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- 2021-05-24 发布
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2.1
怎样描述圆周运动
第
2
章
研究圆周运动
[
考纲下载
]
1.
知道什么是匀速圆周运动,知道它是变速运动
.
2.
记住线速度的定义式,理解线速度的大小、方向的特点
.
3.
记住角速度的定义式,知道周期、转速的概念
.
4.
理解并掌握
v
=
ωr
和
ω
=
2π
n
等公式
.
内容索引
重点探究
启迪思维 探究重点
达标检测
检测评价 达标过关
自主预习
预习新知 夯实基础
一、线速度
1.
定义:物体做圆周运动通过
的
与
通过这
段
所
用时间的比值
,
v
=
.
2.
意义:描述做圆周运动的
物体
的
快慢
.
3.
方向:线速度是矢量,方向沿着圆周
的
方向
.
4.
匀速圆周运动:沿着圆周运动,且在相等的时间里通过
的
相等
的运动
.
弧长
弧长
运动
切线
圆弧长度
二、角速度
1.
定义:物体做圆周运动时,连接它与圆心的半径转过
的
跟
所
用
时间
t
的比值
.
ω
=
.
2.
意义:描述物体做圆周运动
的
.
3.
单位:弧度每秒,符号
是
.
快慢
rad/s
角度
Δ
θ
三、周期和转速
1.
周期
T
:物体沿圆周运动一周
的
,
单位
为
.
周期与角速度的关系:
ω
=
.
2.
转速
n
:物体在单位时间内完成圆周运动
的
,
单位
为
或
.
时间
秒
(s)
圈数
每秒
(s
-
1
)
转每分
(r/min)
四、角速度与线速度的
关系
v
=
.
ωR
[
即学即用
]
1.
判断下列说法的正误
.
(1)
匀速圆周运动是一种匀速运动
.( )
(2)
做匀速圆周运动的物体,相同时间内的位移相同
.( )
(3)
做匀速圆周运动的物体,其线速度不变
.( )
(4)
做匀速圆周运动的物体,其角速度大小不变
.( )
(5)
做匀速圆周运动的物体,周期越大,角速度越小
.( )
答案
×
×
√
√
×
2.
A
、
B
两个质点,分别做匀速圆周运动,在相等时间内它们通过的弧长之比
s
A
∶
s
B
=
2
∶
3
,转过的圆心角之比
θ
A
∶
θ
B
=
3
∶
2
,那么它们的线速度大小之比
v
A
∶
v
B
=
______
,角速度大小之比
ω
A
∶
ω
B
=
______.
答案
2
∶
3
3
∶
2
解析
重点探究
[
导学探究
]
如图
1
所示为自行车的车轮,
A
、
B
为辐条上的两点,当它们随轮一起转动时,回答下列问题
:
(1)
A
、
B
两点的速度各沿什么方向
?
一、线速度和匀速圆周运动
图
1
答案
两
点的速度均沿各自圆周的切线方向
.
答案
(2)
如果
B
点在任意相等的时间内转过的弧长相等,
B
点做匀速运动吗?
答案
B
运动的方向时刻变化,故
B
做非匀速运动
.
(3)
匀速圆周运动的线速度是不变的吗?匀速圆周运动的
“
匀速
”
同
“
匀速直线运动
”
的
“
匀速
”
一样吗?
答案
质点做匀速圆周运动时,线速度的大小不变,
方
向
时刻在变化,因此,匀速圆周运动只是速率不变,
是
变速
曲线运动
.
而
“
匀速直线运动
”
中的
“
匀速
”
指的是速度不变,是大小、方向都不变,二者并不相同
.
(4)
A
、
B
两点哪个运动得快?
答案
B
运动得快
.
答案
[
知识深化
]
1.
对线速度的理解
(1)
线速度是物体做圆周运动的瞬时速度,线速度越大,物体运动得越快
.
(2)
线速度是矢量,它既有大小,又有方向,线速度的方向在圆周各点的切线方向上
.
(3)
线速度的大小:
v
=
,
s
代表在时间
t
内通过的弧长
.
2.
对匀速圆周运动的理解
(1)
匀中有变:由于匀速圆周运动是曲线运动,其速度方向沿着圆周的切线方向,所以物体做匀速圆周运动时,速度的方向时刻在变化
.
(2)
匀速的含义:
①
速度的大小不变,即速率不变;
②
转动快慢不变,即角速度大小不变
.
(3)
运动性质:
线速度的方向时刻改变,所以匀速圆周运动是一种变速运动
.
例
1
(
多选
)
某质点绕圆轨道做匀速圆周运动,下列说法中正确的是
A.
因为它的速度大小始终不变,所以它做的是匀速运动
B.
该质点速度大小不变,但方向时刻改变,是变速运动
C.
该质点速度大小不变,因而加速度为零,处于平衡状态
D.
