2020-2021高中必修三数学上期中试卷(带答案)(3) 19页

2020-2021 高中必修三数学上期中试卷 ( 带答案 )(3) 一、选择题 1．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的 两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进 行更正后，重新求得样本的平均数为 x ，方差为 2s ，则 A． 270, 75x s B． 270, 75x s C． 270, 75x s D． 270, 75x s 2．用电脑每次可以从区间 0,1 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性 的，若用该电脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大于 1 3 的概率为（ ） A． 1 27 B． 2 3 C． 8 27 D． 4 9 3．一组数据的平均数为 m ，方差为 n ，将这组数据的每个数都乘以 0a a 得到一组新 数据，则下列说法正确的是（ ） A．这组新数据的平均数为 m B．这组新数据的平均数为 a m C．这组新数据的方差为 an D．这组新数据的标准差为 a n 4．如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收 入统计图，下列对统计图理解错误的是 ( ) A．2019 年 1~4 月的业务量， 3 月最高， 2 月最低，差值接近 2000 万件 B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C．从两图来看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是 ( ) ． A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D．1 6．用秦九韶算法求多项式 5 4 2 27 5 3 2f x x x x x x 在 2x 的值时，令 0 5v a ， 1 0 5v v x ，⋯， 5 4 2v v x ，则 3v 的值为（ ） A．83 B．82 C．166 D．167 7．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有 120 个人，今天，他发现步数最少的有 0.85 万步，最多的有 1.79 万步．于是，他做了个统计， 作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ） A．1.19 B．1.23 C．1.26 D．1.31 8．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据 图示可知，孩子已经出生的天数是 ( ) A．336 B．510 C．1326 D．3603 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 10． 下列说法正确的是（ ） A．若残差平方和越小，则相关指数 2R 越小 B．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变 C．若 2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小 D．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数 1r 11． 某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数 据表可得回归直线方程 y bx a$ $ $ ，其中 ? 2.4b ， $a y bx$ ，据此模型预测广告费用为 9 万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用 x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车 y （台数） 3 4 6 10 12 A．17 B．18 C．19 D．20 12． 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 （万元） 4 2 3 5 销售额 （万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ?? ?y bx a 中的 ?b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为 A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 二、填空题 13． 在区间 [ 2,4] 上随机地取一个实数 x ，若实数 x 满足 | |x m 的概率为 2 3 ，则 m _______. 14． 执行如下图所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 S 的值为 __________． 15． 下列四个命题： ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②基本事件空间是 Ω＝ {1 ，2，3，4，5，6} ，若事件 A＝{1 ，3} ，B＝{3 ， 5，6} ， A，B 为 互斥事件，但不是对立事件； ③某校高三（ 1）班和高三（ 2）班的人数分别是 m，n，若一模考试数学平均分分别是 a， b，则这两个班的数学平均分为 na mb m n ； ④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的 位置关系为平行或相交． 其中真命题的序号是 __________． 16． 已知变量 ,x y 取值如表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 若 y 与 x 之间是线性相关关系，且 ? 0.95y x a ，则实数 a __________． 17． 在 1 2 7 0 x y x y x 的可行域内任取一点 ,x y ，则满足 2 3 0x y 的概率是 __________． 18． 某学生每次投篮的命中概率都为 40% ．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计 算器产生 0 到 9 之间的整数值随机数，制定 1、2、3、 4 表示命中， 5、6、 7、8、9、0 表 示不命中；再以每 3 个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下 20 组随 机数： 989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907 ，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为 __________． 19． 已知 ,x y 之间的一组数据不小心丢失一个，但已知回归直线过点 1.5,4 ，则丢失的数 据是 __________． x 0 1 2 3 y 1 3 5 20． 从一副扑克牌中取出 1 张 A ，2 张 K ， 2 张 Q 放入一盒子中，然后从这 5 张牌中随机 取出两张，则这两张牌大小不同的概率为 __________． 三、解答题 21． 