【物理】2019届二轮复习　机械能守恒定律的应用学案（全国通用） 12页

微型专题6　机械能守恒定律的应用 知识目标 核心素养 ‎1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.‎ ‎2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.‎ ‎3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.‎ ‎4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别.‎ ‎1.进一步掌握机械能守恒定律的系统性和守恒条件的判定.‎ ‎2.体会动能定理和机械能守恒定律在解题中的区别，体会机械能守恒定律在解决多物体系统问题中的优越性，建构此类问题模型，培养 学推理和综合分析能力.‎ 一、机械能是否守恒的判断 判断机械能是否守恒的方法：‎ ‎(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统机械能守恒，具体有三种表现：‎ ‎①只受重力、弹力，不受其他力；‎ ‎②除受重力、弹力外还受其他力，其他力不做功；‎ ‎③除重力、弹力外还有其他力做功，但其他力做功的代数和为零．‎ ‎(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．‎ 例1　(多选)如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ 图1‎ A．斜劈对小球的弹力不做功 B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C．斜劈的机械能守恒 D．小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量 答案　BD 解析　小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误．不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确．‎ 二、多物体组成的系统机械能守恒问题 ‎1．多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的．‎ ‎2．关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．‎ ‎3．机械能守恒定律表达式的选取技巧 ‎(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．‎ ‎(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减少(或增加)，动能都在增加(或减少)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解．‎ ‎②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA增＝ΔEB减来求解．‎ 例2　如图2所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落．若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．‎ 图2‎ 答案　1∶2‎ 解析　设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：‎ m2g－m1gsin 30°＝(m1＋m2)v2①‎ A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：‎ m1v2＝m1gsin 30°，②‎ 由①②得＝1∶2.‎ 针对训练　如图3所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕轴O无摩擦的转动，使杆从水平位置无初速度释放．求当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？‎ 图3‎ 答案　－mgL　mgL 解析　设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgL＋mgL＝mvA2＋mvB2①‎ 因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，‎ 故vB＝2vA②‎ 联立①②得：vA＝，vB＝.‎ 根据动能定理，对A有：WA＋mg·＝mvA2－0，‎ 解得WA＝－mgL.‎ 对B有：WB＋mgL＝mvB2－0，解得WB＝mgL.‎ 三、机械能守恒定律与动能定理的综合应用 例3　为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l＝2 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图4所示．一个质量m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5 m/s从A 点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4 m/s.取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.‎ 图4‎ ‎(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；‎ ‎(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；‎ ‎(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？‎ 答案　(1)90 N　(2)－16.5 J　(3)R≤0.32 m 解析　(1)设小物块到达C点时受到的支持力大小为FN，‎ 根据牛顿第二定律有，FN－mg＝m 解得：FN＝90 N 根据牛顿第三定律得，小物块对圆轨道压力的大小为90 N ‎(2)小物块从A到C的过程中，根据动能定理有：‎ mglsin 37°＋Wf＝mvC2－mv02‎ 解得Wf＝－16.5 J ‎(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v1，‎ 为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，‎ 则v1≥ 小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：‎ mvC2＝mv12＋2mgR，当v1＝时，‎ 联立解得R＝0.32 m，‎ 所以为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，竖直圆弧轨道的半径应满足R≤0.32 m.‎ ‎1．(机械能是否守恒的判断)(多选)如图5所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．对于小球下降阶段，‎ 下列说法中正确的是(不计空气阻力)(　　)‎ 图5‎ A．在B位置小球动能最大 B．在C位置小球动能最大 C．从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加 D．整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒 答案　BD 解析　小球从B运动至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，从C运动到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误，B正确．小球下降过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒，D正确；从A→C位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故C错误．‎ ‎2．(多物体组成的系统机械能守恒问题)(多选)如图6所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧．开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为g.在此过程中，下列说法正确的是(　　)‎ 图6‎ A．物块a的机械能守恒 B．物块b的机械能减少了mgh C．物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量 D．物块a、b与地球组成的系统机械能守恒 答案　CD 解析　释放b后物块a加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项A错误．‎ 对物块a、b与地球组成的系统，只有重力做功，故机械能守恒，选项D正确．物块a、b构成的系统机械能守恒，有(3m)g－mg＝mv2＋(3m)v2，解得v＝；物块b动能增加量为(3m)v2＝mgh，重力势能减少mgh，故机械能减少mgh－mgh＝mgh，选项B错误．由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等，故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量，选项C正确．‎ ‎3．