【物理】2019届二轮复习功能关系中皮带、滑板问题学案（全国通用） 11页

一、功能关系中的传送带模型 ‎1．模型条件 ‎（1）传送带匀速或加速运动。‎ ‎（2）物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。学 ‎ ‎（3）物体与传送带之间有相对滑动。‎ ‎2．模型特点 ‎（1）若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力。‎ ‎（2）若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动。‎ ‎（3）若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。‎ ‎3．功能关系 ‎（1）功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。‎ ‎（2）对传送带的功WF和产生的内能Q的理解 传送带做的功：W＝Fx，其中F为传送带的动力，x为传送带转过的距离。‎ 产生的内能：ΔQ＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。‎ ‎（3）求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。‎ ‎（4）相对位移：一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和。‎ ‎4．传送带模型问题的分析流程 相对运动方向→摩擦力方向→加速度方向→速度变化方向→v物初与v传同向（或反向，是否返回加速）→共速→Ff突变→匀速或变速→滑离。‎ ‎【题1】如图所示，传送带与地面的夹角θ＝37°，A、B两端间距L＝16 m，传送带以速度v＝10 m/s，沿顺时针方向运动，物体m＝1 kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）试求：‎ ‎（1）物体由A端运动到B端的时间；‎ ‎（2）系统因摩擦产生的热量。‎ ‎（2）物体与传送带间的相对位移x相＝（vt1－x1）＋（L－x1－ vt2）＝6 m 故Q＝μmgcos θ·x相＝24 J。学 ‎ ‎【题2】如图所示，质量为m＝1kg的可视为质点的滑块，放在光滑的水平平台上，平台的左端与水平传送带相接，传送带以v＝2m/s的速度沿顺时针方向匀速转动（传送带不打滑）。现将滑块缓慢向右压缩轻弹簧，轻弹簧的原长小于平台的长度，滑块静止时轻弹簧的弹性势能为Ep＝4.5J，若突然释放滑块，滑块向左滑上传送带。已知滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带足够长，取g＝10m/s2。求：‎ ‎（1）滑块第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间；‎ ‎（2）滑块第一次滑上传送带到离开传送带由于摩擦产生的热量。‎ ‎【答案】（1）3.125s（2）12.5J ‎【解析】（1）释放滑块的过程中机械能守恒，设滑块滑上传送带的速度为v1，则Ep＝mv，‎ 得v1＝3m/s 滑块在传送带上运动的加速度a＝μg＝2m/s2 ‎ ‎ ‎ ‎（2）滑块向左运动x1的位移时，传送带向右的位移为x1′＝vt1＝3m 则Δx1＝x1′＋x1＝5.25m 滑块向右运动x2时，传送带向右位移为x2′＝vt2＝2m 则Δx2＝x2′－x2＝1m Δx＝Δx1＋Δx2＝6.25m ‎ 则产生的热量为Q＝μmg·Δx＝12.5J 学 ‎ 二、功能关系中的滑板模型 ‎1．模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型。‎ ‎2．处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ffx相对，并要注意数学知识（如图象、归纳法等）在此类问题中的应用。‎ ‎【题3】如图所示，一个质量为m＝15 kg的特制柔软小猴模型，从离地面高h1＝6 m的树上自由下落，一辆平板车正沿着下落点正下方所在的平直路面以v0＝6 m/s的速度匀速前进。已知模型开始自由下落时，平板车前端恰好运动到距离下落点正下方s＝3 m处，该平板车总长L＝7 m，平板车板面离地面高h2＝1 m，模型可看作质点，不计空气阻力．假定模型落到板面后不弹起，在模型落到板面的瞬间，司机刹车使平板车开始以大小为a＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，直至停止，g取10 m/s2，模型下落过程中未与平板车车头接触，模型与平板车板面间的动摩擦因数μ＝0.2。求：‎ ‎（1）模型将落在平板车上距车尾端多远处？‎ ‎（2）通过计算说明，模型是否会从平板车上滑下？‎ ‎（3）模型在平板车上相对滑动的过程中产生的总热量Q为多少？