中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某 校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班 60 名同学中，对此事关注的占 1 3 ，他 们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图： （1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于 80 分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的 2 2 列联表： 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 对此事关注 对此事不关注 合计 ②是否有 95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？ 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d ，其中 n a b c d . 参考数据： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22． 已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是 0，1，2 的小球若干，其中标号为 0 的小 球 1 个，标号为 1 的小球 2 个，标号为 2 的小球 n 个．若从袋子中随机抽取 1 个小球，取 到标号为 2 的小球的概率是 1 4 ． （1）求 n 的值 （2）从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的 球标号为 b． ①记 “ 2a b ”为事件 A，求事件 A 的概率； ②在区间 [0,4] 内任取 2 个实数 x，y，求事件 “ 2 2 2( )x y a b 恒成立 ”的概率． 23． 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医 疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除 . 某单位老、中、青员工分 别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25人调查专项附 加扣除的享受情况 . （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 , , , , ,A B C D E F . 享受情况如下表，其中“ d ”表示享受，“×”表示不享受 . 现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访 . 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii ）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生 的概率 . 24． 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人） .现用分层抽样方法（按 A 类， B 类分二层）从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数） . （1）A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人？ （2）从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表一 生产能力分 组 [ 100, 110) [ 110, 120) [ 120, 130) [ 130, 140) [ 140, 150) 人数 4 8 x 5 3 表二 生产能力分组 [ 110, 120) [ 120, 130) [ 130, 140) [ 140, 150) 人数 6 y 36 18 ①先确定 ,x y 再补全下列频率分布直方图（用阴影部分表示） . ②就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更 小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ③分别估计 A类工人生产能力的平均数和中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表） . 25． 某 “双一流 A 类 ”大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了 100 人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币 1.65 万元到 2.35 万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图： （1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这 100 人月薪收入的样本平均数 x ； （2）该校在某地区就业的 2018 届本科毕业生共 50 人，决定于 2019 国庆长假期间举办一 次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设区间 1.85,2.15 ，月薪落在区间 左侧的每人收取 400 元，月薪落在区 间 内的每人收取 600 元，月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的 3% 收取； 用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多 的费用？ 26． 某地统计局调查了 10000 名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直 方图如图所示． （1）求居民月收入在 [3000,3500 ）内的频率； （2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 中用 分层抽样的方法抽出 100 人做进一步分析，则应从月收入在 [2500,3000) 内的居民中抽取多 少人？ 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．A 解析： A 【解析】 【分析】 分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得 2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】 由题意，根据平均数的计算公式，可得 70 50 80 60 70 90 70 50 x ， 设收集的 48 个准确数据分别记为 1 2 48, , ,x x xL ， 则 2 2 2 2 2 1 2 48 175 70 70 70 60 70 90 70 50 x x xL 2 2 2 1 2 48 1 70 70 70 500 50 x x xL ， 2 2 2 2 22 1 2 48 1 70 70 70 80 70 70 70 50 s x x xL 2 2 2 1 2 48 1 70 70 70 100 75 50 x x xL ， 故 2 75s ．选 A ． 【点睛】 本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和 方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题． 2．C 解析： C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于 1 3 的概率为 1 21 3 3 p ， 则 3 个实数都大于 1 3 的概率为 3 2 8 3 27 . 本题选择 C选项 . 3．D 解析： D 【解析】 【分析】 计算得到新数据的平均数为 am ，方差为 2a n ，标准差为 a n ，结合选项得到答案 . 【详解】 根据题意知：这组新数据的平均数为 am ，方差为 2a n ，标准差为 a n . 