若让其继续作 等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1. 汽缸中气体的温度； 2. 汽缸中水蒸气的摩尔数； 3. 汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 二、（25 分）两个焦距分别是 1f 和 2f 的薄透镜 1L 和 2L ，相距为 d ，被共轴地安置 在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行， 问该入 射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的 光路示意图。 三、 （25 分）用直径为 1mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5 cm 的圆环。 圆环处于超导状态，环内电流为 100 A 。经过一年，经检测发现，圆环内电流的 变化量小于 610 A－ 。试估算该超导材料电阻率数量级的上限。 提示：半径为 r 的圆环中通以电流 I 后 , 圆环中心的磁感应强度为 0 2 IB r , 式中 B 、 I 、 r 各量均用国际单位， 7 2 0 4 10 N A－ － 。 四、 （20 分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系 统， 通过对它们的研究， 使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻 的认识。 双星系统由两个星体构成， 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的 距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定， 该双星系统中每个星体的质量都 是 M ，两者相距 L 。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期 T计算 。 2. 若实验上观测到的运动周期为 T观测 ，且 : 1: ( 1)T T N N观测 计算 。为了解 释 T观测 与 T计算 的不同， 目前有一种流行的理论认为， 在宇宙中可能存在一种望远 镜观测不到的暗物质。 作为一种简化模型， 我们假定在这两个星体连线为直径的 球体内均匀分布着这种暗物质， 而不考虑其它暗物质的影响。 试根据这一模型和 上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 五、 （25 分）六个相同的电阻（阻值均为 R ）连成一个电阻环，六个接点依次为 1、2、3、4、5 和 6，如图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环， 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 2 / 13 分别称为 1D 、 2D 、┅ 5D 。 现将 2D 的 1、3、5 三点分别与 1D 的 2、4、6 三点用导线连接， 如图复 16-5-2 所示。然后将 3D 的 1、3、5 三点分别与 2D 的 2、4、6 三点用导线连接，┅ 依 此类推。最后将 5D 的 1、3、5 三点分别连接到 4D 的 2、4、6 三点上。 1．证明全部接好后，在 1D 上的 1、3 两点间的等效电阻为 724 627 R 。 2．求全部接好后，在 5D 上的 1、3 两点间的等效电阻。 六、（25 分）如图复 16-6 所示， z 轴竖直向上， xy平面是一 绝缘的、 固定的、 刚性平面。 在 0( ,0,0)A x 处放一带电量为 ( 0)q q 的小物块， 该物块与一细线相连， 细线的另一端 B 穿过位于坐标 原点 O 的光滑小孔， 可通过它牵引小物块。 现对该系统加一匀强 电场， 场强方向垂直与 x 轴，与 z 轴夹角为 （如图复 16-6 所示） 。 设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为 tan , 且静摩擦系数和 滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块， 使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的 B 端只准沿 z 轴向 下缓慢移动，不得沿 z 轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在 任何时刻， 都可近似认为小物块处在力平衡状态。 若已知小物块 的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 3 / 13 物理竞赛模拟（九）答案 一、参考解答 1 只要有液态水存在， 平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之 和： 3.0 atmp p p总 空 饱0 0 （1） 第一次膨胀后 1 02V V 2.0 atmp p p总 空 饱1 1 （2） 由于第一次膨胀是等温过程，所以 0 1 02p V p V p V空 空 空0 1 1 （3） 解（ 1）、（ 2）、（ 3）三式，得 1.0 atmp饱 （4） 2.0 atmp空 0 （5） 1.0 atmp空 1 （6） 由于 1.0 atmp饱 ，可知汽缸中气体的温度 0 373KT （7） 根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。 