【物理】2019届一轮复习粤教版电磁感应中的动力学和能量问题学案 19页

能力课2　电磁感应中的动力学和能量问题 ‎　[热考点]电磁感应中的动力学问题 ‎1.两种状态及处理方法 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析 ‎2.电学对象与力学对象的转换及关系 命题角度1　导体棒处于静止状态 ‎【例1】　（2017·天津理综，3）如图1所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是（　　）‎ 图1‎ A.ab中的感应电流方向由b到a B.ab中的感应电流逐渐减小 C.ab所受的安培力保持不变 D.ab所受的静摩擦力逐渐减小 解析　导体棒ab、电阻R、导轨构成闭合回路，磁感应强度均匀减小（＝k为一定值），则闭合回路中的磁通量减小，根据楞次定律，可知回路中产生顺时针方向的感应电流，ab中的电流方向由a到b，故选项A错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝＝＝kS，回路面积S不变，即感应电动势为定值，根据闭合电路欧姆定律I＝，所以ab中的电流大小不变，故选项B错误；安培力F＝BIL，电流大小不变，磁感应强度减小，则安培力减小，故选项C错误；导体棒处于静止状态，所受合力为零，对其受力分析，水平方向静摩擦力f与安培力F等大反向，安培力减小，则静摩擦力减小，故选项D正确。‎ 答案　D 命题角度2　导体棒做匀速运动 ‎【例2】　（多选）一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图2所示，磁感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升（导体棒ab、cd与导轨接触良好），此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是（　　）‎ 图2‎ A.ab受到的拉力大小为2 N B.ab向上运动的速度为2 m/s C.在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能 D.在2 s内，拉力做功为0.6 J 解析　对导体棒cd分析：mg＝BIl＝，得v＝2 m/s，故选项B正确；对导体棒ab分析：F＝mg＋BIl＝0.2 N，选项A错误；在2 s内拉力做功转化为ab棒的重力势能和电路中的电能，电能等于克服安培力做的功，即W电＝F安vt＝＝0.4 J，选项C正确；在2 s内拉力做的功为W拉＝Fvt＝0.8 J，选项D错误。‎ 答案　BC 命题角度3　变加速直线运动问题 ‎【例3】　如图3，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d（d＞L）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动。t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列v－t图象中，可能正确描述上述过程的是（　　）‎ 图3‎ 解析　导线框开始进入磁场过程，通过导线框的磁通量增大，有感应电流，进而受到与运动方向相反的安培力作用，速度减小，感应电动势减小，感应电流减小，安培力减小，导线框的加速度减小，v－t图线的斜率减小；导线框全部进入磁场后，磁通量不变，无感应电流，导线框做匀速直线运动；导线框从磁场中出来的过程，有感应电流，又会受到安培力阻碍作用，速度减小，加速度减小。选项D正确。‎ 答案　D 用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：‎ ‎　　　　　　‎ ‎【变式训练1】　足够长的平行金属导轨MN和PQ表面粗糙，与水平面间的夹角为θ＝37°（sin 37°＝0.6），间距为1 m。垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度的大小为4 T，P、M间所接电阻的阻值为8 Ω。质量为2 kg的金属杆ab垂直导轨放置，不计杆与导轨的电阻，杆与导轨间的动摩擦因数为0.25。金属杆ab在沿导轨向下且与杆垂直的恒力F作用下，由静止开始运动，杆的最终速度为8 m/s，取g＝10 m/s2，求：‎ 图4‎ ‎（1）当金属杆的速度为4 m/s时，金属杆的加速度大小；‎ ‎（2）当金属杆沿导轨的位移为6.0 m时，通过金属杆的电荷量。‎ 解析　（1）对金属杆ab应用牛顿第二定律，有 F＋mgsin θ－F安－f＝ma f＝μFN FN＝mgcos θ ab杆所受安培力大小为F安＝BIL ab杆切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv 由闭合电路欧姆定律可知I＝ 整理得：F＋mgsin θ－v－μmgcos θ＝ma 代入vm＝8 m/s时a＝0，解得F＝8 N 代入v＝4 m/s及F＝8 N，解得a＝4 m/s2‎ ‎（2）设通过回路横截面的电荷量为q，则q＝It 回路中的平均电流强度为I＝ 回路中产生的平均感应电动势为E＝ 回路中的磁通量变化量为ΔΦ＝BLs 联立解得q＝3 C 答案　（1）4 m/s2　（2）3 C ‎　[热考点]电磁感应中的能量问题 ‎1.电磁感应中的能量转化 ‎2.求解焦耳热Q的三种方法 命题角度1　电磁感应现象与能量守恒定律的综合 ‎【例4】　如图5所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m，导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN。Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg、电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：‎ 图5‎ ‎（1）cd下滑的过程中，ab中的电流方向；‎ ‎（2）ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大？‎ ‎（3）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离s＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少？‎ 解析　（1）由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c，则ab中电流方向为由a流向b。‎ ‎（2）开始放置时ab刚好不下滑，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为fmax，有fmax＝m1gsin θ①‎ 设ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv②‎ 设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有 I＝③‎ 设ab所受安培力为F安，有F安＝BIL④‎ 此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F安＝m1gsin θ＋fmax⑤‎ 综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5 m/s ‎（3）设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒定律有m2gssin θ＝Q总＋m2v2‎ 又Q＝Q总 解得Q＝1.3 J 答案　（1）由a流向b　（2）5 m/s　（3）1.3 J 解电磁感应现象中的能量问题的一般步骤 ‎（1）在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。‎ ‎（2）分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。‎ ‎（3）根据能量守恒列方程求解。　　　　　　‎ 命题角度2　电磁感应现象与动量守恒定律的综合 ‎【例5】　如图6所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成，其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°。求：‎ 图6‎ ‎（1）ab棒在N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？‎ ‎（2）cd棒能达到的最大速度是多大？‎ ‎（3）cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？‎ 解析　（1）ab棒由M下滑到N过程中机械能守恒，故 mgR（1－cos 60°）＝mv2‎ 解得v＝。‎ 进入磁场区瞬间，回路中电流强度 I＝＝。‎ ‎（2）ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，cd达到最大速度。运用动量守恒定律得mv＝（2m＋m）v′‎ 解得v′＝。‎ ‎（3）系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，‎ 故Q＝mv2－·3mv′2，‎ 解得Q＝mgR。‎ 答案　（1）　　（2）　（3）mgR ‎【变式训练2】　（2018·河北五名校联盟二模）如图7所示，MN、PQ两平行光滑水平导轨分别与半径r＝0.5 m 的相同竖直半圆导轨在N、Q端平滑连接，M、P端连接定值电阻R，质量M＝2 kg的cd绝缘杆垂直且静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场。现有质量m＝1 kg的ab金属杆以初速度v0＝12 m/s水平向右运动，与cd绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计除R以外的其他电阻和摩擦，ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2，（不考虑cd杆通过半圆导轨最高点以后的运动）求：‎ 图7‎ ‎（1）cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时的速度大小v；‎ ‎（2）电阻R产生的焦耳热Q。‎ 解析　（1）cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时，‎ 由牛顿第二定律有Mg＝M 解得v＝ m/s。‎ ‎（2）发生正碰后cd绝缘杆滑至最高点的过程中，由动能定理有 ‎－Mg·2r＝Mv2－Mv，‎ 解得碰撞后cd绝缘杆的速度v2＝5 m/s，‎ 两杆碰撞过程中动量守恒，有 mv0＝mv1＋Mv2，‎ 解得碰撞后ab金属杆的速度v1＝2 m/s，‎ ab金属杆进入磁场后由能量守恒定律有mv＝Q，‎ 解得Q＝2 J。‎ 答案　（1） m/s　（2）2 J ‎“杆＋导轨”模型 ‎[题源：粤教版选修3－2·P35·T9]‎ 如图1－9所示，水平U形光滑框架的宽度为1 m，电阻忽略不计，导体ab的质量是0.2 kg，电阻是0.1 Ω，匀强磁场的磁感应强度B＝0.1 T，方向垂直框架向上。