高考情报所理综-【物理专题技巧】运动的合成与分解 6页

微信公众号：羊知道 旸知教育高考情报所·理综专题 运动的合成与分解 刘乐瑶 2019 年 11 月 14 日 一、 基础知识 (一)运动类型 (二)小船过河 A. 渡河时间最短 船头与河岸垂直时，渡河时间最短。 原理：小船在垂直河岸方向的分运动的位移 y=d,再根据 y= 1v sinθ·t,解得渡河所需时间为 t= θsin· d 1v , 可以看出：在 d、 1v 一定时，t 随 sinθ的增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大），所以，船头与船岸 垂直时，渡河时间最短，且为： 1 mint v d 。 B. 渡河位移最短 设小船渡河的实际位移为 s，由运动的合成可知 s= 22 yx  ,而 y 方向的位移为定值 d,则当 x=0 时, mins =d,此时 xv = 2v - 1v .cosθ=0,因为 0≤cosθ≤1,故必须有 2v ﹤ 1v ,此结论才能成立. 微信公众号：羊知道 1. 下面分两种情况来探究 : 若 1v ﹥ 2v . 小船渡河最小位移为河宽 d,小船的合速度方向与河岸垂直，则有 x=( 2v - 1v .cos θ )t=0 解得 cosθ= 1 2 v v ， 所以当 θ=arccos       1 2 v v 时 , mins =d. 2. 若 1v < 2v , 则不论船速方向如何，总被水流冲向下游 . 设船速 v与上游河岸成角 , 合速度与下游河岸成 α 角 . 漂下的距离最短时 , α角 最大。以 2v 的矢尖为圆心，以 1v 的大小为半径画圆，当 v 与圆相 切（ 1v ⊥ v ）时，α角最大。由 cosθ= 2 1 v v ，所以船头与河岸的夹角应为：θ =arccos( 2 1 v v ). 此时 小船航行的最短距离为： mins = θcos d = 1 2 v dv 。 C. 渡河速度最小（用于合速度方向确定时） 小船的合速度 v 方向（沿 OP 方向）已经确定，即α确定，水流的速度 2v 大小和方向是确定的，则 当 1v 的方向与 v 的方向垂直时， 1v 的值最小.这时 1v 与上游河岸的夹角θ=arccos( 2 1 v v ),小船渡河的 最小速度为 1v = 2v sinα。 (三)绳杆速度分解 解题关键 1. 准确判断谁是合运动，谁是分运动。绳（杆）拉物体的实际运动就是合运动。 2. 合运动可以分解为两个分运动，这两个分运动又以下规律： 分运动一：平行于绳（杆）的速度 分运动二：垂直与绳（杆）的速度 3. 沿着绳子（杆）的速度分量大小相等。 注意：速度的分解与合力的分解是不同的，不要混淆。 微信公众号：羊知道 二、 基础题型 (一)小船渡河 A. 最短时间问题 1. 一艘小船在 100m 宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是 3m/s,小船在静水中的速度是 4m/s， 求： 欲使航行时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？渡河位移多大？ 说明：当船头垂直河岸时，所用时间最短。 最短时间 mint = 2 d v = 4 100 s=25s 此时合速度 v= 2 2 2 1 vv  = 22 43  m/s=5m/s 此时航程 s=vt=5×25m=125m B. 最短路程问题 2. 一艘小船在 100m 宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是 3m/s,小船在静水中的速度是 4m/s，求： 欲使航行时间最短，船应该怎样渡河？渡河时间多长？ 说明：当船头指向斜上游，与岸夹角为θ时，合运动垂直河岸，航程最短，数值等于河宽 100 米。 则 cosθ= 2 1 v v = 4 3 合速度：v= 2 1 2 2 vv  = 22 3-4 m/s= 7 m/s 过河时间：t= v d = 7 100 s= 7 7100 s (二)关联速度模型 1. 如图所示，物块 A 通过光滑的定滑轮用细绳与圆环 B 相连，A 位于光 滑的水平桌面上，B 套在光滑的竖直杆上，当绳与水平方向的夹角为θ 时，A 的速度为 v，此时 B 的速度 u 为多少？ 说明：B 的速度 u 为“实际速度”，即合速度，将 B 的速度分别沿绳的方向和垂直于 绳的方向进行分解，由图可得：u= th . 2. 在水面上方高 20ｍ处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系 住，并以３m/s 的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角 30 角， 试求： (1)刚开始时小船的速度； 微信公众号：羊知道 ⑵５秒末小船速度的大小。 说明：(1)设船在Δt 内由Ａ移到Ｂ，位移为Δ s ，取 OC＝OB，则绳子缩短Δ ， 绳子端点横向摆动Δ ，合位移Δ s 可以分解为Δ 和Δ 两个分位移．当Δt→０，Δ s →０，∠ACB→90°， 此时Δ ＝Δ s cos30°， Δ ／Δt＝Δ s ／Δt·cos30°， 即 v ＝ cos30°。 