2 设水蒸气为 mol水 ．经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为 p饱 ， 这时对于水蒸气和空气分别有 1 0p V RT饱 水 （ 8） 1 0 02p V RT RT空1 空 （ 9） 由此二式及（ 5）、（6）式可得 2 mol水 （ 10） 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 4 / 13 3. 在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有 2 1p V p V总2 总1 （11） 由题意知， 2 04V V ， 1 02V V ，再将（ 2）式代入，得 1.0 atmp总2 （12） 二、参考解答 l ．在所示的光路图（图复解 16-2-1 ）中，人射光 AB 经透镜 1L 折射后沿 BC 射向 2L ， 经 2L 折射后沿 CD 出射． AB 、BC 、CD 与透镜主轴的交点分别为 P 、P 和 P ，如果 P 为 物点，因由 P 沿主轴射向 1O 的光线方向不变，由透镜性质可知， P 为 P 经过 1L 所成的像， P 为 P 经 2L 所成的像，因而图中所示的 1u 、 1v 、 2u 、 2v 之间有下列关系： 1 1 1 1 1 1 u v f （ 1） 2 2 2 1 1 1 u v f （ 2） 2 1d u v （3） 当入射光线 PB 与出射光线平行时，图中的 ，利用相似三角形关系可求得 2 1 vh h u , 2 1 uh h v 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 5 / 13 从而求得 2 2 1 1 v u u v （4） 联立方程（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4），消去 1v 、 2u 和 2v ，可得 1 1 1 2( ) f du d f f （5） 由于 d 、 1f 、 2f 均已给定，所以 1u 为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平 行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点， 它在 1L 的左方与 1L 相距 1 1 1 2( ) f du d f f 处， 又由于 1u 与 无关，凡是通过该点射向 1L 的入射光线都和对应的出射光线相互平行． 2．由所得结果（ 5）式可以看出，当 1 2d f f 时， 1 0u ，此情况下的光路图就是图 复解 16-2-1 ． 当 1 2d f f 时， 1u ， 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图 复解 16-2-2 ． 当 1 2d f f 时， 1 0u ，这表明 P 点在 1L 的右方，对 1L 来说，它是虚物．由（ 1）式 可知，此时 1 0v ，由 2 2 1 1 fu v f 可知， 2 0u ，又由 2 1 2 2 0u v v u 可知， 2 0v ，所以此时的 光路图如图复解 16-2-3 ． 三、参考解答 根据题中所给的条件，当圆环内通过电流 I 时，圆环中心的磁感应强度 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 6 / 13 0 1 2 B r 穿过圆环的磁通量可近似为 0 2 BS Ir （ 1） 根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小 0 2 Ir t t E （2） 圆环的电阻 0 2 r IR I I t E （3） 根 据 题 设 条 件 0.05 mr ， 7 2 0 4 10 N A－ － ， 100 AI ， 6 1410 A/s 3 10 A/sI t － － , 代入（ 3）式得 233 10R － （4） 由电阻与电阻率 、导线截面积 S、长度 L 的关系 LR S 及已知导线的直径 1mmd ，环半径 5 cmr ，得电阻率 2 297.5 10 m 8 S dR R L r － （5） 四、参考解答 1．双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速率为 v ，向心加速度满足下面的 方程： 2 2 2/ 2 v GMM L L （1） 2 GMv L （2） 周期 2 ( / 2) 2L LT L v GM计算 ＝ （3） 2．根据观测结果，星体的运动周期 1T T T N观察 计算 计算＝ （4） 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力， 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质， 均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量 M 位于中点处的质量点相同．