现用1 N的外力F由静止拉动ab杆，当ab的速度达到1 m/s时，求此时ab杆产生的感应电动势的大小和加速度的大小。‎ 图1－9‎ 拓展1　如图8所示，两平行的光滑导轨固定在同一水平面内，两导轨间距离为L，金属棒ab垂直于导轨，金属棒两端与导轨接触良好，在导轨左端接入阻值为R的定值电阻，整个装置处于竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。与R相连的导线、导轨和金属棒的电阻均可忽略不计。用平行于导轨向右的大小为F的力拉金属棒，使金属棒以大小为v的速度向右匀速运动，下列说法正确的是（　　）‎ 图8‎ A.金属棒ab相当于电源，其a端相当于电源负极 B.拉力F＝ C.回路中的感应电流沿顺时针方向流动 D.定值电阻消耗的电功率P＝Fv 解析　用平行于导轨向右的恒力拉金属棒，使金属棒向右匀速运动，ab棒相当于电源，由右手定则知，电流方向由b―→a，在电源内部电流由低电势流向高电势，所以a端相当于电源的正极，回路中的感应电流沿逆时针方向，选项A、C错误；由于金属棒匀速运动，所以F＝F安，根据法拉第电磁感应定律知F安＝BIL＝ ‎，而定值电阻消耗的功率为安培力的功率，也等于拉力的功率，选项B、D正确。‎ 答案　BD 拓展2　（2016·全国卷Ⅱ，24）如图9，水平面（纸面）内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上，t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求 图9‎ ‎（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；‎ ‎（2）电阻的阻值。‎ 解析　（1）设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得 F－μmg＝ma①‎ 设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有 v＝at0②‎ 当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为 E＝Blv③‎ 联立①②③式可得 E＝Blt0（－μg）④‎ ‎（2）设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律 I＝⑤‎ 式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为 F安＝BlI⑥‎ 因金属杆做匀速运动，有 F－μmg－F安＝0⑦‎ 联立④⑤⑥⑦式得 R＝⑧‎ 答案　（1）Blt0（－μg）　（2） 拓展3　（2017·江苏单科，13）如图10所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：‎ 图10‎ ‎（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；‎ ‎（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；‎ ‎（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。‎ 解析　（1）感应电动势E＝Bdv0‎ 感应电流I＝，解得I＝ ‎（2）安培力F＝BId 牛顿第二定律F＝ma，解得a＝ ‎（3）金属杆切割磁感线的速度v′＝v0－v，则 感应电动势E′＝Bd（v0－v）‎ 电功率P＝ 解得P＝ 答案　（1）　（2）　（3） 活页作业 ‎（时间：40分钟）‎ ‎►题组一　电磁感应中的动力学问题 ‎1.（多选）如图1所示，足够长的光滑导轨倾斜放置，导轨宽度为L，其下端与电阻R连接。导体棒ab电阻为r，导轨和导线电阻不计，匀强磁场竖直向上。若导体棒ab以一定初速度v下滑，则关于ab棒的下列说法正确的是（　　）‎ 图1‎ A.所受安培力方向水平向右 B.可能以速度v匀速下滑 C.刚下滑的瞬间ab棒产生的感应电动势为BLv D.减少的重力势能等于电阻R上产生的内能 解析　导体棒ab以一定初速度v下滑，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，由右手定则可判断出电流方向为从b到a，由左手定则可判断出ab棒所受安培力方向水平向右，选项A正确；当mgsin θ＝BILcos θ时，ab棒沿导轨方向合外力为零，则以速度v匀速下滑，选项B正确；由于速度方向与磁场方向夹角为（90°＋θ），刚下滑的瞬间ab棒产生的感应电动势为E＝BLvcos θ，选项C错误；由能量守恒定律知，ab棒减少的重力势能不一定等于电阻R上产生的内能，选项D错误。‎ 答案　AB ‎2.如图2所示，在水平面内固定着U形光滑金属导轨，轨道间距为50 cm，金属导体棒ab质量为0.1 kg，电阻为0.2 Ω，横放在导轨上，电阻R的阻值是0.8 Ω（导轨其余部分电阻不计）。现加上竖直向下的磁感应强度为0.2 T的匀强磁场。用水平向右的恒力F＝0.1 N拉动ab，使其从静止开始运动，则（　　）‎ 图2‎ A.导体棒ab开始运动后，电阻R中的电流方向是从P流向M B.导体棒ab运动的最大速度为10 m/s C.导体棒ab开始运动后，a、b两点的电势差逐渐增加到1 V 后保持不变 D.导体棒ab开始运动后任一时刻，F的功率总等于导体棒ab和电阻R的发热功率之和 解析　由右手定则可判断电阻R中的感应电流方向是从M流向P，选项A错误；当金属导体棒受力平衡时，其速度将达到最大值，由F＝BIL，I＝＝可得F＝，代入数据解得vm＝10 m/s，选项B正确；感应电动势的最大值Em＝1 V，a、b两点的电势差为路端电压，最大值小于1 V，选项C错误；在达到最大速度以前，F所做的功一部分转化为内能，另一部分转化为导体棒的动能，选项D错误。