【物理】2018届二轮复习例谈高中物理习题解决的“分割法”学案（全国通用） 9页

例谈高中物理习题解决的“分割法”‎ 人们常说：饭要一口一口来吃，事应一件一件去做。“分割”，分离、割开之意。分割大有分析或拆解的韵味，既有巧妙分割，自然也会有恰当补偿。仔细想来，其中的确充满了唯物辩证的观点。‎ 在高中物理习题解决过程中，常常采用分割思维方法，简称“分割法”。‎ 所谓分割法，是指针对研究对象如物体、电路等，先进行巧妙分割，然后再应用相应的物理概念、规律予以解决的方法。‎ 在中学物理中，常用“分割法”分析和解决问题，必须注意从效果相同的实际出发，力求简明轻快而准确无误。善用者，则得思维、破解之捷径，使之删繁就简，化难为易 ，大有事半功倍之妙。‎ ‎【例题解析】‎ 我们先来讨论有关绳索一类的张力的问题。‎ 图6—5—1‎ ‎【例题1】重为G的链条，两端用细线挂于天花板上，且细线与水平方向的夹角均为，如图6—5—1所示。试求：链条两端所受的拉力和中央处产生的张力的大小。‎ ‎ 【解析】先采用整体法，分析链条整体的受力情况，作出示意图如图6—5—2所示。‎ ‎ 然后，依物体的平衡条件，可得 ‎ ‎ 由此求出 ‎ 此即链条两端所受的拉力的大小。‎ 图6—5—2‎ 接下来，再把链条分割，一分为二而取其左段。受力情况与前有所不同，如图6—5—3所示。同理，可得 ‎ ‎ 由此则又可求出 ‎ ‎ 图6—5—3‎ 此即链条中央处产生的张力的大小。‎ 平时我们常见到绳索-滑轮等一类习题解决的条件，总是有类似“绳子不可伸长、且不计质量”等说法。显然，“不可伸长”即不用考虑其形变，绳子是刚性绳；那么，为什么还需要“不计质量”呢？‎ ‎【例题2】如图6—5—4所示，在光滑水平面上，以质量为m、伸长不能忽略的绳，沿水平方向拉一个质量为M的滑块，使其做匀加速直线运动。已知,滑动摩擦因数，恒定外力为,求：‎ ‎⑴绳对滑块的拉力的大小；‎ 图6—5—4‎ ‎⑵绳中点处的张力有多大？‎ ‎【解析】⑴实际上，我们只要采用分割法，先把绳与滑块连接处切开，分析绳、滑块的受力情况，于是就有类似“连接体”的受力结构示意图如6—5—5所示。‎ 于是，分别应用牛顿二、三定律可得 图6—5—5‎ ‎ ‎ 代入已知数据解以上两式，即可求出 ‎ 。 ‎ ‎⑵把绳从中点切开，于是就有类似“连接体”的受力结构示意图如6—5—6所示。‎ 图6—5—6‎ 从而，由牛二、三定律，可得 ‎ 代入已知数据解以上两式，即可求出 ‎ ‎ 。 ‎ ‎【点拨】由上述解答可见，在讨论类似“连接体”的运动或平衡问题时，若绳索（或弹簧）的质量不能忽略，则绳对物体的拉力比对应的外力小；绳内各处的张力比绳对物体的拉力要大一些。‎ 我们知道，地球表面或附近空域中的物体的重力或引力的计算，可应用万有引力定律解决。现在换一个角度，若物体置于地球内部某一深度处，你又怎样计算出它的重力或加速度呢？‎ ‎【例题3】假设地球质量分布均匀，其平均密度为,如图6—5—7所示。试求质量为m、距地心为r的物体所受的重力及重力加速度。‎ 图6—5—7‎ ‎【解析】分析表明，地球内部所有阴影区域的质量对物体m的引力，可认为能够相互抵消。因此，可以把物体所受地球的重力——引力，看作是由半径为r的球体所产生，可把阴影部分“分割”并予以清除。从而，由万有引力定律，可得 ‎ ‎ 再由牛二定律。又得 ‎ 。‎ 图6—5—9‎ 图6—5—8‎ ‎【例题4】把一个半径为马德堡半球放在海水中,距海水表面深度为的处,已知海水密度为，忽略自身的重力，不计大气压的影响，问:欲把两个半球分开,需要多大的拉力?