故选： D 【点睛】 本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键 . 4．D 解析： D 【解析】 【分析】 由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可 . 【详解】 对于选项 A： 2018 年 1～4 月的业务量， 3 月最高， 2 月最低， 差值为 4397 2411 1986，接近 2000 万件，所以 A 是正确的； 对于选项 B： 2018 年 1～4 月的业务量同比增长率分别为 55%,53%,62%,58% ，均超过 50%，在 3 月最高，所以 B 是正确的； 对于选项 C：2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是正 确的； 对于选项 D，1，2， 3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不是逐 月增长， D 错误 . 本题选择 D 选项 . 【点睛】 本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力 . 5．C 解析： C 【解析】 【分析】 【详解】 解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有 2 3 3C 种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被 选中的概率 2 3 2 2 3 P C ，故选 C. 6．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用秦九韶算法，求解即可 . 【详解】 利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式： ( ) ((((7 5) 3) 1) 1) 2f x x x x x 按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当 2x 时的值： 0 7v 1 7 2 5 19v 2 19 2 3 41v 3 41 2 1 83v 故选： A 【点睛】 本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题 . 7．C 解析： C 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可 . 【详解】 由题 ,区间 0.8,1.0 , 1.0,1.2 , 1.2,1.4 , 1.6,1.8 所占频率分别为： 0.2 0.5 0.1,0.2 1.25 0.25,0.2 2.25 0.45,0.2 0.25 0.05, 故区间 1.4,1.6 所占频率为 1 0.1 0.25 0.45 0.05 0.15 . 故 0.9 0.1 1.1 0.25 1.3 0.45 1.5 0.15 1.7 0.05 1.26x . 故选： C 【点睛】 本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题 .属 于中档题 . 8．B 解析： B 【解析】 试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数 , 化为十进制数为 3 21 7 3 7 2 7 6 510 ,故选 B. 考点： 1、阅读能力及建模能力； 2、进位制的应用 . 9．C 解析： C 【解析】 循环依次为 1 2 3, 1 2 3;S K 3 6 9, 3 2 5;S K 9 10 19, 5 2 7;S K 19 14 33, 7 2 9;S K 结束循环 ,输出 9;K 选 C. 10．B 解析： B 【解析】 【分析】 由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断 A ；由方差的性质可判断 B ；由的随机 变量 2K 的观测值的大小可判断 C ；由相关系数 r 的绝对值趋近于 1，相关性越强，可判断 D . 【详解】 对于 A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 相关指数 2R 越大，故 A 错误； 对于 B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不 变，故 B 正确； 对于 C ，对分类变量 X 与 Y ，它们的随机变量 2K 的观测值越大，“ X 与 Y 有关系”的 把握程度越大，故 C 错误； 对于 D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数 1r ，故 D 错误 . 故选： B. 【点睛】 本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的 特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题． 11．C 解析： C 【解析】 由题意 4, 7, 2.4, 7 2.4 4 2.6, 9,? ? ?? ? ? 2.4 9 2.6 19x y b a y bx x y bx a ,故选 C. 12．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 4 2 3 5 49 26 39 543.5, 42 4 4 x yQ ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程 ?? ?y bx a 中的 ?b 为 9.4， ∴42=9．4×3．5+a， ∴ ?a =9．1， ∴线性回归方程是 y=9．4x+9．1， ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程 二、填空题 13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如 图所示区间的长度是 6 在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答 案是： 2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识 解析： 2 【解析】 【分析】 画出数轴，利用 x 满足 | |x m 的概率，可以求出 m 的值即可 . 【详解】 如图所示， 区间 [ 2,4] 的长度是 6， 在区间 [ 2,4] 上随机地取一个数 x ， 若 x 满足 | |x m的概率为 2 3 ， 则有 2 2 6 3 m ，解得 2m ， 故答案是： 2. 【点睛】 该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公 式，属于简单题目 . 14．15【解析】程序执行过程为：当 i=1s=1i<6s=1当 i=3i<6s=3当 i=5i<6s=15当 i=7i> 6退出 s=15填15 解析： 15 【解析】 程序执行过程为： 当 i=1,s=1,i<6,s=1, 当 i=3,i<6,s=3, 当 i=5,i<6 ，s=15, 当 i=7 ，i>6 ，退出 s=15. 填 15. 15．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线 面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平 均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是 Ω＝ {123456} 若事 解析： ①④ . 【解析】 分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假 . 