【物理】2019届二轮复习万有引力与航天学案（江苏专用） 19页

第2讲　万有引力与航天 ‎1．两个基本规律 ‎(1)开普勒行星运动三定律：轨道定律、面积定律、周期定律．‎ ‎(2)万有引力定律：F＝G.‎ ‎2．两条基本思路 ‎(1)中心天体附近：GM＝gR2.‎ ‎(2)环绕卫星：F＝G＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r.‎ ‎3．三个宇宙速度 ‎(1)第一宇宙速度：‎ 由mg＝＝得：v1＝＝＝7.9 km/s.‎ 第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．‎ ‎(2)第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．‎ ‎(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．‎ 高考题型1　万有引力定律的理解及应用 ‎1．万有引力和重力的关系 ‎(1)不考虑自转的问题时，有＝mg，其中g为星球表面的重力加速度．‎ ‎(2)若考虑自转问题，则在两极上才有：＝mg.而在赤道上，则有：－mg＝mR.‎ ‎2．中心天体质量和密度的求解 ‎(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g 由G＝mg，求出M，进而求得ρ＝＝＝.‎ ‎(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T 由G＝mr可得出M＝，若环绕天体绕中心天体表面附近做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝.‎ 例1　(2018·江苏省高考压轴卷) “玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”在月球表面做了一个自由下落实验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.则(　　)‎ A．月球表面重力加速度为 B．月球“第一宇宙速度”为 C．月球质量为 D．月球同步卫星离月球表面高度为－R 答案　D 解析　由自由落体运动规律有：h＝g0t2，所以有：g0＝，故A项错误．月球的“第一宇宙速度”为近月卫星做匀速圆周运动的运行速度，根据重力提供向心力得mg0＝m，所以v1＝＝，故B项错误．在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则mg0＝G，所以M＝＝，故C项错误．月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：G＝m(R＋h)，解得h＝－R＝－R，故D项正确．‎ 拓展训练1　(2018·泰州中学开学考)因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设高锟星为均匀的球体，其质量为地球质量的倍，半径为地球半径的倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的(　　)‎ A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 答案　C 解析　设行星质量是M，半径是R，行星表面的物体质量是m，行星表面的物体受到的重力等于行星对它的万有引力，则G＝mg，重力加速度g＝，＝＝＝＝，故选C.‎ 拓展训练2　(多选)(2018·程桥高中模拟)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则(　　)‎ A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝1∶5‎ C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80‎ 答案　BD 解析　地球表面：t＝ 星球表面：5t＝ 联立解得：g′＝g 所以：g′∶g＝1∶5，故A错误，B正确；‎ 小球在地球或星球表面附近受到的万有引力等于小球重力，得：‎ 星球表面附近：＝mg′‎ 地球表面附近：＝mg 由题得：＝ 联立解得：＝，故C错误，D正确．‎ 拓展点　开普勒行星运动定律的理解 例2　(多选)如图1所示，一卫星沿椭圆轨道绕地球运动，其周期为24小时，A、C两点分别为轨道上的远地点和近地点，B为椭圆短轴和轨道的交点．则下列说法正确的是(　　)‎ 图1‎ A．卫星从A运动到B和从B运动到C的时间相等 B．卫星运动轨道上A、C间的距离和地球同步卫星轨道的直径相等 C．卫星在A点的机械能比在C点时机械能小 D．卫星在A点的加速度比地球同步卫星的加速度小 答案　BD 解析　卫星沿椭圆轨道运动，卫星从A运动到B，再从B运动到C，引力做正功，速度不断增大，所以卫星从A运动到B比从B运动到C的时间长，故A错误；根据开普勒第三定律＝k，该卫星与地球同步卫星的周期相等，则该卫星轨道的半长轴与地球同步卫星的轨道半径相等，则卫星运动轨道上A、C间的距离和地球同步卫星轨道的直径相等，故B正确；卫星从椭圆轨道上A点运动到C点过程中，只有引力做功，所以机械能守恒，故C错误；A点到地心的距离大于地球同步卫星轨道的半径，由G＝ma，解得：a＝G，可知卫星在A点的加速度比地球同步卫星的加速度小，故D正确．‎ 拓展训练3　(2018·盐城期中)如图2所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运动，其轨道的半长轴为r，周期为T，图中S1、S2两部分阴影面积大小相等．则(　　)‎ 图2‎ A．行星可以不在椭圆的焦点上 B．卫星从a到b的速率逐渐增大 C．卫星从a到b的运行时间大于从c到d的运行时间 D．椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与卫星的质量有关 答案　B 解析　根据开普勒第一定律知，卫星绕行星做椭圆运动，行星处于椭圆的一个焦点上，故A错误．卫星从a到b的过程中，万有引力做正功，根据动能定理知，速率增大，故B正确．根据开普勒第二定律知，S1、S2两部分阴影面积大小相等，则卫星从a到b的运行时间等于从c到d的运行时间，故C错误．根据开普勒第三定律知，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值是定值，此值与中心天体质量有关，与卫星的质量无关，故D错误．‎ 高考题型2　卫星运行参量的分析 ‎1．定量分析法：‎ ‎(1)列出连等式：G＝ma＝m＝mω2r＝mr.‎ ‎(2)导出四个表达式：a＝G，v＝，ω＝，T＝.‎ ‎(3)结合r的大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系．‎ ‎2．定性结论法：同一中心天体的不同卫星：r越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期和机械能均越大．‎ 例3　(2018·江苏单科·1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)‎ A．周期 B．角速度 C．线速度 D．向心加速度 答案　A 解析　设地球质量为M，人造卫星质量为m，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以选项A正确，B、C、D错误．‎ 拓展训练4　双星系统是由两颗恒星组成的，在两者间的万有引力相互作用下绕其连线上的某一点做匀速圆周运动．研究发现，双星系统在演化过程中，两星的某些参量会发生变化．若某双星系统中两星运动周期为T，经过一段时间后，两星的总质量变为原来的m倍，两星的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)‎ A.T B.T C.T D.T 答案　C 解析　由＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，r1＋r2＝L，得总质量m1＋m2＝，则T′＝T，故C正确．‎ 拓展训练5　(多选)如图3所示，A是地球同步卫星，B是位于赤道平面内的近地卫星，C为地球赤道上的物体．已知地球半径为R，同步卫星离地面的高度为h，A、B、C的质量相等，则(　　)‎ 图3‎ A．A、B加速度的大小之比为2‎ B．A、C加速度的大小之比为1＋ C．A、B、C的动能大小关系为EkA＞EkB＞EkC D．要将B卫星转移到A卫星的轨道上运行，至少需要对B卫星进行两次加速 答案　BD 解析　根据万有引力提供向心力可知G＝ma，得aA＝G，aB＝G，故＝2，选项A错误；A、C角速度相同，根据a＝ω2r得aA＝ω2(R＋h)，aC＝ω2R，故＝1＋，选项B正确；根据G＝m得v＝，所以vB＞vA，又A、C角速度相同，根据v＝ωr可知vA＞vC，故vB＞vA＞vC，由Ek＝mv2可知选项C错误；要将B卫星转移到A卫星的轨道上，先要加速到椭圆轨道上，再由椭圆轨道加速到A卫星的轨道上，选项D正确．‎ 拓展点　拉格朗日点问题 例4　如图4所示，NASA的新一代詹姆斯韦伯太空望远镜推迟到2021年发射，到时它将被放置在太阳与地球的第二拉格朗日点L2处，飘荡在地球背对太阳后方150万公里处的太空．其面积超过哈勃望远镜5倍，其观测能力可能是后者70倍以上，L2点处在太阳与地球连线的外侧，在太阳和地球的引力共同作用下，卫星在该点能与地球一起绕太阳运动(视为圆周运动)，且时刻保持背对太阳和地球的姿势，不受太阳的干扰而进行天文观测．不考虑其他星球影响，下列关于工作在L2点的天文卫星的说法中正确的是(　　)‎ 图4‎ A．它绕太阳运行的向心力由太阳对它的引力充当 B．它绕太阳运行的向心加速度比地球绕太阳运行的向心加速度小 C．它绕太阳运行的线速度比地球绕太阳运行的线速度小 D．它绕太阳运行的周期与地球绕太阳运行的周期相等 答案　D 高考题型3　卫星变轨与对接 ‎1．速度的比较：椭圆运动，远地(日)点的速度小于近地(日)点的速度；变轨时，相切点外侧轨道经过切点的速度大于内侧轨道经过切点的速度．‎ ‎2．加速度的比较：无论卫星做匀速圆周运动，还是椭圆运动，其加速度a＝，相切点加速度相同．‎ ‎3．周期的比较：由开普勒第三定律＝k，卫星轨道半径越大(或半长轴越长)，周期越大．‎ ‎4．机械能的比较：‎ 正常匀速圆周或椭圆运行的卫星机械能守恒，点火加速变轨，则卫星的机械能变大，点火减速变轨，卫星机械能变小．‎ 例5　(多选)(2018·苏州市模拟)信使号探测器围绕水星运行了近4年，在信使号水星探测器陨落水星表面之前，工程师通过向后释放推进系统中的高压氦气来提升轨道，使其寿命再延长一个月，如图5所示，释放氦气前，探测器在贴近水星表面的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，释放氦气后探测器进入椭圆轨道Ⅱ，忽略探测器在椭圆轨道上所受阻力．则下列说法正确的是(　　)‎ 图5‎ A．探测器在轨道Ⅱ的运行周期比在轨道Ⅰ的大 B．探测器在轨道Ⅱ上某点的速率可能等于在轨道Ⅰ上的速率 C．探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过E处时加速度相同 D．探测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，势能和动能均增大 答案　ABC 解析　根据开普勒第三定律知，＝k，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，则探测器在轨道Ⅱ的运行周期比在轨道Ⅰ的大，故A正确．