(机械能守恒定律与动能定理的综合应用)如图7所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R＝0.4 m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与半圆形轨道在C处连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧原长状态的右端．将一个质量为m＝0.8 kg的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处时对轨道的压力大小为F1＝58 N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x＝0.3 m，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC段光滑．g＝10 m/s2，求：‎ 图7‎ ‎(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；‎ ‎(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．‎ 答案　(1)11.2 J　(2)10 N，方向竖直向上 解析　(1)对小球在C处，由牛顿第二定律、牛顿第三定律及向心力公式得F1－mg＝m，‎ 解得vC＝5 m/s.‎ 从A到B由动能定理得Ep－μmgx＝mvC2，‎ 解得Ep＝11.2 J.‎ ‎(2)从C到D，由机械能守恒定律得：‎ mvC2＝2mgR＋mvD2，‎ vD＝3 m/s，‎ 由于vD＞＝2 m/s，‎ 所以小球在D点对轨道外壁有压力．‎ 小球在D点，由牛顿第二定律及向心力公式得F2＋mg＝m，解得F2＝10 N.‎ 由牛顿第三定律可知，小球在D点对轨道的压力大小为10 N，方向竖直向上．‎ 一、选择题 ‎1.如图1所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中(　　)‎ 图1‎ A．小球的机械能守恒 B．重力对小球不做功 C．轻绳的张力对小球不做功 D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量 答案　C 解析　斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错，C对；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错．‎ ‎2.如图2所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h，若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)‎ 图2‎ A. B. C. D．0‎ 答案　B 解析　小球A由静止释放到下降h的过程中系统机械能守恒，则mgh＝Ep.小球B由静止释放到下降h的过程中系统机械能也守恒，则2mgh＝Ep＋(2m)v2，解得v＝，故B正确．‎ ‎3.如图3所示的滑轮光滑轻质，空气阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度为H＝0.5 m，g＝10 m/s2.M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为(　　)‎ 图3‎ A. m/s ‎ B．3 m/s C．2 m/s ‎ D．1 m/s 答案　A 解析　对系统运用机械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝(M1＋M2)v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，B、C、D错误．‎ ‎4.如图4所示，小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮足够远，A离地面足够高，物体A和B同时从静止释放，释放后短时间内B能保持静止，A下落h高度时，B开始沿斜面上滑，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图4‎ A．B滑动之前，A机械能守恒 B．B滑动之前，A机械能减小 C．B滑动之前，A、B组成的系统机械能守恒 D．B 滑动之后，A、B组成的系统机械能守恒 答案　B 解析　B滑动之前，A下落时，绳子的拉力对A做负功，A的机械能不守恒，由功能关系知，A的机械能减小，故A错误，B正确；B滑动之前，A的机械能减小，B的机械能不变，则A、B组成的系统机械能减小，故C错误；B滑动之后，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则A、B组成的系统机械能不守恒，故D错误．‎ ‎5.(多选)如图5所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处．将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点速度为v，AB间的竖直高度差为h，则(　　)‎ 图5‎ A．由A到B重力做的功等于mgh B．由A到B重力势能减少mv2‎ C．由A到B小球克服弹力做功为mgh D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－ 答案　AD 解析　重力做功只和高度差有关，故由A到B重力做的功等于mgh，选项A正确；由A到B重力势能减少mgh，选项B错误；由A到B小球克服弹力做功为W＝mgh－mv2，选项C错误，D正确．‎ ‎6.(多选)内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图6所示，由静止释放后(　　)‎ 图6‎ A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能 B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能 C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点 D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 答案　AD 解析　环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点．‎ ‎7.(多选)如图7所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)‎ 图7‎ A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒 答案　BC 二、非选择题 ‎8.(机械能守恒定律的应用)一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图8所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．‎ 图8‎ 答案　2 解析　设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有2mgR－mgR＝×2mv2＋mvB2，由图可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vB＝v1＝vcos 45°，联立解得v＝2.‎ ‎9．(机械能守恒定律的应用)如图9所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与球连接，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：‎ 图9‎ ‎(1)a球离开弹簧时的速度大小va；‎ ‎(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；‎ ‎(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.‎ 答案　(1)　(2)2　(3)(m1＋10m2)gR 解析　(1)由a球恰好能到达A点知：m1g＝m1 ‎ 由机械能守恒定律得：m1va2－m1v A2＝m1g·2R 解得va＝.‎ ‎(2)对于b球由机械能守恒定律得：‎ m2vb2 ＝m2g·10R 解得vb＝＝2.‎ ‎(3)由机械能守恒定律得：Ep＝m1v a2＋m2vb2‎ ‎ 解得Ep＝(m1＋10m2)gR.‎ ‎10．(机械能守恒定律的应用)物块A的质量为m＝2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑．坡道顶端距水平面高度为h＝1 m，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道M处，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图10所示．物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：‎ 图10‎ ‎(1)物块滑到O点时的速度大小；‎ ‎(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；‎ ‎(3)物块A被弹回到坡道后上升的最大高度．‎ 答案　(1)2 m/s　(2)4 J　(3) m 解析　(1)由动能定理得mgh－＝mv2‎ 代入数据解得v＝2 m/s ‎(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得mv2＝Ep 代入数据解得Ep＝4 J ‎(3)设物块A能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得 ‎0－mv2＝－mgh1－ 代入数据解得h1＝ m.‎