故 = ݋ = =2 =3.464m/s (2)开始时从定滑轮到船,绳子的长度 l=h/sin30°=20/0.5=40(m), 5 秒内绳子缩短了 3×5=15(m), 5 秒末绳长 l’变为 40-15=25(m), 此时 sin α′=20/25=0.8, α′=53 °. ∴v′= /cos53 °=3/0.6=5(m/s) 3. 在水平面上小车 A 通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块 ，小车 A 的速度为 V v =5m／s． 当细绳与水平方向的夹角分别为 30︒和 60 ︒时，物块的速度为多少? 说明：将 A、B 的速度 、 都分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，在沿绳 的 方向上 A、B 的速度相等，即： COS30︒= cos60︒ 所以 =5 m／s． 4. 杆 OA 长为 R，可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动。其端点 A 系 着一跨过定滑轮 B、C 的不可伸长的轻绳 ，绳的另一端系一物块 M,滑轮的 半径可忽略，B 在 O 的正上方,OB 之间的距离为 H．某一时刻,当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块 M 的速率 . 说明：杆的端点 A 点绕 O 点做圆周运动,其速度 的方向与杆 OA 垂直,在所考察时其速 度大小为 ： 对于速度 作如图所示的正交分解 ，即沿绳 BA 方 向和垂直于 BA 方向进行分解,沿绳方向的分量就是物块 的 速率 M，因为物块只有沿绳方向的速度，所以 ݋由正弦定理知, sin  ﹢ th 由以上各式得 th 微信公众号：羊知道 5. 如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若 小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，绳子对 物体的拉力为FT，物体所受重力为G，则下列说法正确的是 ( ) A．物体做匀速运动，且 v1＝v2 B．物体做加速运动，且 v2>v1 C．物体做加速运动，且 FT>G D．物体做匀速运动，且 FT＝G 答案 C 说明：把 v1 分解如图所示，v2＝v1cos α，α变小，v2 变大，物体做加速运动，超重，FT>G， 选项 C 正确． 6. 人用绳子通过定滑轮拉物体 A，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度 v0 匀速地拉绳使物体 A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ， 则物体 A 实际运动的速度是( ) A．v0sin θ B. thC．v0cos θ D. 答案 D 解析 由运动的合成与分解可知，物体 A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳 子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体 A 实际运动轨迹是沿着竖直杆 向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体 A 的合运动，它们之间的关系如图所示．由 几何关系可得 v＝ ݋ ，所以 D 项正确． 7. A、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上， 现物体 A 以 v1 的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角 分别为α、β时，如图所示．物体 B 的运动速度 vB 为(绳始终有拉 力) ( ) A．v1sin α/sin β B．v1cos α/sin β C．v1sin α/cos β D．v1cos α/cos β 答案 D 解析 A、B 两物体的速度分解如图． 微信公众号：羊知道 由图可知：v 绳 A＝v1cos α v 绳 B＝vBcos β 由于 v 绳 A＝v 绳 B 所以 vB＝v1cos α/cos β，故 D 对. 三、 拓展延伸 一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 匀速运动．在半圆柱体上搁 置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连 线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。 说明：将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力 方向的速度相等即可求出． 设竖直杆运动的速度为 ，方向竖直向上，由于弹力方向沿 OP 方向，所以 、 。在 OP 方向的投影相等，即 有 th ݋解得 th