在轨道Ⅱ上E点的速度大于轨道Ⅰ上经过E点的速度大小，由于远离水星的过程中，速度减小，探测器在轨道Ⅱ上某点的速率可能等于在轨道Ⅰ上的速率，故B正确．根据牛顿第二定律知，在不同轨道的E点，所受的万有引力相等，则加速度相同，故C正确．探测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，高度升高，势能增大，万有引力做负功，动能减小，故D错误．‎ 拓展训练6　(多选)(2018·南通等六市一调)我国“天宫一号”飞行器完成了所有任务，已在2018年上半年坠入大气层后烧毁．如图6所示，设“天宫一号”原来在圆轨道Ⅰ上飞行，到达P点时转移到较低的椭圆轨道Ⅱ上(未进入大气层)，则天宫一号(　　)‎ 图6‎ A．在P点减速进入轨道Ⅱ B．在轨道Ⅰ上运动的周期大于轨道Ⅱ上运动的周期 C．在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅱ上的加速度 D．在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能 答案　ABD 解析　在P点减速，提供的向心力大于需要的向心力，“天宫一号”做近心运动可以进入轨道Ⅱ，故A正确；根据开普勒第三定律：＝，可知轨道Ⅰ半径大于在轨道Ⅱ的半长轴，所以在轨道Ⅰ上运动的周期大于轨道Ⅱ上运动的周期，故B正确；根据万有引力提供向心力：G＝ma，解得：a＝G，可知在轨道Ⅰ上的加速度不会大于在轨道Ⅱ上的加速度，故C错误；由上可知在P点轨道Ⅰ上的动能大于在轨道Ⅱ上时的动能，故“天宫一号”在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能，故D正确．‎ 拓展训练7　2017年4月22日“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室交会对接、实施推进剂在轨补加、开展科学实验和技术试验等功能．若对接前它们都绕地球做匀速圆周运动，且“天舟一号”处于低轨道，“天宫二号” 空间实验室处于高轨道，如图7所示，则(　　)‎ 图7‎ A．“天舟一号”在地面上的发射速度不会超过7.9 km/s B．为了顺利实现对接，“天舟一号”在图示轨道需要点火减速 C．对接成功后，“天舟一号”的动能减小，机械能增大 D．对接后，由于“天宫二号”的质量增大，其轨道降低 答案　C 解析　第一宇宙速度7.9 km/s为卫星实现绕地球做圆周运动时的最小发射速度，故A错误；开始时“天舟一号”处于低轨道，为了顺利实现对接，“天舟一号”在图示轨道需要点火加速做离心运动，故B错误；“天舟一号”运动到“天宫二号”所在轨道后，外力对“天舟一号”做正功，机械能增大，由v＝知，轨道高度增大，速度减小，动能也减小，故C正确；对接后，“天宫二号”的质量增大，与地球间万有引力变大，所需的向心力也增大，由G＝m知，“天宫二号”的轨道高度与其质量m无关，因此轨道不变，故D错误．‎ 拓展点　卫星追及问题 例6　(多选)(2018·第二次江苏大联考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图8所示．已知地球自转周期为T1，B的周期为T2，则下列说法正确的是(　　)‎ 图8‎ A．A加速可追上同一轨道上的C B．经过时间，A、B相距最远 C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度 D．A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积不等 答案　BD 解析　同一轨道，若A加速，则离开原轨道，故不可能追上同一轨道上的C，选项A错误；设经过时间t，A、B相距最远，可得－＝π，则得经过时间t＝，A、B相距最远，选项B正确；根据公式a＝可得，A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星在相同时间内扫过的面积相等，可得A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积不等，选项D正确．‎ 专题强化练 ‎1．(2018·江苏六校联考)“神舟十号”飞船在预定轨道上做匀速圆周运动，在该飞船的密封舱内，如图1所示的实验能够进行的是(　　)‎ 图1‎ A．宇航员生活废水过滤处理实验 B．研究动能与重力势能转化规律实验 C．用弹簧拉力器比较力的大小 D．血浆与血细胞自然分层实验 答案　C ‎2.(2018·如皋市模拟)如图2所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点．下列说法中正确的是(　　)‎ 图2‎ A．卫星在A点的角速度大于在B点的角速度 B．卫星在A点的加速度小于在B点的加速度 C．卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加 D．卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大 答案　B 解析　近地点的速度较大，可知卫星在B点的线速度大于在A点的线速度，根据ω＝知， 卫星在A点的角速度小于在B点的角速度，故A错误．根据牛顿第二定律得，a＝＝，可知卫星在A点的加速度小于在B点的加速度，故B正确．卫星沿椭圆轨道运动，从A到B，万有引力做正功，动能增加，势能减小，机械能守恒，故C、D错误．‎ ‎3．(多选)(2018·徐州三中月考)假如一做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则(　　)‎ A．根据公式v＝ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 B．根据公式F＝m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的 C．