【物理】2019届二轮复习机械能守恒定律及其应用学案（全国通用） 12页

一、机械能 ‎1．定义：物体由于做机械运动而具有的能叫机械能。用符号E表示，它是动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的统称。‎ ‎2．表达式：E=EK+EP ‎3．注意：①机械能是瞬时量，物体在某一时刻机械能等于那一时刻的动能和势能之和。‎ ‎②机械能是标量。没有方向，只有大小，可有正负（因势能可有正负）。学 ]‎ ‎③机械能具有相对性，因为势能具有相对性（须确定零势能参考平面），所以机械能也具有相对性。另外与动能相关的速度也具有相对性（应该相对于同一惯性参考系，一般是地面）。‎ 二、机械能守恒定律 ‎1．内容：在只有重力或（弹簧）弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。‎ ‎2．表达式： ‎ ‎（1）守恒观点：①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。式中EKl、EPl、E1分别是初态动能、势能和机械能；EK2、EP2、E2分别是末态动能、势能和机械能。表示初态机械能等于末态机械能。‎ ‎②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。‎ ‎③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。‎ ‎（2）转化观点：①表达式：ΔEk＝－ΔEp。‎ ‎②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。‎ ‎③注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。‎ （3） 转移观点：‎ ‎①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。‎ ‎②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。‎ ‎③注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。‎ ‎【题1】（多选）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是（ ）‎ A．物体落到海平面时的势能为mgh B．重力对物体做的功为mgh C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh D．物体在海平面上的机械能为mv ‎【答案】BCD ‎3．机械能守恒定律的表达式比较 Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′‎ ΔEk＝－ΔEp ΔE增＝ΔE减 角度 守恒观点 转化观点 转移观点 意义 系统的初状态机械能与末状态机械能相等 表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能 一部分物体机械能的增加量与另一部分物体机械能的减少量相等 注意 事项 应用时应选好重力势能的零势能面，且初末状态必须用同一零势能面计算势能 应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题 ‎4．研究对象 ‎（1）当只有重力做功时，可取一个物体（其实是物体与地球构成的系统）作为研究对象，也可取几个物体构成的系统作为研究对象。‎ ‎（2）当物体之间有弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象（使这些弹力成为系统内力）。‎ ‎5．机械能守恒的条件：只有重力做功或系统内弹力做功。‎ ‎（1）只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等。‎ ‎（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。‎ ‎（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。‎ ‎（4）除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿固定斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒。‎ ‎【题2】（多选）如下图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 ‎【答案】CD ‎【题3】如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C，D为圆轨道的最低点和最高点），且∠BOC＝θ＝37°。可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象。求：（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2‎ ‎（1）滑块的质量和圆轨道的半径；‎ ‎（2）通过计算判断是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点。‎ ‎【答案】（1）0.1kg　0.2m　（2）存在满足条件的H值 ‎（1）滑块由A到D的过程中mg（H－2R）＝mv（或mgh＝mv）‎ 由牛顿第三定律得滑块在D点所受轨道支持力与滑块对轨道的压力等大反向，记为F，则 F＋mg＝m 解得F＝H－5mg 结合图象可得m＝0.1kg　R＝0.2m ‎（2）设滑块在D点的速度为v时，恰能落到直轨道上与圆心等高处 竖直方向R＝gt2　水平方向x＝vt 由几何关系得x＝＝R 解得v＝＝m/s 物体恰好能过D点的速度大小v0＝＝m/s 因为v>v0，所以存在满足条件的H值。学 ‎ ‎6．关于机械能守恒条件的讨论 严格地讲，物体系内只有保守力（重力、弹力）做功，而其他一切力都不做功时，机械能才能守恒。这就是机械能守恒的条件。‎ 机械能守恒不能简单地理解为机械能不变，因为机械能守恒是指能量转化过程中的守恒，尽管物体（系）总的机械能不变，但没有动能和势能的相互转化，那种没有动能和势能相互转化的机械能不变，不能看做是机械能守恒。