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第4讲 万有引力与航天
构建网络·重温真题
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
2．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：G＝ma，得向心加速度a＝，G＝m，得线速度v＝ ，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。
3．(2017·全国卷Ⅱ)(多选) 如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案 CD
解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等。从P到M扫过的面积小于椭圆面积的，故所用时间小于，A错误；从Q到N阶段，只有万有引力做功，机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
4．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝
eq f(ω2L2r2,G)·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
5．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
6．(2019·天津高考)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
答案 A
解析 探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ ，A正确；由G＝m
知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝ ，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
7．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
8．(2019·全国卷Ⅰ)(多选) 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
命题特点：结合万有引力定律与牛顿运动定律，对天体的运动进行定性分析和定量计算，结合能量守恒，考查天体的运动及变轨问题，多以选择题形式出现。
思想方法：近似法、估算法、模型法。
高考考向1 天体质量和密度的估算
例1 我国已经发射了一百七十多个航天器。其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )
A．月球的质量可表示为
B．组合体与月球运转的线速度比值为
C．地球的密度可表示为
D．组合体的向心加速度可表示为2g
(1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球质量吗？
提示：不能。月球是环绕天体，只能求中心天体(地球)的质量。
(2)距地面的高度为h的圆形轨道的半径为多少？
提示：R＋h。
[解析] 由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G＝m，解得v＝，则组合体与月球运转的线速度比值为，B错误；对于组合体，由G＝m·(R＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR3，整理解得ρ＝＝，C正确；由G＝ma，G＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝2g，D错误。
[答案] C
估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区
(1)两条思路
①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算
由G＝mg天体得M＝，再由ρ＝，V＝πR3得ρ＝。
②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G＝mr得M＝，再结合ρ＝，V＝πR3得ρ＝，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝。
(2)三个常见误区
①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。
③在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg天体。
1．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面“赤道”处一物块质量为m，根据天体运动规律知：≥m()2R，ρ＝＝，联立并代入数据可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
2．(2019·山东滨州二模)2019年4月11日21时黑洞视界望远镜合作组织(ETE)宣布了近邻巨椭圆星系M87中心捕获的首张黑洞图像，提供了黑洞存在的直接“视觉”证据，验证了1915年爱因斯坦的伟大预言。一种理论认为，整个宇宙很可能是个黑洞，如今可观测宇宙的范围膨胀到了半径465亿光年的规模，也就是说，我们的宇宙就像一个直径930亿光年的球体。黑洞的质量M和半径R的关系满足史瓦西半径公式＝(其中c为光速，其值为c＝3×108 m/s，G为引力常量，其值为6.67×10－11 N·m2/kg2
)，则由此可估算出宇宙的总质量的数量级约为( )
A．1054 kg B．1044 kg
C．1034 kg D．1024 kg
答案 A
解析 宇宙的半径r＝465×108×365×24×3600×3×108 m≈4.4×1026 m，根据半径公式＝，可得宇宙的质量M＝＝ kg≈0.3×1054 kg，故宇宙质量的数量级为1054 kg，故A正确；B、C、D错误。
3．(2019·辽宁鞍山一中高三三月模拟)(多选)宇航员驾驶宇宙飞船到达某行星表面，在离该行星表面高度为h处，将一小球以大小为v0的初速度水平抛出，小球水平射程为x。已知该行星的半径为R，引力常量为G。则下列判断正确的是( )
A．该行星的质量为
B．该行星的密度为
C．该星系的第一宇宙速度大小为
D．该行星表面的重力加速度大小为
答案 AD
解析 根据平抛运动的规律可知：h＝gt2，x＝v0t，解得g＝，行星表面任一物体的重力等于行星对物体的万有引力，mg＝G，得M＝＝，故A、D正确；行星的密度ρ＝＝＝，故B错误；该星系的第一宇宙速度大小v1＝＝，故C错误。
高考考向2 行星、卫星的运动问题
例2 (2019·河南郑州三模)地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所成夹角叫做地球对该行星的观察视角，如图中θ所示。当行星处于最大观察视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时机。已知某行星的最大观察视角为θ0，则该行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比为( )