‎ ‎【答案】（1）4m（2）Δx1<4 m，故不会滑下（3）105J （2） 设模型落在车上后做匀加速运动的加速度为a1，经过时间t2模型和平板车的速度相同为v，则平板车的速度为：v＝v0－at2 ④‎ 模型的速度为：v＝a1t2 ⑤‎ 对模型应用牛顿第二定律得：μmg＝ma1 ⑥‎ 平板车的位移为：x2＝v0t2－at ⑦‎ 在这段时间内的模型的位移为：x3＝a1t ⑧‎ 联立④⑤⑥⑦⑧可得，在这段时间内模型相对车向后的位移为：Δx1＝x2－x3＝3 m ⑨‎ Δx1<4 m，故不会滑下 ⑩‎ ‎（3）速度相同后模型和平板车都减速运动直到静止，平板车的位移为：x4＝ ⑪‎ 模型的位移为：x5＝ ⑫‎ 模型相对平板车向前的位移为：Δx2＝x5－x4 ⑬‎ 模型在平板车上来回摩擦产生的总热量：Q＝μmg（Δx1＋Δx2）＝105 J . ]‎ ‎【题4】[斜面上的模型问题]如图所示，AB段为一半径R＝0.2 m的光滑圆弧轨道，EF是一倾角为30°的足够长的光滑固定斜面，斜面上有一质量为0.1 kg的薄木板CD，开始时薄木板被锁定。一质量也为0.1 kg的物块（图中未画出）从A点由静止开始下滑，通过B点后水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上薄木板，在物块滑上薄木板的同时薄木板解除锁定，下滑过程中某时刻物块和薄木板能达到共同速度。已知物块与薄木板间的动摩擦因数μ＝，g＝10 m/s2，结果可保留根号。求：‎ ‎（1）物块到达B点时对圆弧轨道的压力；‎ ‎（2）物块滑上薄木板时的速度大小；‎ ‎（3）达到共同速度前物块下滑的加速度大小及从物块滑上薄木板至达到共同速度所用的时间。 ]‎ ‎【答案】（1）3 N，方向竖直向下（2） m/s（3）2.5 m/s2， s （2） 设物块滑上薄木板时的速度为v，则：cos 30°＝ 解得：v＝ m/s ‎（3）物块和薄木板下滑过程中，由牛顿第二定律得：‎ 对物块：mgsin 30°－μmgcos 30°＝ma1‎ 对薄木板：mgsin 30°＋μmgcos 30°＝ma2‎ 设物块和薄木板达到的共同速度为v′，则：v′＝v＋a1t＝a2t 解得：a1＝2.5 m/s2，t＝ s 三、功能关系中皮带、滑板问题的难点突破 功能关系中皮带、滑板问题的难点属于思维上有难度的知识点。对于匀速运动的传送带传送初速为零的物体，传送带应提供两方面的能量，一是物体动能的增加，二是物体与传送带间的摩擦所生成的热（即内能），有不少同学容易漏掉内能的转化，因为该知识点具有隐蔽性，往往是漏掉了，也不能在计算过程中很容易地显示出来，尤其是在综合性题目中更容易疏忽。突破方法是引导学生分析有滑动摩擦力做功转化为内能的物理过程，使“只要有滑动摩擦力做功的过程，必有内能转化”的知识点在学生头脑中形成深刻印象。‎ 一个物体以一定初速度滑上一粗糙平面，会慢慢停下来，物体的动能通过物体克服滑动摩擦力做功转化成了内能，当然这个物理过程就是要考查这一个知识点，学生是绝对不会犯错误的。‎ 质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图所示。‎ x板板 x物 Δx 该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，‎ W物＝－μmg·x物 W板＝μmg·x板 很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg（x物—x板）=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”记住这个结论，一旦遇到有滑动摩擦力存在的能量转化过程就立即想到它。‎ 再来看一下这个最基本的传送带问题：‎ 物体轻轻放在传送带上，由于物体的初速度为0，传送带以恒定的速度运动，两者之间有相对滑动，出现滑动摩擦力。作用于物体的摩擦力使物体加速，直到它的速度增大到等于传送带的速度，作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势，但由于电动机的作用，保持了传送带的速度不变。尽管作用于物体跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的，但物体与传送带运动的位移是不同的，因为两者之间有滑动。如果物体的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t，则在这段时间内物体运动的位移小于传送带运动的位移。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对物体做的功(这功转变为物体的动能)，两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。 ]‎ ‎【题5】如图所示，水平传送带以速度v匀速运动，一质量为m的小木块由静止轻放到传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”这一结论，然后再根据物体和传送带的运动情况来求二者相对滑动的距离。‎ ‎ ‎ 可得：‎ 从木块静止至木块与传送带达到相对静止的过程中木块加速运动的时间 ‎ 传送带运动的位移 ‎ 木块相对传送带滑动的位移 ‎ 摩擦产生的热：Q=F摩·Δx=μmg·=‎ ‎【总结】单独做该题目时，就应该有这样的解题步骤，不过，求相对位移时也可以物体为参考系，用传送带相对物体的运动来求。在综合性题目中用到该过程时，则直接用结论即可。该结论是：从静止放到匀速运动的传送带上的物体，在达到与传送带同速的过程中，转化为内能的能量值和物体增加的动能值相等。因为物体在该过程中的对地位移与传送带相对物体的位移大小是相等的。‎ ‎【题6】如图所示，倾角为37º的传送带以4m/s的速度沿图示方向匀速运动。