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是 Ω＝ {1 ，2，3，4， 5，6} ，若事件 A＝{1 ，3} ，B＝{3 ，5，6} ，A，B 不为互斥事件，所以②错； 因为某校高三（ 1）班和高三（ 2）班的人数分别是 m， n，若一模考试数学平均分分别是 a，b，则这两个班的数学平均分为 ma nb m n ，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面 的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对 . 因此真命题的序号是①④ . 点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式 . 16．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可 求得实数 a的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为 ：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学 解析： 1.45 【解析】 分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数 a 的值 . 详解：由题意可得： 0 1 4 5 6 8 4 6 x ， 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 5.25 6 y ， 回归方程过样本中心点，则： 5.25 0.95 4 a ，解得： 1.45a . 故答案为： 1.45． 点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力 . 17．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合 题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平 面区域如图所示由解得即 A(32）且故作出直线 2x-3y=0则 2x- 解析： 2 9 【解析】 分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计 算公式即可求得最终结果 . 详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示， 由 1 2 7 x y x y 解得 3 2 x y ，即 A(3,2）. 且 70, , 0, 1 2 B C ， 故 1 7 271 3 2 2 4ABCSV . 作出直线 2x-3y=0.则 2x-3y≥0所以表示区域为△ OAC， 即不等式 2x-3y≥0所表示的区领为△ OAC ，面积为 1 31 3 2 2AOCSV ， 所以满足 2 3 0x y 的概率是为 3 22 27 9 4 AOC ABC Sp S V V . 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形 准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等 式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可 . 18．【解析】这 20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有 53773048802 7257683458925共 8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填 解析： 2 5 【解析】 这 20 组随机数中 , 该学生三次投篮中恰有一次命中的有 537,730,488,027,257,683,458,925 共 8 组 , 则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为 8 2 20 5 ,故填 2 5 . 19．7【解析】设丢失的数据是点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一 种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是非随机 变量与随机变量的关系如果线性相关则直接根据用公式求写出回归方程回 解析： 7 【解析】设丢失的数据是 ,m 3 4 4 4 1 3 5 7 2 x y m mQ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系 . 事实上，函数关系是两 个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 . 如果线性相关，则直接 根据用公式求 ??,a b，写出回归方程，回归直线方程恒过点 ,x y . 20．【解析】试题分析：从这 5 张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有 ８种故概率是 解析： 4 5 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 从 这 5 张 牌 中 随 机 取 出 两 张 的 情 况 有 ： , , , , , , , , ,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ， 其 中 不 同 的 有 ８ 种 ， 故 概 率 是 8 4 10 5 P 。 三、解答题 21． （1） 75.5；（ 2）列联表见解析，没有 . 【解析】 试题分析：（ 1）各小矩形中点横坐标与纵坐标的乘积的和即是对此事关注的同学的物理期 末平均分；（ 2）根据直方图求出列联表所需数据，即可完成 2 2列联表，利用公式 2 2 n ad bc k a b c d a c b d 求得 2K ，与邻界值比较，即可得到结论 . 试题解析：（ 1）对此事关注的同学的物理期末平均分为 (45 0.005 55 0.005 65 0.020 75 0.030 85 0.030 95 0.010) 10 75.5 （分）． （2）①补充的 2 2 列联表如下： 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 对此事关注 8 12 20 对此事不关注 8 32 40 合计 16 44 60 ②由①中的列联表可得 2 2 n ad bc k a b c d a c b d 2 60 8 32 8 12 16 44 20 40 30 2.73 3.841 11 ， 所以没有 95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系． 【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题 . 独立性检 验的一般步骤：（ 1）根据样本数据制成 2 2 列联表；（ 2）根据公式 2 2 n ad bcK a b a d a c b d 计算 2K 的值； (3) 查表比较 2K 与临界值的大小关 系，作统计判断 . （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到 的结论也可能犯错误 . ） 22． (1) 1n ；(2) ① 1( ) 3 P A ；② ( ) 1 4 P B 【解析】 【分析】 （1）由古典概型公式列出方程求解即可； (2) ①从袋子中不放回的随机取 2 个球共有 12 个基本事件，确定 2a b 的事件个数代入古典概型概率计算公式即可得解；②事件 B 等 价于 2 2 16x y 恒成立， ( , )x y 可以看做平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件 B 构成的区域，利用几何概型面积型计算公式即可得解 . 