A. B. C. D.
(1)何时观察视角最大？
提示：当地球与行星的连线与行星轨道相切时，观察视角最大。
(2)如何求角速度？
提示：根据万有引力等于向心力即可求解。
[解析] 由题意可知，当地球与行星的连线与行星轨道相切时，观察视角最大，设R为地球的轨道半径，可得行星的轨道半径r＝Rsinθ0，得：＝sinθ0。设太阳的质量为M，根据万有引力提供向心力，则有：G＝mω2r，得：ω2＝，行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比为：＝＝，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即＝m＝mrω2＝mr·()2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④区别轨道半径与距天体表面的高度。
4．(2019·安徽省江南十校二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功软着陆在月球背面预选区域。发射后，嫦娥四号探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入距离月球表面高度为h的环月轨道。若忽略月球自转，月球的半径为R，将嫦娥四号探测器的环月轨道视为圆形轨道，运动周期为T，引力常量为G，不计因燃料消耗而损失的质量，则下列说法正确的是( )
A．嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是
B．嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是
C．嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是
D．嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是
答案 C
解析 由G＝m，得v＝ ，所以嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是，A、B错误；由G＝ma，得a＝
，所以嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是，C正确，D错误。
5．(2019·广东惠州二模)(多选)2018年7月27日出现了“火星冲日”的天文奇观，火星离地球最近最亮。当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“火星冲日”。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表。则根据提供的数据可知( )
质量
半径
与太阳间距离
地球
M
R
r
火星
约0.1M
约0.5R
约1.5r
A．在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9 km/s
B．理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在2020年10月份
C．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5
D．火星运行的加速度比地球运行的加速度大
答案 BC
解析 根据近地卫星的向心力由万有引力提供，由＝m，可得近地卫星的最小发射速度v＝，火星质量是地球质量的0.1倍，火星半径是地球半径的0.5倍，所以v火＝＝ ＜ ＝v地，即在火星表面附近发射飞行器的最小速度小于在地球表面发射飞行器的最小速度(7.9 km/s)，故A错误；根据开普勒第三定律可知：＝，解得T火＝＝1.5 年≈1.8年，设至少再次经过时间t火星再次冲日，则t－t＝2π，解得t＝2.25年＝2年零3个月，则理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在2020年10月份，故B正确；根据＝mg，解得g＝，则＝×＝0.1×()2＝，故C正确；根据G＝ma可知，火星运行的加速度比地球运行的加速度小，故D错误。
高考考向3 航天器的变轨问题
例3 (2019·湖北荆州高三四月质检)2018年12月8日凌晨2点24分，中国长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心起飞，把嫦娥四号探测器送入地月转移轨道，“嫦娥四号”经过地月转移轨道的P点时实施一次近月调控后进入环月圆形轨道Ⅰ，再经过系列调控使之进入准备“落月”的椭圆轨道Ⅱ，于2019年1月3日上午10点26分，最终实现人类首次在月球背面软着陆。若绕月运行时只考虑月球引力作用，下列关于“嫦娥四号”的说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”的发射速度必须大于11.2 km/s
B．沿轨道Ⅰ运行的速度大于月球的第一宇宙速度
C．沿轨道Ⅰ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度
D．经过地月转移轨道的P点时必须进行减速后才能进入环月圆形轨道Ⅰ
(1)卫星在圆形轨道Ⅰ上P点所受的万有引力与向心力是否相等？
提示：相等。
(2)卫星经过地月转移轨道的P点时，所受万有引力与向心力是否相等？
提示：不相等，万有引力小于向心力。
[解析] 嫦娥四号仍在地月系里，没有脱离地球的束缚，故其发射速度需小于第二宇宙速度而大于第一宇宙速度，故A错误；卫星在轨道Ⅰ的轨道半径大于月球的半径，由公式v＝ 可知，沿轨道Ⅰ运行的速度小于月球的第一宇宙速度，故B错误；卫星经过P点时的加速度由万有引力产生，不管在哪一轨道，只要经过P点，加速度都相同，故C错误；卫星经过地月转移轨道的P点时，如果不调控，卫星将远离月球，即万有引力不足以提供所需的向心力，所以卫星经过地月转移轨道的P点时必须进行减速后才能进入环月圆形轨道Ⅰ，故D正确。
[答案] D
求航天器变轨问题的三点注意
(1)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律＝k。
6．(2019·四川自贡高三一诊)(多选)如图是发射的一颗人造卫星在绕地球轨道上的几次变轨图，轨道Ⅰ是圆轨道，轨道Ⅱ和轨道Ⅲ是依次在P点变轨后的椭圆轨道。下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9 km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上运动时，在P点和Q点的速度大小相等
C．卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ后机械能增加
答案 CD
解析 第一宇宙速度v1＝7.9 km/s是近地卫星的运行速度，是圆轨道卫星最大的环绕速度，根据环绕半径越大线速度越小，可知卫星在轨道Ⅰ上运行时的速度一定小于7.9 km/s，故A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道Ⅱ上运动时，P点为近地点，则在P点的速度大小大于在Q点的速度大小，B错误；根据a＝可知，卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ，发动机做正功，机械能增加，D正确。
7．(2017·全国卷Ⅲ)
2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案 C
解析 天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，组合体的质量比天宫二号的质量大，则其动能变大，C正确。
高考考向4 双星与多星问题