已知传送带的上、下两端间的距离为L=7m。现将一质量m=0.4kg的小木块放到传送带的顶端，使它从静止开始沿传送带下滑，已知木块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，取g=10m/s2。求木块滑到底的过程中，摩擦力对木块做的功以及生的热各是多少？ ‎ ‎【答案】－4.0J 2.4J 刚开始时，合力的大小为F合1＝mgsin37º＋μmgcos37º,‎ 由牛顿第二定律，加速度大小a1＝＝8m/s2，‎ 该过程所用时间 t1＝＝0.5s，‎ 位移大小s1＝＝1m。 ‎ 二者速度大小相同后，合力的大小为F合2＝mgsin37º－μmgcos37º，‎ 加速度大小a2＝＝4m/s2，‎ 位移大小s2＝ L－s1＝ 6m,‎ 所用时间s2＝v0t2＋‎ 得：t2＝1s。（另一个解t2＝－3s舍去） ‎ 摩擦力所做的功W＝μmgcos37º·（s1－s2）＝－4.0J，‎ 全过程中生的热 Q＝f·s相对＝μmgcos37º·【（v0t1－s1）+（s2－v0t2）】＝0.8N×3m＝2.4J。 ‎ ‎【总结】该题目的关键在于分析清楚物理过程，分成两段处理，正确分析物体受力情况，求出物体和传送带的位移，以及物体和传送带间的相对位移。‎ ‎【题7】一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率。‎ ‎【答案】=‎ 的，因为两者之间有滑动。如果货箱的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t，则在这段时间内货箱运动的路程和传送带运动的路程分别是解答中的①式和③式，两者大小不同，由解答中的④式给出。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对货箱做的功（这功转变为货箱的动能），两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。这也就是在传送带的水平段上使一只小货箱从静止到跟随传送带一起以同样速度运动的过程中，电动机所做的功，这功一部分转变为货箱的动能，一部分因摩擦而发热。当货箱的速度与传送带速度相等后，只要货箱仍在传送带的水平段上，电动机无需再做功。为了把货箱从C点送到D点，电动机又要做功，用于增加货箱的重力势能mgh。由此便可得到输送N只货箱的过程中电动机输出的总功。 学 ]‎ 以上分析都是在假定已知传送带速度v0的条件下进行的，实际上传送带的速度是未知的。因此要设法找出v0。题中给出在时间T内运送的小货箱有N只，这是说，我们在D处计数，当第1只货箱到达D处时作为时刻t=0，当第N只货箱到达D处时恰好t=T。如果把这N只货箱以L的距离间隔地排在CD上（如果排得下的话），则第N只货箱到D处的距离为（N—1）L，当该货箱到达D处，即传送带上与该货箱接触的那点在时间T内运动到D点，故有（N—1）L=v0T。由此便可求出v0，电动机的平均功率便可求得。由于N很大，N与N－1实际上可视作相等的。‎ v0=at ②‎ 在这段时间内传送带运动的路程为s0=v0t ③‎ 由上可得s0=2s ④‎ 用Ff表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小货箱做功为W1=Ff s= ⑤‎ 传送带克服小货箱对它的摩擦力做功W2=Ff s0==mv02 ⑥‎ 两者之差就克服摩擦力做功发出的热量Q= ⑦‎ 可见，在小货箱加速过程中，小货箱获得的动能与发热量相等。‎ T时间内电动机输出的功为W=T ⑧‎ 此功用于增加N个小货箱的动能、势能和使小货箱加速时程中克服摩擦力发 的热，即有 W=N+Nmgh+NQ ⑨‎ N个小货箱之间的距离为（N—1）L，它应等于传送带在T时间内运动的距离，即有 v0T=（N—1）L≈NL ⑩‎ 因T很大，故N亦很大。‎ 联立⑦、⑧、⑨、⑩，得= ‎ ‎【总结】本题初看起来比较复杂，关于装置的描述也比较冗长。看来对于实际的问题或比较实际的问题，冗长的描述是常有的。要通过对描述的研究，抓住关键，把问题理想化、简单化，这本身就是一种分析问题、处理问题的能力。通过分析，可以发现题中传送带的水平段的作用是使货箱加速，直到货箱与传送带有相同的速度。使货箱加速的作用力来自货箱与传送带之间的滑动摩擦力。了解到这一点还不够，考生还必须知道在使货箱加速的过程中，货箱与传送带之间是有相对滑动的，尽管传送带作用于货箱的摩擦力跟货箱作用于传送带的摩擦力是一对作用力与反作用力，它们大小相等，方向相反，但在拖动货箱的过程中，货箱与传送带移动的路程是不同的。因此作用于货箱的摩擦力做的功与传送带克服摩擦力做的功是不同的。如果不明白这些道理，就不会分别去找货箱跟传送带运动的路程。虽然头脑中存有匀变速直线运动的公式，但不一定会把它们取出来加以使用。而在这个过程中，不管货箱获得的动能还是摩擦变的热，这些能量最终都来自电动机做的功。‎ 传送带的倾斜段的作用是把货箱提升h高度。在这个过程中，传送带有静摩擦力作用于货箱，同时货箱还受重力作用，这两个力对货箱都做功，但货箱的动能并没有变化。因为摩擦力对货箱做的功正好等于货箱克服重力做的功，后者增大了货箱在重力场中的势能。同时在这个过程中传送带克服静摩擦力亦做功，这个功与摩擦力对货箱做的功相等，因为两者间无相对滑动。所以货箱增加的重力势能亦来自电动机。‎