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  • 2021-05-24 发布

高考情报所理综-【物理专题技巧】运动的合成与分解

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微信公众号:羊知道 旸知教育高考情报所·理综专题 运动的合成与分解 刘乐瑶 2019 年 11 月 14 日 一、 基础知识 (一)运动类型 (二)小船过河 A. 渡河时间最短 船头与河岸垂直时,渡河时间最短。 原理:小船在垂直河岸方向的分运动的位移 y=d,再根据 y= 1v sinθ·t,解得渡河所需时间为 t= θsin· d 1v , 可以看出:在 d、 1v 一定时,t 随 sinθ的增大而减小;当θ=90°时,sinθ=1(最大),所以,船头与船岸 垂直时,渡河时间最短,且为: 1 mint v d 。 B. 渡河位移最短 设小船渡河的实际位移为 s,由运动的合成可知 s= 22 yx  ,而 y 方向的位移为定值 d,则当 x=0 时, mins =d,此时 xv = 2v - 1v .cosθ=0,因为 0≤cosθ≤1,故必须有 2v ﹤ 1v ,此结论才能成立. 微信公众号:羊知道 1. 下面分两种情况来探究 : 若 1v ﹥ 2v . 小船渡河最小位移为河宽 d,小船的合速度方向与河岸垂直,则有 x=( 2v - 1v .cos θ )t=0 解得 cosθ= 1 2 v v , 所以当 θ=arccos       1 2 v v 时 , mins =d. 2. 若 1v < 2v , 则不论船速方向如何,总被水流冲向下游 . 设船速 v与上游河岸成角 , 合速度与下游河岸成 α 角 . 漂下的距离最短时 , α角 最大。以 2v 的矢尖为圆心,以 1v 的大小为半径画圆,当 v 与圆相 切( 1v ⊥ v )时,α角最大。由 cosθ= 2 1 v v ,所以船头与河岸的夹角应为:θ =arccos( 2 1 v v ). 此时 小船航行的最短距离为: mins = θcos d = 1 2 v dv 。 C. 渡河速度最小(用于合速度方向确定时) 小船的合速度 v 方向(沿 OP 方向)已经确定,即α确定,水流的速度 2v 大小和方向是确定的,则 当 1v 的方向与 v 的方向垂直时, 1v 的值最小.这时 1v 与上游河岸的夹角θ=arccos( 2 1 v v ),小船渡河的 最小速度为 1v = 2v sinα。 (三)绳杆速度分解 解题关键 1. 准确判断谁是合运动,谁是分运动。绳(杆)拉物体的实际运动就是合运动。 2. 合运动可以分解为两个分运动,这两个分运动又以下规律: 分运动一:平行于绳(杆)的速度 分运动二:垂直与绳(杆)的速度 3. 沿着绳子(杆)的速度分量大小相等。 注意:速度的分解与合力的分解是不同的,不要混淆。 微信公众号:羊知道 二、 基础题型 (一)小船渡河 A. 最短时间问题 1. 一艘小船在 100m 宽的河中横渡到对岸,已知水流速度是 3m/s,小船在静水中的速度是 4m/s, 求: 欲使航行时间最短,船应该怎样渡河?最短时间是多少?渡河位移多大? 说明:当船头垂直河岸时,所用时间最短。 最短时间 mint = 2 d v = 4 100 s=25s 此时合速度 v= 2 2 2 1 vv  = 22 43  m/s=5m/s 此时航程 s=vt=5×25m=125m B. 最短路程问题 2. 一艘小船在 100m 宽的河中横渡到对岸,已知水流速度是 3m/s,小船在静水中的速度是 4m/s,求: 欲使航行时间最短,船应该怎样渡河?渡河时间多长? 说明:当船头指向斜上游,与岸夹角为θ时,合运动垂直河岸,航程最短,数值等于河宽 100 米。 则 cosθ= 2 1 v v = 4 3 合速度:v= 2 1 2 2 vv  = 22 3-4 m/s= 7 m/s 过河时间:t= v d = 7 100 s= 7 7100 s (二)关联速度模型 1. 如图所示,物块 A 通过光滑的定滑轮用细绳与圆环 B 相连,A 位于光 滑的水平桌面上,B 套在光滑的竖直杆上,当绳与水平方向的夹角为θ 时,A 的速度为 v,此时 B 的速度 u 为多少? 说明:B 的速度 u 为“实际速度”,即合速度,将 B 的速度分别沿绳的方向和垂直于 绳的方向进行分解,由图可得:u= th . 2. 在水面上方高 20m处,人用绳子通过定滑轮将水中的小船系 住,并以3m/s 的速度将绳子收短,开始时绳与水面夹角 30 角, 试求: (1)刚开始时小船的速度; 微信公众号:羊知道 ⑵5秒末小船速度的大小。 说明:(1)设船在Δt 内由A移到B,位移为Δ s ,取 OC=OB,则绳子缩短Δ , 绳子端点横向摆动Δ ,合位移Δ s 可以分解为Δ 和Δ 两个分位移.当Δt→0,Δ s →0,∠ACB→90°, 此时Δ =Δ s cos30°, Δ /Δt=Δ s /Δt·cos30°, 即 v = cos30°。 