【物理】2020届一轮复习人教版第四章第4讲万有引力与航天作业 32页

第4讲　万有引力与航天 主干梳理 对点激活 知识点　　开普勒行星运动定律　Ⅰ ‎1．定律内容 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。‎ 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。‎ 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。‎ ‎2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。‎ 知识点　　万有引力定律及应用　Ⅱ ‎1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。‎ ‎2．公式：F＝G，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。‎ ‎3．适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。‎ 知识点　　环绕速度　Ⅱ ‎1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。‎ ‎2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。‎ ‎3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。‎ ‎4．第一宇宙速度的计算方法 ‎(1)由G＝m，解得：v＝ ；‎ ‎(2)由mg＝m，解得：v＝。‎ 知识点　　第二宇宙速度和第三宇宙速度　Ⅰ ‎1．第二宇宙速度(脱离速度)‎ 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。‎ ‎2．第三宇宙速度(逃逸速度)‎ 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。‎ 知识点　　经典时空观和相对论时空观　Ⅰ ‎1．经典时空观 ‎(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；‎ ‎(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。‎ ‎2．相对论时空观 ‎(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝；‎ ‎(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一 思维辨析 ‎1．只有天体之间才存在万有引力。(　　)‎ ‎2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝来计算物体间的万有引力。(　　)‎ ‎3．牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。(　　)‎ ‎4．不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的。(　　)‎ ‎5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(　　)‎ ‎6．探月卫星的发射速度必须大于第三宇宙速度。(　　)‎ 答案　1.×　2.×　3.×　4.√　5.√　6.×‎ 二 对点激活 ‎1．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是(　　)‎ A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的 答案　C 解析　万有引力公式F＝G适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看做质点，故F＝G已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪许测得的，D错误。‎ ‎2．(人教版必修2·P48·T3改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为(　　)‎ A.v B.v C.v D.v 答案　A 解析　第一宇宙速度由＝求得，v＝ ，故＝ ＝ ，所以v火＝v，故A正确。‎ ‎3．(人教版必修2·P36·T4)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？‎ 答案　2062年 解析　设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，根据开普勒第三定律＝k，有＝，则哈雷彗星的公转周期T＝T0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986＋76.4≈2062年。‎ ‎4．(人教版必修2·P41·T3)一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力。‎ 答案　3.36×10－37 N 解析　两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力F＝G＝3.36×10－37 N。‎ 考点细研 悟法培优 考点1　开普勒三定律的理解与应用 ‎1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看做匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。‎ ‎2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。‎ ‎3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。‎ ‎4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。‎ 例1　(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0‎ ‎。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)‎ A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 解题探究　(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？‎ 提示：不相等。‎ ‎(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？‎ 提示：没有。‎ 尝试解答　选CD。‎ 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。‎ 总结升华 绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。‎ ‎[变式1－1]　(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)‎ A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案　B 解析　开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发现的，D错误。‎ ‎[变式1－2]　(2018·武汉五月训练) 我国预计在2018年12月发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积S＝πab)(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设探测器在轨道Ⅰ上运动的周期为T1，在轨道Ⅱ上运动的周期为T2，则在轨道Ⅰ上扫过的面积速率为：，在轨道Ⅱ上扫过的面积速率为：，由开普勒第三定律可知：＝，由以上三式联立解得，＝·＝·＝，故C正确。‎ 考点2　天体质量和密度的估算 ‎1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。‎ ‎(1)由G＝mg得天体质量M＝。‎ ‎(2)天体密度ρ＝＝＝。‎ ‎2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。‎ ‎(1)由G＝m得天体的质量M＝。‎ ‎(2)若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝＝＝。‎ ‎(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。‎ 例2　(2018·四川蓉城联考)中共十九大召开之际，据中央台报道，我国已经发射了一百七十多个航天器。其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则(　　)‎ A．月球的质量可表示为 B．组合体与月球运转的线速度比值为 C．地球的密度可表示为 D．组合体的向心加速度可表示为2g 解题探究　(1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球的质量吗？‎ 提示：不能。只能求中心天体地球的质量。‎ ‎(2)距地面高度为h的圆形轨道半径为多少？‎ 提示：R＋h。‎ 尝试解答　选C。‎ 由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G＝m，解得v＝，则组合体和月球的线速度比值为 ，B错误；对于组合体，由G＝m·(R＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR3，整理解得ρ＝＝，C正确；由G＝ma，G＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝2g，D错误。‎ 总结升华 估算天体质量和密度时应注意的问题 ‎(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。