‎ 答案　B ‎3.（多选）如图3两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好。现在同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则（　　）‎ 图3‎ A.金属棒ab一直加速下滑 B.金属棒ab最终可能匀速下滑 C.金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势 D.带电微粒可能先向N板运动后向M板运动 解析　根据牛顿第二定律有mgsin θ－BIl＝ma，而I＝，Δq＝CΔU，ΔU＝BlΔv，Δv＝aΔt，联立解得a＝，因而金属棒将做匀加速运动，选项A正确，B错误；ab棒切割磁感线，相当于电源，a端相当于电源正极，因而M板带正电，N板带负电，选项C正确；若带电粒子带负电，在重力和电场力的作用下，先向下运动然后再反向向上运动，选项D正确。‎ 答案　ACD ‎4.（多选）如图4所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒（长度均为0.4 m）ab、cd分别垂直于导轨放置，并使每棒两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T，当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止。（g＝10 m/s2），则（　　）‎ 图4‎ A.F的大小为0.5 N B.金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V C.ab棒两端的电压为1.0 V D.ab棒的速度为5.0 m/s 解析　对于cd棒有mgsin θ＝BIL，解得回路中的电流I＝2.5 A，所以回路中的感应电动势E＝2IR＝1.0 V，选项B正确；Uab＝IR＝0.5 V，选项C错误；对于ab棒有F＝BIL＋mgsin θ，解得F＝1.0 N，选项A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得v＝5.0 m/s，选项D正确。‎ 答案　BD ‎5.如图5甲，在水平桌面上固定着两根相距L＝20 cm、相互平行的无电阻轨道P、Q，轨道一端固定一根电阻R＝0.02 Ω 的导体棒a，轨道上横置一根质量m＝40 g、电阻可忽略不计的金属棒b，两棒相距也为L＝20 cm。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。开始时，磁感应强度B0＝0.1 T。设棒与轨道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。‎ 图5‎ ‎（1）若保持磁感应强度B0的大小不变，从t＝0时刻开始，给b棒施加一个水平向右的拉力，使它由静止开始做匀加速直线运动。此拉力F的大小随时间t变化关系如图乙所示。求b棒做匀加速运动的加速度及b棒与轨道间的滑动摩擦力；‎ ‎（2）若从t＝0开始，磁感应强度B随时间t按图丙中图象所示的规律变化，求在金属棒b开始运动前，这个装置释放的热量。‎ 解析　（1）F安＝B0IL①‎ E＝B0Lv②‎ I＝＝③‎ v＝at④‎ 所以F安＝t 当b棒匀加速运动时，根据牛顿第二定律有 F－f－F安＝ma⑤‎ 联立可得F－f－t＝ma⑥‎ 由图象可得：当t＝0时，F＝0.4 N，‎ 当t＝1 s时，F＝0.5 N。‎ 代入⑥式，可解得a＝5 m/s2，f＝0.2 N。‎ ‎（2）当磁感应强度均匀增大时，闭合电路中有恒定的感应电流I。以b棒为研究对象，它受到的安培力逐渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到b所受安培力F安′与最大静摩擦力f相等时开始滑动 感应电动势E′＝L2＝0.02 V⑦‎ I′＝＝1 A⑧‎ 棒b将要运动时，有F安′＝BtI′L＝f⑨‎ 所以Bt＝1 T，根据Bt＝B0＋t⑩‎ 得t＝1.8 s，回路中产生的焦耳热为Q＝I′2Rt＝0.036 J。‎ 答案　（1）5 m/s2　0.2 N　（2）0.036 J ‎►题组二　电磁感应中的能量问题 ‎6.（2017·江西省名校联盟教学质量检测）如图6所示，水平面上固定着两根相距L且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，铜棒a、b的长度均等于两导轨的间距、电阻均为R、质量均为m，铜棒平行地静止在导轨上且与导轨接触良好。现给铜棒a一个平行导轨向右的瞬时冲量I，关于此后的过程，下列说法正确的是（　　）‎ 图6‎ A.回路中的最大电流为 B.铜棒b的最大加速度为 C.铜棒b获得的最大速度为 D.回路中产生的总焦耳热为 解析　给铜棒a一个平行导轨的瞬时冲量I，此时铜棒a的速度最大，产生的感应电动势最大，回路中电流最大，每个棒受到的安培力最大，其加速度最大，I＝mv0，v0＝，铜棒a电动势E＝BLv0，回路电流I0＝＝，选项A错误；此时铜棒b受到安培力F＝BI0L，其加速度a＝＝，选项B正确；此后铜棒a做变减速运动，铜棒b做变加速运动，当二者达到共同速度时，铜棒b速度最大，据动量守恒，mv0＝2mv，铜棒b最大速度v＝，选项C错误；回路中产生的焦耳热Q＝mv－·2mv2＝，选项D错误。‎ 答案　B ‎7.（2017·宁夏银川模拟）如图7所示，相距为d的两条水平虚线之间有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，正方形线圈abec边长为L（L