故 = ݋ = =2 =3.464m/s (2)开始时从定滑轮到船,绳子的长度 l=h/sin30°=20/0.5=40(m), 5 秒内绳子缩短了 3×5=15(m), 5 秒末绳长 l’变为 40-15=25(m), 此时 sin α′=20/25=0.8, α′=53 °. ∴v′= /cos53 °=3/0.6=5(m/s) 3. 在水平面上小车 A 通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块 ,小车 A 的速度为 V v =5m/s. 当细绳与水平方向的夹角分别为 30︒和 60 ︒时,物块的速度为多少? 说明:将 A、B 的速度 、 都分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解,在沿绳 的 方向上 A、B 的速度相等,即: COS30︒= cos60︒ 所以 =5 m/s. 4. 杆 OA 长为 R,可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动。其端点 A 系 着一跨过定滑轮 B、C 的不可伸长的轻绳 ,绳的另一端系一物块 M,滑轮的 半径可忽略,B 在 O 的正上方,OB 之间的距离为 H.某一时刻,当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为α时,杆的角速度为ω,求此时物块 M 的速率 . 说明:杆的端点 A 点绕 O 点做圆周运动,其速度 的方向与杆 OA 垂直,在所考察时其速 度大小为 : 对于速度 作如图所示的正交分解 ,即沿绳 BA 方 向和垂直于 BA 方向进行分解,沿绳方向的分量就是物块 的 速率 M,因为物块只有沿绳方向的速度,所以 ݋由正弦定理知, sin  ﹢ th 由以上各式得 th 微信公众号:羊知道 5. 如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的小车,通过定滑轮用绳子吊起一个物体,若 小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2,绳子对 物体的拉力为FT,物体所受重力为G,则下列说法正确的是 ( ) A.物体做匀速运动,且 v1=v2 B.物体做加速运动,且 v2>v1 C.物体做加速运动,且 FT>G D.物体做匀速运动,且 FT=G 答案 C 说明:把 v1 分解如图所示,v2=v1cos α,α变小,v2 变大,物体做加速运动,超重,FT>G, 选项 C 正确. 6. 人用绳子通过定滑轮拉物体 A,A 穿在光滑的竖直杆上,当以速度 v0 匀速地拉绳使物体 A 到达如图所示位置时,绳与竖直杆的夹角为θ, 则物体 A 实际运动的速度是( ) A.v0sin θ B. thC.v0cos θ D. 答案 D 解析 由运动的合成与分解可知,物体 A 参与两个分运动:一个是沿着与它相连接的绳 子的运动,另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体 A 实际运动轨迹是沿着竖直杆 向上的,这一轨迹所对应的运动就是物体 A 的合运动,它们之间的关系如图所示.由 几何关系可得 v= ݋ ,所以 D 项正确. 7. A、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上, 现物体 A 以 v1 的速度向右匀速运动,当绳被拉成与水平面夹角 分别为α、β时,如图所示.物体 B 的运动速度 vB 为(绳始终有拉 力) ( ) A.v1sin α/sin β B.v1cos α/sin β C.v1sin α/cos β D.v1cos α/cos β 答案 D 解析 A、B 两物体的速度分解如图. 微信公众号:羊知道 由图可知:v 绳 A=v1cos α v 绳 B=vBcos β 由于 v 绳 A=v 绳 B 所以 vB=v1cos α/cos β,故 D 对. 三、 拓展延伸 一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 匀速运动.在半圆柱体上搁 置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连 线与竖直方向的夹角为θ,求竖直杆运动的速度。 说明:将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解,令两物体沿弹力 方向的速度相等即可求出. 设竖直杆运动的速度为 ,方向竖直向上,由于弹力方向沿 OP 方向,所以 、 。在 OP 方向的投影相等,即 有 th ݋解得 th

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