2021版高考物理大一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第3节圆周运动教学案 12页

第 3 节 圆周运动 一、圆周运动及其描述 1．匀速圆周运动 (1) 定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是做匀速圆周 运动。 (2) 特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3) 条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．描述圆周运动的物理量 物理量 意义、方向 公式、单位 线速度 ( v) ①描述圆周运动的物体运动快慢的物 理量 ②是矢量， 方向和半径垂直， 和圆周相 切 ①v＝Δs Δt ＝ 2πr T ②单位： m/s 角速度 (ω) ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量 ②中学不研究其方向 ①ω＝Δ θ Δt ＝ 2π T ②单位： rad/s 周期 ( T) 和转速 ( n) 或频率 ( f ) ①周期是物体沿圆周运动一周的时间 ②转速是物体单位时间转过的圈数； 频 率是单位时间内运动重复的次数 ①T＝ 2π r v 单位： s ②n 的单位： r/s 、r/min ， f 的单位： Hz 向心加速度 ( a) ①描述速度变化快慢的物理量 ②方向指向圆心 ①a＝ v2 r ＝r ω2 ②单位： m/s2 二、圆周运动的向心力 1．作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 2．大小 F＝mv2 r ＝mω 2r ＝m4π 2 T2 r ＝mωv＝4π 2mf2r 。 3．方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 4．来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。 三、离心现象 1．现象 做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况 下，就做逐渐远离圆心的运动。 2．受力特点及轨迹 ①当 Fn＝mω 2r 时，物体做匀速圆周运动。 ②当 Fn＝0 时，物体沿切线方向飞出。 ③当 Fn＜mω 2r 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ④当 Fn＞mω 2r 时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。 1．思考辨析 ( 正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 ( ×) (2) 做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 ( ×) (3) 做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 ( √) (4) 做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。 ( √) (5) 做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。 ( ×) (6) 赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。 ( √) 2．( 人教版必修 2P25T3 改编 ) 如图所示，小物体 A 与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘 一起做匀速圆周运动，则 A 受力情况是 ( ) A．重力、支持力 B．重力、向心力 C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D．重力、支持力、向心力、摩擦力 [ 答案 ] C 3．( 粤教版必修 2P37T2)( 多选 ) 如图为甲、 乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变 化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道 ( ) A．甲球运动时，线速度的大小保持不变 B．甲球运动时，角速度的大小保持不变 C．乙球运动时，线速度的大小保持不变 D．乙球运动时，角速度的大小保持不变 AD [ 题图的图线甲中 a 与 r 成反比， 由 a＝ v2 r 可知， 甲球的线速度大小不变， 由 v＝ωr 可知，随 r 的增大，角速度逐渐减小， A 正确， B 错误；题图的图线乙中 a 与 r 成正比，由 a＝ω2r 可知， 乙球运动的角速度大小不变， 由 v＝ωr 可知， 随 r 的增大， 线速度大小增大， C错误， D正确。 ] 4．( 人教版必修 2P25T2 改编 )( 多选 ) 如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水 平面上， 圆锥母线与竖直方向夹角分别为 30°和 60°，有 A、B 两个质量相同的小球在两圆 锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( ) A．A、B 球受到的支持力之比为 3∶3 B．A、B 球的向心力之比为 3∶1 C．