【详解】 （1）依题意 1 1 3 4 n n n ； （2）将标号为 0 的小球记为 0，标号为 1 的小球记为 A，B，标号为 2 的小球记为 2，则从 袋子中两次不放回地随机抽取 2 个小球可能的结果为： (0, ),(0, ),(0,2),( ,0),( , ),A B A A B ( ,2),( ,0),( , ),( ,2),(2,0),(2, ),(2, ),A B B A B A B 共 12 种， ①事件 A 包含 4 种： (0,2),( , ),( , ),(2,0)A B B A ，所以 1( ) 3 P A ； ②因为 a b的最大值为 4，所以事件 B 等价于 2 2 16x y 恒成立， ( , )x y 可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域 {( , ) 0 4,0 4}C x y x y ， 事件 B 所构成的区域 2 2{( , ) 16, , }x yB x y x y C ， 则 4 4 4( ) 1 4 4 4 P B . 【点睛】 本题考查随机事件概率，古典概型概率计算公式，几何概型中面积型概率的计算，属于基 础题 . 23． （I）6 人， 9 人， 10 人； （II）（ i）见解析；（ ii） 11 15 . 【解析】 【分析】 （I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽 到的概率是相等的，结合样本容量求得结果； （II）（ I）根据 6 人中随机抽取 2 人，将所有的结果一一列出； （ii ）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率 . 【详解】 （I）由已知，老、中、青员工人数之比为 6:9:10 ， 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人， 9 人， 10 人. （II）（ i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 , , , , , , , , ,A B A C A D A E A F , , , , , , , ,B C B D B E B F , , , , , ,C D C E C F , , , , , ,D E D F E F ,共 15 种； （ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , , , , , , ,A B A D A E A F , , , , , ,B D B E B F , , , ,C E C F , , , ,D F E F , 共 11 种， 所以，事件 M 发生的概率 11( ) 15 P M . 【点睛】 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率 计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 . 24． （1）25, 75 名；（ 2）①直方图见解析；② B 类工人中个体间的差异程度更小； ③123, 121. 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样性质能求出 A类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人． （2）①由频率分布表列出方程能求出补 x ， y ，并补全下列频率分布直方图． ②从频率分布直方图可以判断： B 类工人中个体间的差异程度更小． ③由频率分布直方图求出 A 类工人生产能力的平均数和中位数． 【详解】 解：（ 1）由分层抽样性质得： A类工人中抽查： 100250 25 1000 名工人， B 类工人中抽查： 100750 751000 名工人． （2）①由题意得： 4 8 5 3 25x ，解得 5x ． 6 36 18 75y ，解得 15y ． 补全频率分布直方图，如下图： ②从频率分布直方图可以判断： B 类工人中个体间的差异程度更小． ③ A类工人生产能力的平均数为： 4 8 5 3105 115 135 145 123 25 25 25 25Ax ． A类工人生产能力的中位数的估计值为： 0.5 0.16 0.32120 10 1210.2 ． 【点睛】 本题考查分层抽样、频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、中位数的求法， 解题时要认真审题，注意频率分布直方图、分层抽样的性质的合理运用，属于中档题． 25． (1)2 ；(2) 方案一能收到更多的费用 . 【解析】 【分析】 （1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加； （2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可． 【详解】 (1)这 100 人月薪收入的样本平均数 x 是 0.02 1.7 0.10 1.8 0.24 1.9 0.31 2x 0.2 2.1 0.09 2.2 0.04 2.3 2 . (2)方案一：月薪落在区间 左侧收活动费用约为 0.02 0.10 400 50 10000 0.24 （万元）； 月薪落在区间 收活动费用约为 0.24 0.31 0.20 600 50 10000 2.25（万 元）； 月薪落在区间 右侧收活动费用约为 0.09 0.04 800 50 10000 0.52（万元）； 因此方案一，这 50 人共收活动费用约为 3.01（万元）； 方案二：这 50 人共收活动费用约为 50 0.03 3x （万元）； 故方案一能收到更多的费用 . 【点睛】 本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题． 26． （1）0.15 （2）2400（3）25 人 【解析】 【分析】 (1)由频率分布直方图计算可得月收入在 [3000,3500）内的频率； (2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值； (3)首先确定 10000 人中月收入在 [2500,3000] 内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽 取的人数 . 【详解】 （1）居民月收入在 [3000,3500] 内的频率为 0.0003 (3500-3000)=0.15 （2）因为 0.0002 (1500 1000) 0.1， 0.0004 (2000 1500) 0.2 ， 0.0005 (2500 2000) 0.25 ， 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5， 所以样本数据的中位数为 0.5 (0.1 0.2)2000 2000 400=2400 0.0005 . （3）居民月收入在 [2500,3000] 内的频率为 0.0005 (3000 2500)=0.25， 所以这 10000 人中月收入在 [2500,3000] 内的人数为 0.25 10000=2500. 从这 10000 人中用分层抽样的方法抽出 100 人， 则应从月收入在 [2500,3000] 内的居民中抽取 2500100 25 10000 (人). 【点睛】 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中 点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频 率分布直方图的 “重心 ”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和 .