例4 (2019·贵阳一模)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波信号。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并之前，它们绕二者连线上的某点做圆周运动，且二者越转越近，最终碰撞在一起，形成新的天体。若将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，则此过程中两中子星的( )
A．线速度逐渐变小 B．角速度保持不变
C．周期逐渐变大 D．向心加速度逐渐变大
(1)双星系统中两颗星的轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径之和等于两星之间的距离。
(2)双星系统中两颗星的角速度、周期有什么关系？
提示：相等。
[解析] 设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L，根据万有引力提供向心力可知：＝m1r1ω2，＝m2r2ω2，又L＝r1＋r2，ω＝，联立解得ω＝，T＝，r1＝L，r2＝L，根据线速度和角速度的关系，有v1＝ωr1＝，v2＝ωr2＝，故随着L变小，线速度变大，角速度变大，周期变小，A、B、C错误；对于向心加速度，有＝m1a1＝m2a2，故可判断向心加速度变大，D正确。
[答案] D
1.双星系统
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即＝，两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π 。
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝。
2．多星系统
(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。
8．(2019·湖南湖北八市十二校高三第二次调研联考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为2πa
答案 B
解析 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径为a
，A正确，B错误；由＝m′g可知，四颗星表面的重力加速度均为g＝G，C正确；由G＋2Gcos45°＝m×a×，解得四颗星的周期均为T＝2πa，D正确。
9．(2019·山东聊城二模)(多选)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则( )
A．b星的周期为T
B．b星的线速度大小为
C．a、b两星的轨道半径之比为
D．a、b两星的质量之比为
答案 BD
解析 两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，故A错误；a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则ra＋
rb＝l，ra－rb＝Δr，所以ra＝，rb＝。a、b两星的轨道半径之比＝，b星的线速度大小vb＝＝，故B正确，C错误；两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则G＝mara()2＝mbrb()2，所以a、b两星的质量之比＝＝，故D正确。
易错警示 近地卫星、同步卫星、赤道上的物体相关联的问题
例 (2019·甘肃武威六中二模)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
分析与解 地球同步卫星c的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度比a大。由G＝ma，得a＝G，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，A错误；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2π＝，故B错误；由v＝rω知，a的线速度小于c的线速度，由G＝m，可得v＝，可知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确；由开普勒第三定律＝k知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
答案 C
易错警示 地面上的物体，其所受万有引力不等于随地球自转的向心力。
配套作业
限时：50分钟 满分：100分
选择题(本题共12小题，共100分，其中第1～8题为单选题，每小题8分，第9～12题为多选题，每小题9分)
1．(2019·济南高三模拟)我国计划2020年发射火星探测器，实现火星的环绕、着陆和巡视探测。已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，火星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的，火星的半径约为地球半径的，火星的质量约为地球质量的，以下说法正确的是( )
A．火星的公转周期比地球小
B．火星的公转速度比地球大
C．探测器在火星表面时所受火星引力比在地球表面时所受地球引力小
D．探测器环绕火星表面运行的速度比环绕地球表面运行的速度大
答案 C
解析 火星公转轨道半径大于地球公转轨道半径，根据开普勒第三定律可知，火星的公转周期比地球大，A错误；根据v＝可知，火星的公转速度比地球小，B错误；根据g＝，则＝·()2＝×22＝，则探测器在火星表面时所受火星引力比在地球表面时所受地球引力小，C正确；根据v火＝＝＝·＝v地，则探测器环绕火星表面运行的速度比环绕地球表面运行的速度小，D错误。
2．(2019·福建泉州第五中学高三5月适应性考试)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，嫦娥四号开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ。12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备。如图所示B为近月点，A为远月点，关于嫦娥四号卫星，下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态
C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加
D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能
答案 D
解析 根据万有引力提供加速度有：G＝＝ma，卫星在B点距月心更近，所以加速度更大，A错误；卫星在轨道Ⅰ
运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以仪器处于失重状态，B错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，所以卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C错误；在轨道Ⅱ上从A点到B点，万有引力做正功，动能增大，所以卫星在B点动能大，D正确。
3. (2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。
4．(2019·山东烟台一模)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度。赤道上一观察者发现，该卫星连续两次出现在观察者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星离地面的高度为( )
A.－R B.
C.－R D.