A、B 球运动的角速度之比为 3∶1 D．A、B 球运动的线速度之比为 1∶1 CD [ 设小球受到的支持力为 FN，向心力为 F，则有 FNsin θ＝mg，FNA∶FNB＝ 3∶1， 选项 A 错误； F＝ mg tan θ，FA∶FB＝3∶1，选项 B 错误；小球运动轨道高度相同，则半径 R＝ htan θ，RA∶RB＝1∶3，由 F＝mω2R得 ω A∶ωB＝3∶1，选项 C正确；由 v＝ωR 得 vA∶ vB ＝1∶1，选项 D正确。 ] 描述圆周运动的物理量 [ 依题组训练 ] 1．(2019·石嘴山三中期中 ) 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ( ) A．速度的大小和方向都改变 B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动 D．向心加速度不变 C [ 质点做匀速圆周运动时， 线速度大小始终不变， 速度方向为质点运动轨迹的切线方 向，时刻在改变，故 A 错误；做匀速圆周运动的物体的加速度始终指向圆心，即方向在时刻 改变，则匀速圆周运动是非匀变速曲线运动，故 B、D错误；当质点所受合力全部用来提供 向心力时，质点的线速度的大小不变，做匀速圆周运动，故 C正确。 ] 2. 某机器的齿轮系统如图所示， 中间的轮叫做太阳轮， 它是主动轮。 从动轮称为行星轮， 主动轮、 行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起， 如果太阳轮一周的齿数为 n1，行星轮 一周的齿数为 n2，当太阳轮转动的角速度为 ω 时，最外面的大轮转动的角速度为 ( ) A． n1 n1＋2n2 ω B ． n2 n1＋n2 ω C． n1 n1 －n2 ω D ． n2 n1 －n2 ω A [ 由行星轮、 主动轮、 最外面的大轮三部分彼此密切啮合在一起可知， 齿轮的周长之 比等于齿数之比。大轮、太阳轮、行星轮分别用 A、B、C表示， 2π RC 2π RB ＝ n2 n1 ，所以 RC RB ＝ n2 n1 ，则 RA RB ＝ 2RC＋RB RB ＝ 2n2＋n1 n1 ，因为三轮彼此密切啮合在一起， 三轮转动的线速度相等， 则角速度与半 径成反比，即 ω ωA ＝ RA RB ＝ 2n2＋n1 n1 ，得到 ωA＝ n1 n1＋ 2n2 ω，A 项正确。 ] 3.( 多选 ) 如图所示，有一皮带传动装置， A、B、C三点到各自转轴的距离分别为 RA、RB、 RC，已知 RB＝RC＝ RA 2 ，若在传动过程中，皮带不打滑。则 ( ) A．A点与 C点的角速度大小相等 B．A点与 C点的线速度大小相等 C．B点与 C点的角速度大小之比为 2∶1 D．B点与 C点的向心加速度大小之比为 1∶4 BD [ 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等； 同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然 vA＝vC，ωA＝ωB，选项 B 正确。根据 vA＝vC 及关系式 v＝ωR，可得 ωARA＝ ωCRC，又 RC＝ RA 2 ，所以 ωA＝ω C 2 ，选项 A 错误。 根据 ωA＝ ωB， ωA＝ωC 2 ，可得 ωB＝ωC 2 ，即 B 点与 C 点的角速度大小之比为 1∶2，选项 C 错误。根据 ωB ＝ω C 2 及关系式 a＝ ω2R，可得 aB＝ aC 4 ，即 B 点与 C点的向心加速度大小之比为 1∶4，选项 D 正确。 ] 常见的三种传动方式及特点 类型 模型 模型解读 皮带 传动 皮带与两轮之间无相对滑动时， 两轮边缘线 速度大小相等，即 vA＝vB 摩擦 ( 或齿 轮 ) 传动 两轮边缘接触， 接触点无打滑现象时， 两轮 边缘线速度大小相等，即 vA＝vB 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同， ωA ＝ωB，由 v＝ωr 知 v 与 r 成正比 水平面内的圆周运动 [ 讲典例示法 ] 1．水平面内的匀速圆周运动轨迹特点 运动轨迹是圆且在水平面内。 2．匀速圆周运动的受力特点 (1) 物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。 (2) 合外力充当向心力。 3．解答匀速圆周运动问题的一般步骤 (1) 选择研究对象，找出匀速圆周运动的圆心和半径。 (2) 分析物体受力情况，其合外力提供向心力。 (3) 由 Fn＝mv2 r 或 Fn＝mrω2 或 Fn＝mr4π 2 T2 列方程求解。 4．水平面内圆周运动的三种临界情况 (1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是：弹力 FN＝0。 (2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相 对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。 (3) 绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临 界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是： FT＝0。 [ 典例示法 ] (2019·兰州质检 ) 如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点 O 的上方 h( A 点 ) 处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为 m的小球 B，绳长 l 大于 h，转动轴 带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度 ω 逐渐增大时，下列说法正确的是 ( ) A．小球始终受三个力的作用 B．细绳上的拉力始终保持不变 C．要使球不离开水平面，角速度的最大值为 g h D．若小球飞离了水平面，则角速度可能为 g l 思路点拨： (1) 当转动的角速度较小时，水平面对小球有支持力作用；当转动的角速度 较大时，小球将离开水平面。 (2) 小球做匀速圆周运动的半径 r 与绳长 l 之间的关系，可由几何形状来确定。 (3) 小球对水平面的压力为零，是小球将离开水平面的临界条件，此时，小球的合力由 自身的重力及细绳的拉力合成来确定。 [ 解析 ] 小球可以在水平面上转动， 也可以飞离水平面， 飞离水平面后只受重力和细绳 的拉力两个力作用， 故选项 A 错误； 小球飞离水平面后， 随着角速度增大， 细绳与竖直方向 的夹角变大，设为 β，由牛顿第二定律得 Tsin β＝mω2l sin β 可知，随角速度变化，细 绳的拉力 T会发生变化，故选项 B 错误；当小球对水平面的压力为零时，有 Tcos θ＝ mg， Tsin θ＝mlω2 sin θ，解得临界角速度为 ω＝ g l cos θ＝ g h，若小球飞离了水平面， 则角速度大于 g h，而 g l < g h，故选项 C正确， D错误。 [ 答案 ] C “一、二、三、四”求解圆周运动问题 [ 跟进训练 ] 1．( 多选 )(2019 ·江苏省如东县第一次检测 ) 在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内 轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时 的速度大小为 v，重力加速度为 g，两轨所在面的倾角为 θ，则 ( ) A．该弯道的半径 r ＝ v2 gtan θ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变 C．当火车速率大于 v 时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率小于 v 时，外轨将受到轮缘的挤压 AB [ 火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处 斜面的倾角为 θ，根据牛顿第二定律得 mgtan θ＝m v2 r ，解得 r ＝ v2 gtan θ，故选项 A正确； 根据牛顿第二定律得 mgtan θ＝m v2 r ，解得 v＝ gr tan θ，可知火车规定的行驶速度与质 量无关，故选项 B 正确； 当火车速率大于 v 时，重力和支持力的合力不够提供向心力， 此时 外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故选项 C错误；当火车速率小于 v 时，重力和支持力 的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故选项 D错误。 ] 2.( 多选 )(2019 ·河南示范性高中联考 ) 如图所示， A、 B 两小球用一根轻绳连接，轻绳 跨过圆锥筒顶点处的光滑小定滑轮，圆锥筒的侧面光滑。当圆锥筒绕竖直对称轴 OO′匀速 转动时，两球都位于筒侧面上，且与筒保持相对静止，小球 A 到顶点 O 的距离大于小球 B 到顶点 O的距离，则下列判断正确的是 ( ) A．A球的质量大 B．B球的质量大 C．A球对圆锥筒侧面的压力大 D．B球对圆锥筒侧面的压力大 BD [ 本题考查圆锥面内的圆周运动问题。 绳对 A、B 两球的拉力大小相等， 设绳子对小 球的拉力大小为 T，侧面对小球的支持力大小为 F，则竖直方向有 Tcos θ＋Fsin θ＝ mg， 水平方向有 Tsin θ－Fcos θ＝ mω2l sin θ，可得 T＝mgcos θ＋mω2l sin 2θ，可知质量 m越大， l 就越小，则 B球的质量大，又 T＝ mg－Fsin θ cos θ ，可知 m越大， F 就越大，则 B 球 受圆锥筒侧面的支持力大，结合牛顿第三定律可知选项 B、D正确， A、C错误。 ] 3.( 多选 )(2019 ·沙市中学模拟 ) 如图所示，在光滑的以角速度 ω 旋转的水平细杆上穿 有质量分别为 m和 M的两球，两球用轻细线 ( 不会断 ) 连接，若 M>m，则 ( ) A．当两球离轴距离相等时，两球可能相对杆静止 B．当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球一定相对杆滑动 C．若两球相对于杆滑动，一定是都向穿有质量为 M的球的一端滑动 D．若角速度为 ω 时，两球相对杆都不动，那么角速度为 2ω 时，两球也不动 BD [ 两小球所受细线的拉力提供向心力， 所以向心力大小相等， 由于两小球质量不等， 角速度相等，当两球离轴距离相等时，则有 Mω 2r >mω2r ，所以两球相对杆会滑动，故 A 错 误。两球的向心力是相等的，则有 Mω2 r 1＝mω 2r 2，所以 r 1 r 2 ＝ m M<1，两球离轴距离与质量成反 比时可以与杆保持相对静止，所以两球离轴距离之比等于质量之比时，两球会相对杆滑动， 故 B 正确。若 Mω 2r 1>mω2r 2，两球向质量为 M的小球一端滑动，若 Mω2r 1