该质点做的是变速运动,具有加速度,故它所受合力不等于零
√
答案
√
[
导学探究
]
如图
2
所示,钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动
.
(1)
秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗?如何比较它们转动的快慢
?
图
2
二、角速度、周期和转速
答案
不相同
.
根据角速度公式
ω
=
知
,在相同的时间内,秒针转过的角度最大,时针转过的角度最小,所以秒针转得最快
.
(2)
秒针、分针和时针的周期分别是多大?
答案
秒针周期为
60 s
,分针周期为
60 min
,时针周期为
12
h.
答案
[
知识深化
]
1.
对角速度的理解
(1)
角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢,角速度越大,物体转动得越快
.
(2)
角速度的大小:
ω
=
,
Δ
θ
代表在时间
t
内物体与圆心的连线转过的角度
.
(3)
在匀速圆周运动中,角速度大小不变
.
2.
对周期和频率
(
转速
)
的理解
(1)
周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点
——
时间周期性
.
其具体含义是:描述匀速圆周运动的一些变化的物理量,每经过一个周期时,大小和方向与初始时刻完全相同,如线速度等
.
(2)
当单位时间取
1 s
时,
f
=
n
.
频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的,但频率具有更广泛的意义,两者的单位也不相同
.
例
2
(
多选
)
一精准转动的机械钟表,下列说法正确的是
A.
秒针转动的周期最长
B.
时针转动的转速最小
C.
秒针转动的角速度最大
解析
√
答案
解析
秒针转动的周期最短,角速度最大,
A
错误,
C
正确;
时针转动的周期最长,转速最小,
B
正确
;
√
√
[
导学探究
]
线速度、角速度、周期都是用来描述圆周运动快慢的物理量,它们的物理含义不同,但彼此间却相互联系
.
(1)
线速度与周期及转速的关系是什么?
三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
答案
物体转动一周的弧长
s
=
2π
R
,转动一周所用时间为
t
=
T
,
(2)
角速度与周期及转速的关系是什么?
答案
物体转动一周转过的角度为
Δ
θ
=
2π
,用时为
T
,
答案
(3)
线速度与角速度什么关系?
答案
v
=
ωR
.
答案
[
知识深化
]
1.
描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
(3)
v
=
ωR
2.
描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)
角速度、周期、转速之间关系的理解:物体做匀速圆周运动时,由
ω
=
=
2π
n
知
,角速度、周期、转速三个物理量,
只要其中一个物理量确定了,其余两个物理量也确定了
.
(2)
线速度与角速度之间关系的理解:由
v
=
ωR
知,
R
一定时,
v
∝
ω
;
v
一定时,
ω
∝
;
ω
一定时,
v
∝
R
.
例
3
做匀速圆周运动的物体,
10 s
内沿半径为
20 m
的圆周运动
100 m
,试求物体做匀速圆周运动时:
(1)
线速度的大小;
解析
答案
答案
10
m/s
(2)
角速度的大小;
解析
答案
答案
0.5
rad/s
(3)
周期的大小
.
答案
4π
s
针对训练
1
一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为
4 m/s
,转动周期为
2 s
,下列说法中不正确的是
A.
角速度为
0.5 rad/s
B.
转速为
0.5 r/s
C.
运动轨迹的半径约为
1.27 m
D.
频率为
0.5 Hz
解析
√
答案
解析
由题意知
v
=
4 m/s
,
T
=
2 s
,
[
导学探究
]
如图
3
为两种传动装置的模型图
.
(1)
甲图为皮带传动装置,试分析
A
、
B
两
点的
线速度及角速度关系
.
四、同轴转动和皮带传动问题
答案
皮带传动时,在相同的时间内,
A
、
B
两点通过的弧长相等,所以两点的线速度大小相同,又
v
=
Rω
,当
v
一定时,角速度与半径成反比,半径大的角速度小,即
v
A
=
v
B
,
ω
A
<
ω
B
.
图
3
答案
(2)
乙图为同轴转动装置,试分析
A
、
C
两点的角速度及线速度关系
.
答案
同轴转动时,在相同的时间内,
A
、
C
两点转过的角度相等,所以这两点的角速度相同,又因为
v
=
Rω
,当
ω
一定时,线速度与半径成正比,半径大的线速度大,即
ω
A
=
ω
C
,
v
A
>
v
C
.
答案
[
知识深化
]
常见的传动装置及其特点
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A
、
B
两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接
(
皮带不打滑
)
,
A
、
B
两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合,
A
、
B
两点分别是两个齿轮边缘上的点
例
4
(
多选
)
如图
4
所示的传动装置中,
B
、
C
两轮固定在一起绕同一轴转动,
A
、
B
两轮用皮带传动,三个轮的半径关系是
r
A
=
r
C
=
2
r
B
.
若皮带不打滑,则
A
、
B
、
C
三轮边缘上
a
、
b
、
c
三点的
A.