答案 A
解析
根据赤道平面内的卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有：＝m(R＋h)·2，解之可得：h＝－R。设卫星的周期为T，则有t－t＝2π，解之得：T＝，由此可得：h＝－R，代入黄金代换式GM＝gR2，可得：h＝－R。故A正确。
5．(2019·广东省广州市高三下学期一模)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过FAST可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为( )
A．(1＋k2) 年 B．(1＋k2) 年
C．(1＋k) 年 D．k 年
答案 A
解析 设地球与太阳的距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离为R＝＝r(1＋k2)，设木星的公转周期为T年，根据开普勒第三定律，则有：＝，解得T＝(1＋k2)年，A正确。
6．(2019·闽粤赣三省十校高三下学期联考)某行星的自转周期为T，赤道半径为R。研究发现，当该行星的自转角速度变为原来的2倍时，会导致该行星赤道上的物体恰好对行星表面没有压力，已知引力常量为G。则( )
A．该行星的质量为M＝
B．该行星的同步卫星轨道半径为r＝R
C．质量为m的物体对行星赤道地面的压力为F＝
D．环绕该行星做匀速圆周运动的卫星的最大线速度为7.9 km/s
答案 B
解析 行星自转角速度变为原来的两倍，则周期将变为T，由题意可知此时：G＝mR，解得：M＝，故A错误；该行星的同步卫星的周期等于该行星的自转周期，由万有引力提供向心力可得：G＝mr，又M＝
，解得：r＝R，故B正确；该行星赤道地面上的物体所受的万有引力和支持力的合力提供其随行星自转时所做圆周运动的向心力，即－FN′＝mR，又M＝，解得：FN′＝，由牛顿第三定律可知F＝FN′＝，故C错误；环绕该行星做匀速圆周运动的卫星的轨道半径等于该行星的半径时，卫星的线速度最大，由＝m得v＝＝，由于R、T的数值未知，故无法确定环绕该行星做匀速圆周运动的卫星的最大线速度是否为7.9 km/s，故D错误。故选B。
7．(2019·重庆一中高三5月模考)双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为( )
A．2π，m B．2π，m
C．2π，m D．2π，m
答案 D
解析 两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：＝mr1ω＝mr2ω，可得r1＝r2；两星绕连线的中点转动，则＝m·ω，解得ω1＝；所以T0＝＝2π ；由于C的存在，双星的向心力由万有引力的合力提供，则G＋＝m·Lω，T＝＝kT0，联立解得：M＝，故选D。
8．(2019·陕西二模)宇航员在某星球表面做了如图甲所示的实验，将一插有风帆的滑块放置在倾角为θ的粗糙斜面上由静止开始下滑，帆在星球表面受到的空气阻力与滑块下滑的速度成正比，即F＝kv，k为已知常数。宇航员通过传感器测量得到滑块下滑的加速度a与速度v的关系图象如图乙所示，已知图中直线在纵轴与横轴的截距分别为a0、v0，滑块与足够长斜面间的动摩擦因数为μ，星球的半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，由上述条件可判断出( )
A．滑块的质量为
B．星球的密度为
C．星球的第一宇宙速度为
D．该星球近地卫星的周期为
答案 B
解析 带风帆的滑块在斜面上受到重力、支持力、摩擦力和空气阻力的作用，沿斜面方向，由牛顿第二定律得：mg′sinθ－μmg′cosθ－F＝ma，而F＝kv，联立可解得：a＝g′sinθ－μg′cosθ－，由题意知：＝，g′sinθ－μg′cosθ＝a0，即滑块的质量为：m＝，A错误；星球表面的重力加速度为：g′＝，根据＝mg′和M＝ρ·πR3可得星球的密度为：ρ＝＝，B正确；再根据＝可得，星球的第一宇宙速度为：v＝＝，C错误；根据mg＝＝可得，该星球近地卫星的周期为：T＝2π ＝2π，D错误。
9．(2019·湖南衡阳二模改编)2019年1月3日，嫦娥四号探测器登陆月球，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。为给嫦娥四号探测器提供通信支持，我国早在2018年5月21日就成功发射了嫦娥四号中继星“鹊桥号”。如图所示，“鹊桥号”中继星一边绕拉格朗日L2点做圆周运动，一边随月球同步绕地球做圆周运动，且其绕L2点的半径远小于L2点与地球间的距离。(已知位于地、月拉格朗日L1、L2
点处的小物体能够在地、月的引力作用下，几乎不消耗燃料，便可与月球同步绕地球做圆周运动。)则下列说法正确的是( )
A．“鹊桥号”的发射速度大于11.2 km/s
B．“鹊桥号”绕地球运动的周期约等于月球绕地球运动的周期
C．同一卫星在L2点受地、月引力的合力比其在L1点受地、月引力的合力大
D．若技术允许，使“鹊桥号”刚好位于拉格朗日L2点，能够更好地为嫦娥四号探测器提供通信支持
答案 BC