考虑暗物质作用后双星的速 度即为观察到的速度 v观 ，则有 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 7 / 13 2 2 2 2( / 2) v GM MMM G L L L 观 /2 （ 5） ( 4 ) 2 G M Mv L观＝ （6） 因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（ 4）式得 1 1 v vN观 1＝ （7） 把（ 2）、（ 6）式代入（ 7）式得 1 4 NM M （8） 设所求暗物质的密度为 ，则有 3 4 1 3 2 4 L N M 故 3 3( 1) 2 N M L （9） 五、参考解答 解法一： 1．（ 1）电阻图变形． 此题连好的线路的平面图如图预解 16-5-1 所示． 现将电阻环改画成三角形， 1、3、5三点为顶点， 2、4、6 三点为三边中点，如图预解 1—5-2 与图预解 16-5-3 所示．整个 连好的线路相当于把 nD 的三个顶点分别接到 1nD 的三个中点 上，图预解 16-5-1 变为图预解 16-5-4 ．这样第 1问归结为求图 预解 16-5-4 中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。 （2）递推公式． 为使图形简化，讨论如何将接 好的两个电阻环化简 成为一个单环。 由六个 阻值 为 r 的电阻 构成 一个三角环， 将其顶点 接在另一由六个阻值 为 R 的电阻构成的三 角环的中点上 （如图预 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 8 / 13 解16-5-5 所示）。 图预解 16-5-6 是由六个阻值为 R 的电阻构成的三角环。若图预解 16-5-5 顶点 1、3间的 电阻与图预解 16-5-6 顶点 l 、3间的电阻阻值相等，我们称图预解 16-5-6 中的 R 为等效单环 电阻． 用符号“ // ”表示电阻的并联，如 1// (1/ ) (1/ )BA BA R R R R 由图预解 16-5-5 中的对称性可知 l 、3两顶点间的电阻 1, 3R 等于图预解 16-5-7 中 1、0 间的电阻 1, 0R 的2倍，即 1 3 1,0 2 2 2{[ // //(2 )] }// 1 2 //1 1 1 2 4 32 // 2 3 1 4 3 3 R R R r r R R R R R r r rR R R r R r R R r R ，= 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 9 / 13 1 // 3 R r R （1） 同理，图预解 16-5-6 中 1、 3两顶点间的电阻 1, 3R 为 1, 3 42[(2 )// ] 3 R R R R （2） 由（ 1）、（ 2）式得等效单环电阻 R 为 3 1 // 4 4 R R r R （3） 2. 第一问 现在考虑把 1D 、 2D 、 3D 、 4D 、 5D 按相反的次序，由内向外依次连接的情况．首先 将 4D 接在 5D 外面，求双环 54D D 的等效单环电阻 (2)R 〔即（3）式中的 R 〕．这时 r R ．由 （3）式得到 (2)R 为 (2) 3 1 7// 4 4 8 R R R R R 其次，在双环 54D D 外面接上 3D ，这时 (2)r R ．三环 53 4D D D 的等效单环电阻 (3)R 为 (3) (2)3 1 3 1 7 13// // 4 4 4 4 8 15 R R R R R R R R 由此可得一般公式， ( 1)s 环的等效单环电阻 1( )sR 可由 sR( ) 求出 1( ) 3 1 // 4 4 s sR R R R( ) （4） 于是 13 15 4 33 1 3 1 97// // 4 4 4 4 112 R R R R R R R R( ) ( ) ＋ 97 112 5 43 1 3 1 181// // 4 4 4 4 209 R R R R R R R R( ) ( ) ＋ 由 （ 2 ） 式 1,3 (4 / 3)R R 得 出 由 一 个 环 （ 5D ） 、 两 个 环 （ ） 直 至 五 个 环 （ 5 4 3 2 1D D D D D ）构成的线路 1、 3点间的电阻为 (1) 1,3 4 4' 3 3 R R R (2) 1,3 4 7 7 3 8 6 R R R 5 4D D 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 10 / 13 (3) 1,3 4 13 52 3 15 45 R R R (4) 1,3 4 97 97 3 112 84 R R R (5) 1,3 4 181 724 3 209 627 R R R 答：所求的五个环的 1与 3间的等效电阻确为 724 627 R ．证毕。 3. 第二问 根据五个 D 组成的圆柱形网络的对称性， 5D 的l 、3两点等价于 1D 的2、4两点．等价线 路如图预解 16-5-8 与图预解 16-5-9 所示．设二图等价，求图预解 16-5-9 中的 R 即可． (4) 1 194(2 ) //(2 ) 1 56 209 2 97 R R R R R R 所以 (5) 2, 4 2 388// 2 3 627 R R R R R 答：所求值为 388 627 R 。 解法二： 第一问 图预解 16-5-3 可看做 5D 的接线图，其一半如图预解 16-5-10 所示，竖直粗线为一短路 线．一个环（ 5D ）构成线路的 1与 0点间的阻值用 (1) 1, 0R 表示， 根据对称性， (1) (1) 1, 0 1,3 1 2 2 3 R R R 。 