() ‎ ‎【解析】我们知道，静止流体内部的某点的压强，在各个不同方向都是相等的。分析表明，马德堡半球所受的压力，应该等效于直径与其相同的圆盘所受的压力，如图6—5—8和6—5—9所示。‎ 从而，由物体的平衡条件，可得 图6—5—10‎ 由此可求出把两个半球分开,需要的拉力为 ‎ ‎ ‎ ‎ 【例题5】如图6—5—10所示，一块均匀的半圆形电阻片，当按(a)方式连接在A、B之间时，测得电阻为R；当按（b）方式接在电极C、D之间时，试问电阻等于多少？‎ ‎【解析】应用分割法，将电阻等分成两个圆片，设每个圆片的电阻为2R。可以看出：在(a)中，相当于两个2R的电阻并联，其电阻恰好为R。在（b）中，则相当于两个2R的电阻串联，不难求出 ‎。‎ ‎【点拨】由此推知，两块彼此拼接、形状不同的金属薄片的电阻，接入电路时的两接入点位置不同，其总电阻往往不同。‎ 图6—5—11‎ ‎【例题6】如图6—5—11所示的电路，和之间有温恒电压。开关S断开时电流表有一读数；开关S接通后电流表的读数有一增量,而此时的读数为.求图中的阻值。（其他电阻的阻值均已在图中标出）‎ ‎【解析】解决此题的关键是，如何求出MN两点之间的电阻。为此，对原电路进行简化处理。‎ 图6—5—12‎ 先把MN后面的网络，“分割、剥离”，设其有效电阻为，则此电路即可得以有效简化为如图6—5—12所示 的电路。我们看到此部分电路图。由一个惠思通电桥和另一电阻并联而成的。‎ 然后，计算MN间的有效电阻。比较电桥的四臂电阻，则 ‎ ‎ 因此，跨接在电桥中间的的电阻两端的电势相等，因而通过该电阻的电流为零。从而，由并联电阻的特点公式，可得 ‎ ‎ 不难求出计算的值 ‎ ‎ ‎ 接下来，当开关S接通电路后，电流表的读数有一增量，即干路电流增加20mA,因而MN之间的电压必将增加 ‎ ‎ 最后，回顾 和之间接有稳恒电压，因而的增加，必定同时减少另一部分的电路电压为代价。显然，电阻上的电压必定减少，亦即 ‎ ‎ 再由欧姆定律，求出题目要求的电阻 ‎.‎ ‎ 【点拨】题设电路经两次等效变换后，所得虚线框内的电阻组合，左边那五个电阻组成桥式电路，名曰惠思登电桥。当电桥平衡时，作为“桥”的电阻中电流为零；反之，若“桥电阻”中电流为零，则电桥将平衡。亦即桥电阻两端点的电势相等。‎ 图6—5—13‎ 图6—5—14‎ ‎【例题7】如图6—5—13，在匀强磁场B中，放置半径为R、电流为I的通电圆环，试求环内张力T的大小。‎ ‎ 【解析】类似地，先沿竖直直径MN把环 “一分为二”，再选左半环为研究对象，如图6—5—14所示。‎ ‎ 由图可见，M、N两端面处的张力大小相等，方向均向右。一般说来，计算安培力的大小时，弯曲导线的有效长度即连接两端点的线段的长度，该线段的中点即安培力的作用点。从而，由左手定则、安培力公式可得 ‎ ‎ 显见，其方向是向左的。‎ ‎ 然后，依三力平衡条件，得 ‎ ‎ 再联立以上两式，即可求出 ‎ 。‎ 图6—5—16‎ ‎【例题8】试证明，正弦交流电的有效值与最大值具有下列关系：‎ ‎【解析】首先，由交变电流的瞬时值、电功率的知识，可知电源内阻为r，通过负载电阻的电流为，则交流电的瞬时功率可表示为 现仅对该交流电在一个周期内完成的功率进行研究，我们可画出如图6—5—16所示交流电的图象。其中，曲线与时间轴所围“阴影”区域的面积表示交流电在一个周期内产生的热量。这里，我们仍旧应用“切割法”，通过“削峰填谷”，我们可以看到的曲线与时间轴所围的面积，正好等于高为、宽为的矩形面积。