解析 卫星脱离地球的引力的第二宇宙速度的数值是11.2 km/s，“鹊桥号”在绕地球运动，所以“鹊桥号”的发射速度应小于11.2 km/s，故A错误；根据题意可知，“鹊桥号”绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，故B正确；L2点是距离地球较远的拉格朗日点，由Fn＝mrω2可知，同一卫星在L2点受月球和地球引力的合力比在L1点要大，故C正确；“鹊桥号”若刚好位于L2点，由几何关系可知，通讯范围较小，并不能更好地为嫦娥四号探测器提供通信支持，故D错误。
10．(2019·陕西汉中二模)图甲所示的“轨道康复者”航天器可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命。图乙是“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心，轨道半径之比为1∶4。若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是( )
A．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动
B．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的16倍
C．在图示轨道上，地球同步卫星的机械能大于“轨道康复者”的机械能
D．若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速，然后与同步卫星对接
答案 BD
解析 因“轨道康复者”的高度低于同步卫星的高度，可知其角速度大于同步卫星的角速度，也大于站在赤道上的观察者的角速度，故站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向东运动，A错误；由G＝ma得：a＝，在图示轨道上，“轨道康复者”与地球同步卫星加速度之比为＝＝＝16，B正确；因“轨道康复者”与地球同步卫星的质量关系不确定，故不能比较机械能的大小关系，C错误；“轨道康复者”应从图示轨道上加速后，使轨道半径增大，与同步卫星轨道相交，才可进行对接，D正确。
11．(2019·哈尔滨三中高三一模)我国的嫦娥四号在2019年1月3日着陆在了月球背面，这是人类历史上的首次着陆，为全世界的月球探索开拓了新方向。为了保持地面和嫦娥四号的通信，我国于2018年5月21日，将一颗地月中继卫星“鹊桥”发射到地月轨道的拉格朗日点L2上。我们可以简单理解为：处在L2点的物体在地球和月球的引力共同作用下，绕地球做匀速圆周运动并始终与地月共线。已知地球的质量M、地球球心到L2点的距离为r、引力常量为G、月球公转周期为T，以下说法正确的是( )
A．中继卫星“鹊桥”的运行线速度大于月球绕地球公转的线速度
B．中继卫星“鹊桥”的运行线速度小于月球绕地球公转的线速度
C．中继卫星“鹊桥”的加速度为a＝
D．中继卫星“鹊桥”的加速度为a＝r
答案 AD
解析 中继卫星“鹊桥”与月球、地球始终在同一直线上，说明“鹊桥”与月球绕地球运动的角速度相同，由于中继卫星“鹊桥”的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，由公式v＝ωr知，中继卫星“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，故A正确，B错误；中继卫星“鹊桥”的角速度为ω＝，所以中继卫星“鹊桥”的加速度为a＝ω2r＝r，由于中继卫星“鹊桥”在地球和月球的共同引力下运动，所以中继卫星“鹊桥”的加速度一定不等于，故C错误，D正确。
12．(2019·广东肇庆三模)如图所示是宇宙空间中某处孤立天体系统的示意图，位于O点的一个中心天体有两颗环绕卫星，卫星质量远远小于中心天体质量，且不考虑两卫星间的万有引力。甲卫星绕O点做半径为r的匀速圆周运动，乙卫星绕O点的运动轨迹为椭圆，半长轴为r、半短轴为，甲、乙均沿顺时针方向运转。两卫星的运动轨迹共面且交于M、N两点。某时刻甲卫星在M处，乙卫星在N处。下列说法正确的是( )
A．甲、乙两卫星的周期相等
B．甲、乙两卫星各自经过M处时的加速度大小相等
C．乙卫星经过M、N处时速率相等
D．甲、乙各自从M点运动到N点所需时间之比为1∶3
答案 ABC
解析 椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，故A正确；甲、乙在M点都是由万有引力产生加速度，a＝，故加速度大小相等，故B正确；乙卫星在M、N两点时距O点的距离相同，卫星的引力势能相等，根据机械能守恒定律可知，乙卫星在M、N两点的动能相等，即速率相等，故C正确；甲卫星从M到N，根据几何关系可知，经历T，而乙卫星从M到N经过远地点，根据开普勒第二定律知，卫星在远地点运行得慢，近地点运行得快，故乙卫星从M到N运行的时间大于T，故甲、乙各自从M点运动到N点的时间之比不为1∶3，故D错误。
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