图复解 16-5-8 图复解 16-5-9 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 11 / 13 当 5D 接入 4D 后，由两个环（类似图预解 16-5-5 ）构成线路图的一半如图预解 16-5-11 所示．三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形（ 2 0' 0 ）中的 2与 0' 间的阻值就是图预 解16-5-10 中 1与 0间的阻值 (1) 1,0R 。其等效电路如图预解 16-5-12 所示．图预 解16-5-11 （或图预解 16-5-12 ）中的 l 与 0点间的阻值用 (1) 1, 0R 表示．有 (2) (1) 1, 0 1, 0 2 7[( // ) ]// // // 3 12 R R R R R R R R R R 再将双环 5 4D D 接入 3D ，其一半如图预解 16-5-13 所示，三个带阴影 的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻， 其2与 0' 间的阻值就对应为 (2) 1, 0R ，参看图预解 16-5-12 的等效电路，得 (3) (2) 1, 0 1, 0[( // )]// 7// // 12 26 45 R R R R R R R R R R 同理，得 (4) (3) 1, 0 1, 0 26 97[( // )]// // // 45 168 R R R R R R R R R R (5) (4) 1, 0 1, 0 97 362[( // )]// // // 168 627 R R R R R R R R R R 由此得 (5) (5) 1,3 1, 0 7242 627 R R R 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 12 / 13 第二问 五个电阻环构成线路后， 最外层环 （ 1D ）上 2点与 4点间的等效电阻可借用图预解 16-5-12 求得，将图中 (1) 2, 0'R 换成 (4) 2, 0'R ，五个环构成的线路中 2与 4间阻值可如下求得： 因 (5) (4) 2, 0' 1, 0 97 1942 // // 2 // // 168 627 R R R R R R R R 故 (5) (5) 2, 4 2, 0' 3882 627 R R R 六、参考解答 设所加匀强电场的场强为 E ，它在 y 方向和 z 方向的分量分别为 sinyE E ， coszE E 。 由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为 siny yF qE qE （ 1） cosz zF qE qE （2） yF 在 xy平面内， 方向沿 y 轴正方向． zF 垂直于 xy 平面， 被绝缘平面的支持力所平衡， 故物块对绝缘平面的正压力的大小 N 和 zF 的大小相等，即 cosN qE 绝缘平面作用于物块的摩擦力 tan cos sin yf N qE qE F （ 3） f 的方向决定于物块移动的方向． 根据题意，物块在 xy 平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动．作用于物块 的三个力 yF 、 f 和线的拉力 T 都在 xy平面内． 物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图 预解 16-6 所示。 为细线与 x 轴的夹角。 把 T 沿 x 和 y 方向分解 得 cos , sinx yT T T T 用 xf 和 yf 表示 f 的两个分量，物块平衡时，有 sin 0y yF T f （4） 浙江名校高中物理竞赛模拟试题（九） （Word 版包含答案） 13 / 13 cos 0xT f （5） 由（ 4）、（5）式得 2 2 2 2( sin ) cosyF T T f 注意到（ 3）式，得 ( 2 sin ) 0yT T F 得 0T 或 2 sinyT F （6） 因要小物块缓慢移动，需要细线牵引， 0T 不符合题意，应舍去．因 0 ， 2 sin 0yT F ，将 T 代入（ 4）、（ 5）式， 有 2sin cosy y yf T F F cos sin 2x yf T F 摩擦力方向的斜率 coty x f k f （7） k 是摩擦力方向与 x 轴夹角的正切，即摩擦力方向的斜率， 因摩擦力始终沿轨道的切线 方向，故 k 也就是轨道切线的斜率．下面，通过对（ 7）式的分析来寻找轨道方程． 当中一 0，k－co即在起点 A时，轨道的切线与 x轴垂直 当 0 ， k ，即在起点 A 时，轨道的切线与 x 轴垂直。 当 2 ， k ，一种情况是小物块运动到 y 轴上后，沿 y 轴做直线运动到 O 点，但 这与题设轨迹移动是一条二次曲线不符，因而它一定表示轨道在 O 点的切线与 x 轴垂直． 在二次曲线中，曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆．又因为 A 、 O 两点的切线 与它们的连线相垂直，这连线应为曲线的轴线，且在 Ox 轴上，另一轴在它的垂直平分线上 且与 y 轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为 0. 代入（ 7）式得 4 ，故该曲线为 圆，其方程为 2 2 20 0 2 4 x xx y （8）