角速度之比为
1
∶
2
∶
2
B.
角速度之比为
1
∶
1
∶
2
C.
线速度大小之比为
1
∶
2
∶
2
D.
线速度大小之比为
1
∶
1
∶
2
图
4
解析
√
答案
√
解析
A
、
B
两轮通过皮带传动,皮带不打滑,则
A
、
B
两轮边缘的线速度大小相等,
B
、
C
两轮固定在一起绕同一轴转动,则
B
、
C
两轮的角速度相等
.
a
、
b
比较:
v
a
=
v
b
由
v
=
ωR
得,
ω
a
∶
ω
b
=
R
B
∶
R
A
=
1
∶
2
b
、
c
比较:
ω
b
=
ω
c
由
v
=
ωR
得,
v
b
∶
v
c
=
r
B
∶
r
C
=
1
∶
2
所以
ω
a
∶
ω
b
∶
ω
c
=
1
∶
2
∶
2
v
a
∶
v
b
∶
v
c
=
1
∶
1
∶
2
故
A
、
D
正确
.
传动问题是圆周运动部分的一种常见题型,在分析此类问题时,关键是要明确什么量相等,什么量不等,在通常情况下,应抓住以下两个关键点:
(1)
绕同一轴转动的各点角速度
ω
、转速
n
和周期
T
相等,而各点的线速度
v
=
ωR
与半径
R
成正比;
(2)
链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等,不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等,而角速度
ω
=
与
半径
R
成反比
.
规律总结
针对训练
2
(
多选
)
如图
5
所示为一种齿轮传动装置,忽略齿轮啮合部分的厚度,甲、乙两个轮子的半径之比为
1
∶
3
,则在传动的
过程
中
A.
甲、乙两轮的角速度之比为
3
∶
1
B.
甲、乙两轮的周期之比为
3
∶
1
C.
甲、乙两轮边缘处的线速度之比为
3
∶
1
D.
甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为
1
∶
1
解析
√
答案
图
5
√
解析
这种齿轮传动,与不打滑的皮带传动规律相同,即两轮边缘的线速度相等,故
C
错误
;
根据
线速度的定义
v
=
可知
,弧长
s
=
v
t
,故
D
正确;
根据
v
=
ωR
可知
ω
=
,
又甲、乙两个轮子的半径之比
R
1
∶
R
2
=
1
∶
3
,故甲、乙两轮的角速度之比
ω
1
∶
ω
2
=
R
2
∶
R
1
=
3
∶
1
,故
A
正确;
周期
T
=
,
所以甲、乙两轮的周期之比
T
1
∶
T
2
=
ω
2
∶
ω
1
=
1
∶
3
,故
B
错误
.
达标检测
1.
(
对匀速圆周运动的认识
)
对于做匀速圆周运动的物体,下列说法中不正确的是
A.
相等的时间内通过的路程相等
B.
相等的时间内通过的弧长相等
C.
相等的时间内通过的位移相同
D.
在任何相等的时间内,连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
√
解析
匀速圆周运动的线速度、角速度大小不变,因此在相等时间内通过的路程相等、弧长相等、转过的角度也相等,
A
、
B
、
D
项正确;
相等时间内通过的位移大小相等,方向不一定相同,故
C
项错误
.
1
2
3
4
答案
解析
2.
(
描述圆周运动各量的关系
)
关于做匀速圆周运动的物体,下列说法正确的是
A.
因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等,所以线速度恒定
B.
如果物体在
0.1 s
内转过
30°
角,则角速度为
300 rad/s
C.
若半径
R
一定,则线速度与角速度成反比
D.
若半径为
R
,周期为
T
,则线速度为
v
=
答案
√
解析
1
2
3
4
解析
物体做匀速圆周运动时,线速度大小恒定,方向沿圆周的切线方向,在不断地改变,故选项
A
错误;
1
2
3
4
线速度与角速度的关系为
v
=
ωR
,由该式可知,
R
一定时,
v
∝
ω
,选项
C
错误;
3.
(
传动问题
)
如图
6
所示是自行车传动结构的示意图,其中
A
是半径为
r
1
的大齿轮,
B
是半径为
r
2
的小齿轮,
C
是半径为
r
3
的后轮,假设脚踏板的转速为
n
r/s
,则自行车前进的速度为
图
6
√
1
2
3
4
答案
解析
4.
(
圆周运动的周期性
)
如图
7
所示,半径为
R
的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,其正上方
h
处沿
OB
方向水平抛出一小球,不计空气阻力,重力加速度为
g
,要使球与盘只碰一次,且落点为
B
,求小球的初速度及圆盘转动的角速度
ω
的大小
.
解析
答案
1
2
3
4
图
7
解析
设球在空中运动时间为
t
,此过程中圆盘转过
θ
角,
1
2
3
4
θ
=
n
·2π(
n
=
1
,
2
,
3
…
)
又因为
θ
=
ωt