‎ ‎(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。‎ ‎(3)在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg。‎ ‎[变式2－1]　(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)‎ A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)‎ B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 答案　D 解析　根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。‎ ‎[变式2－2]　(2019·宁夏育才中学月考)如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为r，另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动，半长轴为a。已知椭圆形轨道卫星绕地球n圈所用时间为t，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　椭圆形轨道卫星的运行周期为T0＝，根据开普勒第三定律得＝，则圆形轨道卫星的周期为T＝T0，对于圆形轨道卫星，万有引力等于向心力，G＝mr，地球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝，A正确。‎ 考点3　人造卫星的运动规律 ‎1．人造卫星的运动规律 ‎(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。‎ ‎(2)两条思路 ‎①万有引力提供向心力，即G＝ma。‎ ‎②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。‎ ‎(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)‎ ‎2．地球同步卫星的特点 ‎(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。‎ ‎(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。‎ ‎(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。‎ ‎(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。‎ ‎(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。‎ ‎3．极地卫星和近地卫星 ‎(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。‎ ‎(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。‎ ‎(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。‎ 例3　(2018·南宁、柳州联考)如图所示，两颗质量相同的人造卫星A、B仅受地球的引力作用在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知在运动过程中，A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则A、B(　　)‎ A．动能之比为sinθ∶1 B．动能之比为tanθ∶1‎ C．周期之比为sin2θ∶1 D．周期之比为sinθ∶1‎ 解题探究　(1)如何找到OA连线与A、B连线的最大夹角？‎ 提示：假设A不动，连接OA，观察B运动过程中，何时OA与AB夹角最大。‎ ‎(2)卫星的v、T与轨道半径有什么关系？‎ 提示：由＝得v＝，由＝mr得T＝。‎ 尝试解答　选A。‎ 运动过程中OAB构成一个三角形，假设A不动，只让B转动，很容易发现OB垂直AB时，OA与AB夹角最大，如图所示。由于OA、OB分别为卫星A、B的轨道半径rA、rB，则有sinθ＝。由万有引力提供向心力可得G＝m，G＝m2r，可求出A与B的动能之比＝＝＝，周期之比＝＝ ‎，A正确。‎ 总结升华 人造卫星问题的解题技巧 ‎(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。‎ G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。‎ (2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径 v＝＝7.9 km/s 万有引力近似等于卫星的重力，即 ‎ mg＝m，v＝＝7.9 km/s。‎ (3)同步卫星：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。‎ 比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。‎ (4)天体相遇与追及问题的处理方法 首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1，2，3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2…‎ ‎[变式3－1]　(2018·武昌调研)2017年6月15日上午11时，我国在酒泉卫星发射中心采用长征四号乙运载火箭，成功发射了首颗X射线空间天文卫星——“慧眼”，该卫星工程将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。卫星发射入轨后，将开展多个方面的空间探测活动。已知“慧眼”在距地面高度为h的圆形轨道上运行，地球半径为R、地球自转周期为T0、地球表面的重力加速度为g、引力常量为G。则下列关于“慧眼”在轨运行的结论错误的是(　　)‎ A．线速度大小为v＝R B．角速度大小为ω＝ C．周期为T＝ D．向心加速度大小为a＝(R＋h)‎ 答案　D 解析　“慧眼”围绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供其做圆周运动的向心力，设“慧眼”的质量为m，则G＝m，又由于G＝m0g，m0为地球表面物体的质量，由以上两式整理可得“慧眼”的线速度大小为v＝，A正确；又由于G＝mω2·(R＋h)，整理解得ω＝ ，B正确；由于T＝，解得T＝ ，C正确；“慧眼”的向心加速度大小应为a＝(R＋h)，则D错误。‎ ‎[变式3－2]　(2018·湖南师大附中月考六)(多选)已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　CD 解析　设地球的质量为M，卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：＝，解得：T＝2π 。同步卫星的周期与地球自转的周期相同，即为T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：＝ ＝，解得：T＝。设卫星每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt得：t＝2nπ＋t，解得t＝(n＝1,2,3，…)，当n＝1时t＝，当n＝3时t＝，故A、B错误，C、D正确。‎ 考点4　航天器的变轨问题 当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行，前者是轨道的突变，后者是轨道的渐变。‎ ‎1．卫星轨道的渐变 ‎(1)当卫星的速度增加时，Gm，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。‎ ‎2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：‎ ‎(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。‎ ‎(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。‎ ‎3．卫星变轨时一些物理量的定性分析 ‎(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。‎ ‎(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQa1>a3 B．a3>a2>a1‎ C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3‎ 答案　D 解析　对于东方红一号与东方红二号，由G＝ma得：a＝，由此式可知a1>a2。对于地球同步卫星东方红二号和地球赤道上的物体，角速度相同，由a＝ω2r可知，半径大的加速度大即a2>a3。综上可知，a1>a2>a3，故D正确。‎ ‎5．(2018·银川一中第一次模拟)我国预计于2019年发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是(　　)‎ A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时所需的发射速度为7.9 km/s B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ需要加速 C．“嫦娥五号”从A沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其动能一直增加 D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速 ‎ 答案　B 解析　因v＝，知月球上g月TB B．EkA>EkB C．SA＝SB D.＝ 答案　AD 解析　卫星做匀速圆周运动时有＝m＝mRω2＝mR，则T＝2π ‎∝，故TA>TB，＝，A、D正确；Ek＝mv2＝∝，故EkA