根据公式F＝G，可知地球提供的向心力将减小到原来的 D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的 答案　CD 解析　根据万有引力提供圆周运动的向心力有G＝m＝mrω2，v＝，可知当轨道半径增大到原来的2倍时，线速度变为原来的，故A错误，D正确；根据万有引力提供圆周运动的向心力，即F＝G，当轨道半径增大到原来的2倍时，可知卫星所需的向心力减小为原来的，地球提供的向心力将减小到原来的，故B错误，C正确．‎ ‎4．(多选)(2018·盐城市期中) 半径为R的木星表面重力加速度为g0；卫星绕木星公转的轨道半径为r(r＞R)、周期为T、角速度为ω.已知引力常量为G，为求木星的质量，需要的物理量是(　　)‎ A．g0，r B．g0，R C．ω，T D．r，T 答案　BD 解析　根据木星表面万有引力等于重力得：G＝mg0得木星的质量为：M＝，故A错误，B正确．周期T＝，知道周期和角速度无法求出木星的质量，故C错误．根据G＝mr得，木星的质量为：M＝，故D正确．‎ ‎5．(2018·徐州市期中)牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．牛顿设想一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是(　　)‎ A．地球的球心与椭圆的中心重合 B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率 C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度 D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 答案　C 解析　根据开普勒第一定律可知，地球的球心应与椭圆的一个焦点重合，故A错误；卫星在近地点时的速率要大于在远地点的速率，故B错误；根据万有引力定律G＝ma可知，卫星在远地点的加速度一定小于在近地点的加速度，故C正确；根据开普勒第二定律可知，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，而不是与椭圆中心的连线，故D错误．‎ ‎6．中国把第三代北斗导航卫星发射升空，并送入绕地球的椭圆轨道时，该卫星发射速度v大小的范围是(　　)‎ A．v＜7.9 km/s B．7.9 km/s＜v＜11.2 km/s C．11.2 km/s＜v＜16.7 km/s D．v＞16.7 km/s 答案　B ‎7.(2018·扬州中学模拟)假设在宇宙中存在这样三个天体A、B、C，它们在一条直线上，天体A离天体B的高度为某值时，天体A和天体B就会以相同的角速度共同绕天体C运转，且天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，如图3所示．以下说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A．天体A做圆周运动的加速度小于天体B做圆周运动的加速度 B．天体A做圆周运动的速度小于天体B做圆周运动的速度 C．天体B做圆周运动的向心力等于天体C对它的万有引力 D．天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力 答案　D 解析　由于天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，角速度相同，由a＝ω2r，可知天体A做圆周运动的加速度大于天体B做圆周运动的加速度，故A错误．由公式v＝ωr知，角速度相同，天体A做圆周运动的速度大于天体B做圆周运动的速度，故B错误．天体B做圆周运动的向心力是A、C对天体B的万有引力的合力提供的，所以天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力，故C错误，D正确．‎ ‎8．2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射X射线调制望远镜卫星“慧眼”．“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越．“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象．在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L(黑洞的半径远小于黑洞之间的距离)，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　双黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，有：G＝m1r1，G＝m2r2，解得m2＝，m1＝，则双黑洞总质量为：m总＝m1＋m2＝，故选A.‎ ‎9．(多选)(2018·徐州市期中)地球和火星围绕太阳的公转均可以看作匀速圆周运动．地球的轨道半径为r1，周期为T1，运行速度为v1，角速度为ω1，加速度为a1，火星的轨道半径为r2，周期为T2＝kT1，运行速度为v2，角速度为ω2，加速度为a2.下列关系正确的有(　　)‎ A.＝k B.＝ C.＝ D.＝ 答案　AB 解析　根据G＝mr得：T＝，‎ 可知 ＝＝k，解得：＝，‎ 因为ω＝，则有：＝＝k，故A、B正确．‎ 根据G＝m得：v＝，则有：＝＝，故C错误．根据G＝ma，得：a＝，则有：＝＝，故D错误．‎ ‎10．(多选)(2016·江苏单科·7)如图4所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)‎ 图4‎ A．TA>TB B．EkA>EkB C．SA＝SB D.＝ 答案　AD 解析　由＝＝mR和Ek＝mv2可得T＝2π，Ek＝，因RA>RB，则TA>TB，EkA