‎ 图6—5—17‎ 然后，依交流电有效值的定义，可得 进而，求出正弦交流电的电流的有效值 ‎ ‎ 最后，再依据欧姆定律，可求出电压、电动势的各自的有效值 ‎ ‎ 【点拨】‎ 事实上，这里图形的处理和变换的目的，是为了化不典型为典型，进而便于分析和讨论。“削峰”是分割，“填谷”则为补偿，各有妙趣，而最终新旧图形的面积相同。‎ ‎【例题9】如图——所示，将焦距的凸透镜，从中央切去宽为的一块C；然后，将剩下的A、B两部分胶合在一起。若在A、B的对称轴上，距离透镜为处一点光源S，求像的位置。‎ 图6—5—18‎ ‎【解析】在这种情况下，相当于两个焦距相同的透镜A和B，且A的主轴向下平移，B的主轴向上移动。‎ 依据透镜公式，将成两个对称的像，且像距为 ‎0‎ 由于像的放大率公式可求出 因此，两虚象SA和SB的间距为 ‎ 。‎ ‎【点拨】请细心的读者自己用作图法，再求出SB 的位置，此处从略。‎ ‎ ‎ 图6—5—20‎ 图6—5—19‎ ‎【例题11】一中间有细孔、质量为M的滑块穿于光滑的水平细杆上，滑块下用细绳与质量为m的小球相连接在，整个系统原本处于静止状态。现用手按住滑块，并拉小球偏离初始位置，使之与竖直方向成一微小角度（），然后一起释放。我们会发现，滑块、小球均在同一竖直平面内做小幅振动。已知细绳长为,不计空气阻力，求小球的振动周期。‎ ‎ 【解析】‎ 首先，对系统受力分析表明，无论静止还是运动，系统所受合外力始终为零，因而系统的质量中心——质心O位置不动。由于细绳对滑块的拉力、小球所受重力等提供各自的恢复力，因此它们都以质心O为非对称中心，做周期相同的小振动。可以证明，在的情况下，其运动均为简谐运动。‎ 由图6—5—20可见，若对系统作一等效“分割”，暂不去考虑滑块的运动问题。质心O即可作为小球的悬点，质心下的部分细线即可作为单摆的“等效”摆长。‎ 然后，我们必须确定出O点的位置。计算质心在细绳（线段）的位置的处理方法，类似于非等臂天平的平衡。从而 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 联立①②式，容易求出摆球的等效摆长 ‎ ‎ ‎ 最后，应用单摆的周期公式，代入以上数据，即可求出以下结果 ‎ 。‎ 此即小球的振动周期。‎ ‎ 【点拨】理论力学曾有类似习题出现，而解法繁难驳杂，这里联应用质心或重心知识，再结合等效单摆的周期公式予以解决。‎ ‎【例题12】（12安徽）如图6—5—21所示，半径为均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点（坐标为）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：，方向沿轴。现考虑单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点（坐标为）的电场强度为 ( )‎ 图6—5—21‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】当时，，则，当挖去半径为r的圆孔时，应在E中减掉该圆孔对应的场强，即。选项A正确。‎ ‎【点拨】显然，此例应用分割法来解答，实际解决过程中，一则应用极限思维法，二则进一步应用同一直线上场强合成的方法。‎ ‎ 除上述所论分割法而外，高中物理解题中还有所谓“补偿法”，读者可参阅其它文章。‎ ‎（本文节选自《高中物理思维方法集解》第六章逻辑思维方法）‎