‎ 在某些参考资料中，把机械能守恒的条件扩展为：“如果除重力和弹力做功外，还有其他力对物体做功，但这些功的代数和为零，则物体的机械能守恒．”如果认为“不变”即“守恒”，那么这种扩展能够用于解决某些问题．但应当注意，这时系统并不封闭，存在着系统内的物体跟外界系统的能量交换．只是系统内物体机械能的减少等于外界对物体做功使系统增加的机械能。‎ ‎7．对定律的理解 （1） 机械能守恒定律指出了重力和弹性力对物体（或系统）的做功过程，必然伴随着物体（或系统）的动能和势能、或势能和动能之间相互转化的过程。因此，一个动态概念，它与“不变”不同。‎ （2） 机械能守恒的条件必须是“只有重力和弹性力做功，没有其他外力做功”。不能把定律的成立条件说成是“只有重力和弹性力的作用”，“作用”与“做功”是不同的两个物理概念，不能相混。这里的弹性力，在中学物理中狭义地指弹簧中的弹力。‎ （3） 机械能守恒是针对一个系统而言的，不能对单个物体运用。‎ ‎（4）除重力和弹簧弹力以外的其他力对物体做功多少，是物体机械能变化的量度。‎ ‎8．机械能守恒的判断方法 ‎（1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。‎ ‎（2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加）。则系统的机械能守恒。‎ ‎（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题．除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。 ]‎ ‎（4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。‎ ‎【题4】如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是（ ）‎ A．子弹射入物块B的过程 B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程 C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程 D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程 ‎【答案】A ‎【解析】子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒。在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个推力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止。当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒。学 ‎ ‎【题5】（多选）下列情形中物体或系统机械能守恒的是（空气阻力均不计）（ ）‎ A． 抛出的篮球在空中运动 ‎ B．物体沿粗糙斜面匀速下滑 C．细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动 ‎ D．系统只有重力或弹力做功的过程 ‎【答案】ACD ‎【题6】（多选）如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是（ ）‎ A．小球的机械能守恒 ‎ B．小球的机械能减少 C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 ‎ D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 ‎【答案】BD 学 ]‎ 三、机械能守恒定律的应用 ‎1．应用机械能守恒定律的基本思路 ‎（1）选取研究对象（物体或系统）。‎ ‎（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。‎ ‎（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。‎ ‎（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。 ]‎ ‎（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。‎ ‎2．机械能守恒定律的应用技巧 ‎（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。‎ ‎（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。‎ ‎【题7】山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下，图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8m，h2＝4.0m，x1＝4.8m，x2＝8.0m。开始时，质量分别为M＝10kg和m＝2kg的大、小两只金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头。大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零。运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10m/s2。求：‎ ‎ ‎ ‎（1）大猴从A点水平跳离时速度的最小值；‎ ‎（2）猴子抓住青藤荡起时的速度大小；‎ ‎（3）猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小。‎ ‎【答案】（1）8m/s（2）9 m/s （3）216 N x1＝vmint ②‎ 由①②式，得vmin＝8m/s ‎（2）猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vc，有 | |k ]‎ ‎（M＋m）gh2＝（M＋m）v ④ ‎ ‎ vc＝＝m/s≈9 m/s ⑤‎ ‎（3）设拉力为FT，青藤长度为L，在最低点，由牛顿第二定律得F－（M＋m）g＝ ⑥‎ 由几何关系（L－h2）2＋x＝L2 ⑦‎ 故L＝10 m ⑧ ‎ 综合⑤⑥⑧式并代入数据得F＝216 N。 . ‎ ‎【题8】嘉年华上有一种回力球游戏，如图所示，A、B分别为一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道的最高点和最低点，B点距水平地面的高度为h，某人在水平地面C点处以某一初速度抛出一个质量为m的小球，小球恰好水平进入半圆轨道内侧的最低点B，并恰好能过最高点A后水平抛出，又恰好回到C点抛球人手中。若不计空气阻力，已知当地重力加速度为g，求：‎ （1） 小球刚进入半圆形轨道最低点B时轨道对小球的支持力；‎ （2） 半圆形轨道的半径；‎ ‎（3）小球抛出时的初速度大小。‎ ‎【答案】（1）6mg，方向竖直向上（2）2h（3） 从B点到A点的过程中，根据机械能守恒有：mv＝mg·2R＋mv 解得：vB＝。‎ 在B点：N－mg＝m，‎ 解得：N＝6mg，方向竖直向上。‎ ‎（2）C到B的逆过程为平抛运动，有：h＝gt，A到C的过程，有：h＋2R＝gt，‎ 又vBtBC＝vAtAC，‎ 解得：R＝2h。‎ ‎（3）设小球抛出时的初速度大小为v0，从C到B的过程中，根据机械能守恒有：‎ mv＝mgh＋mv 解得：v0＝。‎ ‎【题9】如图所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为mP＝m，mQ＝4m，水平挡板到水平面EF的距离为h＝2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P到达最高点C时剪断细线，小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取π≈3。求：‎ （1） 小球P到达最高点C时的速率vC；‎ （2） 小球P落到挡板AB上时的速率v1；‎ ‎（3）小球Q反弹后能上升的最大高度hmax。‎ ‎【答案】（1）（2）2（3）R 解得vC＝。‎ ‎（2）因vC＞，所以剪断细线后小球P做平抛运动，由机械能守恒定律知mPgR＋mPv＝mPv， 解得v1＝2。‎ ‎（3）剪断细线后，小球Q做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有－mQg××2πR＋mQv＝－mQg（h－hmax），‎ 解得hmax＝R。‎ ‎【反思】本题中剪断细线前，细线对两小球均做功，两小球的机械能均不守恒，但取两小球和细线为系统，则只有重力做功，满足机械能守恒。剪断细线后两小球的机械能均守恒，因此运用机械能守恒定律解题时，一定要注意研究对象的选择。‎ ‎【题10】如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧（不拴接），当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量。‎ ‎【答案】l ‎【解析】设第一次压缩量为l时，弹簧的弹性势能为Ep。‎ 释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v1‎ 由机械能守恒定律得Ep＝mv ‎ 小球从E点开始做平抛运动，由平抛运动规律得4R＝v3t，2R＝gt2‎ 解得v3＝2，解得Ep′＝4mgR 由已知条件可得＝，‎ 代入数据解得x＝l。‎ 四、 机械能守恒定律和动能定理的比较 ‎ 1．比较 机械能守恒定律 动能定理 范围 只有重力和弹力做功时 无条件限制 物理意义 其他力（重力、弹力以外）所做的 功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度 关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的 形式及大小 动能的变化及改变动能的式 ‎（合外力做功情况）‎ 说明 等号右边表示动能增量时，左边表示 势能的减少量，“mgh”表示重力势能 ‎（或重力势能的变化）‎ 等号左边是合外力的功，右边是动能的增量，“mgh”表示重力的功 ‎【特别提醒】‎ （1） 除重力外还有其他力做功且做功不为零时，其他力做功数值等于机械能的变化量。‎ （2） 由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。‎ ‎2．常考易错警示：不能正确判断系统机械能是否守恒导致错误。‎ ‎【题11】（多选）质量分别为m和M（其中M＝2m）的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图所示，现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是（ ）‎ A． Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒 B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒 C．P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒 D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒 ‎【答案】BC Q球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是Q球运动的阻力（重力是动力），对Q球做负功；P球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是动力（重力是阻力），对P球做正功。所以，由功能关系可以判断，在Q球下摆过程中，P球重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q球重力势能减少、动能增加、机械能减少；由于P和Q整体只有重力做功，所以系统机械能守恒。‎ 误区警示：Q球摆到最低位置的过程中，重力势能减少、动能增加，但由此不能确定机械能是否守恒。细绳施力的方向一定沿绳收缩的方向，但杆施力的方向并不一定沿着杆的方向，本题就是一个典型的例题，杆对P球、Q球的作用力，既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向力，所以杆对P球、Q球都做功，P球、Q球的机械能都不守恒，但P球和Q球整体的机械能守恒（除了重力外没有其他力对P球、Q球的整体做功）。‎