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- 2021-05-26 发布
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6.向心力
问题导学
一、对向心力的理解
活动与探究 1
1.力是改变速度的原因,那么向心力是怎样改变速度的?
2.在“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验中,要测量、记录哪些数据?
3.向心力的表达式有哪些?
迁移与应用 1
长为 L 的细绳,一端拴一质量为 m 的小球,另一端固定于 O 点,让其在水平面内做匀
速圆周运动,摆线 L 与竖直方向的夹角为α,求:
(1)细线的拉力 F。
(2)小球运动的线速度的大小。
(3)小球运动的角速度及周期。
1.向心力的作用效果
改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心,其方向与物体运动方向始终垂直,故向
心力不改变线速度的大小。
2.大小:Fn=man=mv2
r
=mω2r=mωv。
对于匀速圆周运动,向心力大小始终不变,但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球
绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动),其向心力大小随速率 v 的变化而变化,公式表述
的只是瞬时值。
3.方向:无论是否为匀速圆周运动,其向心力总是沿着半径指向圆心,方向时刻改变,
故向心力是变力。[来源:Zxxk.Com]
4.来源:在匀速圆周运动中合外力一定是向心力;在变速圆周运动中,沿半径方向的
合外力提供向心力。充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是各力
的合力或某力的分力。
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
活动与探究 2
1.匀速圆周运动 和变速圆周运动有什么区别?
2.匀 速圆周运动可看做变速圆周运动的一个特例,它有哪些特点?应用牛顿第二定律
处理匀速圆周运动问题的思路和方法是什么?
3.如何计算变速圆周运动中的向心加速度和向心力?[来源:学科网 ZXXK]
迁移与应用 2
一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲
线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图(a)所示,曲线上 A 点的曲率圆定义为:通过
A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫做 A 点的曲率圆,
其半径ρ叫做 A 点的曲率半径 。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度 v0 抛出,如图(b)
所示。则其轨迹最高点 P 处的曲率半径是( )
图(a)[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
图(b)
A.v20
g B.v20sin2α
g
C.v20cos2α
g D.v20cos2α
gsin α
1.变速圆周运动
(1)概念:线速度大小改变的圆周运动叫变速圆周运动。
(2)受力特点:物体所受合力不指向圆心,即合力与物体运动速度方向不垂直,沿圆
弧切向分力改变物体速度的大小,指向圆心的分力改变了物体运动的方向。
(3)变速圆周运动同时具有向心加速度和切向加速度,而匀速圆周 运动只具有向心加
速度。
2.处理一般曲线运动的方法
如图所示,运动轨迹既不是直线也不是圆周的运动,可以称为一般曲线运动。尽管这
时曲线各个地方的弯曲程度不一样,但在研究时,可以把这条曲线分割为许多极短的小段,
每一段都可以看做一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样,表明它们具有不同的半径。注
意到这点区别之后,在分析质点经过曲线上某位置的运动时,就可以采用圆周运动的分析
方法进行处理了。
答案:
【问题导学】
活动与探究 1:1.答案:由于向心力始终指向圆心,其方向与物体运动的方向始终垂
直,所以向心力不改变线速度的大小,只改变线速度的方向。
2.答案:(1)测量小球转动若干圈的时间,从而求出小球做圆周运动的周期。
(2)测量与小球圆周运动对应的纸上某个圆周的半径,从而得出小球做圆周运动的半
径。
(3)用天平测出小球的质量。[来源:学科网 ZXXK]
(4)测出小球做圆周运动时距离悬点的竖直高度,从而求出悬线与竖直方向夹角的正
切值。
3.答案:向心力的表达式:Fn=mv2
r
=mω2r=mωv。
说明:对于匀速圆周运动,向心力大小始终不变,但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴
住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动),其向心力大小随速率 v 的变化而变化,公
式表述的只是瞬时值。
迁移与应用 1:答案:(1) mg
cos α
(2) gLtan α·sin α
(3) g
Lcos α 2π Lcos α
g
解析:做匀速圆周运动的小球受力如图所示,小球受重力 mg 和细线的拉力 F 的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动,所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心
O′。由平行四边形定则得小球受到的合力大小为 mgtanα,细线对小球的拉力大小为
cos
mgF 。
(2)由牛顿第二定律得 mgtan α=
2mv
r
由几何关系得 r=Lsin α
所以,小球做匀速圆周运动的线速度的大小为 tan sinv gL 。
(3)小球运动的角速度ω=v
r
= gLtan α·sin α
Lsin α
= g
Lcos α
小球运动的周期 T=2π
ω
=2π Lcos α
g
。
活动与探究 2:1.答案:由做曲线运动的条件可知,变速圆周运动中物体所受的合力
与速度方向一定不垂直,当速率增大时,物体受到的合力与瞬时速度之间的夹角是锐角;当
速率减小时,物体受到的合力与速度之间的夹角是钝角。
例如:用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动,在向下加速运动过程的某一位
置 A 和向上减速运动过程的某一位置 B,小球的受力情况如图所示。
比较可知,匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是:匀速圆周运动中,合力全
部用来提供向心力,合力指向圆心;变速圆周运动中,合力沿着半径方向的分量提供向心力,
合力通常不指向圆心。
2.答案:(1)匀速圆周运动中的线速度大小、向心加速度大小及向心力的大小都是恒
定不变的,改变的只是它们的方向。因而匀速圆周运动中的线速度 v、向心加速度 an 及向心
力 Fn 都是变量。而匀速圆周运动中的角速度、周期和频率都是恒定不变的。
匀速圆周运动中只存在向心加速度,不存在切向加速度,物体所受外力的合力就是物体
做匀速圆周运动的向心力。[来源:Z#xx#k.Com]
(2)解题思路:物体做匀速圆周运动需要的向心力是由物体所受外力的合力提供,即
F 合=mv2
r
=mrω2=mvω=mr4π2
T2
=man。
解题步骤:①明确研究对象,对研究对象进行受力分析,画出受力示意图。
②将物体所受外力通过力的正交分解将其分解在两条直线上,其中一个方向上的分力沿
半径方向。
③列方程:沿半径方向满足 F 合 1=mrω2=mv2
r
=4π2mr
T2
,另一方向 F 合 2=0。
④解方程求出结果。
3.答案:变速圆周运动的速度方向和大小都是变化的,因此,做变速圆周运动的物体,
既存在改变速度方向的向心加速度,又存在改变速度大小的切向加速度,其实际的加速度为
向心加速度和切向加速度的合加速度。合加速度的方向是不指向圆心的,因而物体所受合
外力的方向也是不指向圆心的。对变速圆周运动,计算向心加速度大小的公式仍是适用的,
只不过应注意计算某时刻的向心加速度时,应取与该时刻对应的...瞬时速度或瞬时角速度。继
而根据牛顿第二定律求出的向心力,也不再是物体 所受的合外力,而是该合外力沿半径方
向的分力。
迁移与应用 2:C 解析:物体被抛出后做斜上抛运动,在其轨迹最高点 P 处时,竖直
方向速度为 0,水平方向 速度 v=v0cos α,在最高点 P 处的曲率半径是ρ,此时,可以认为
是圆周运动的一部分,由重力提供其向心力,即 mg=mv2
ρ
,解得ρ=v20cos2α
g
,C 正确。
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