【物理】2018届二轮复习圆周运动学案（全国通用） 15页

基础课3　圆周运动 知识点一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 ‎1．匀速圆周运动 ‎(1)定义：在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动叫做匀速圆周运动。‎ ‎(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。‎ ‎(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。‎ ‎2．描述匀速圆周运动的物理量 定义、意义 公式、单位 线速度 ‎(v)‎ ‎(1)描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量 ‎(2)是矢量，方向和半径垂直，沿圆周切线方向 v＝＝＝2πrn 单位：m/s 角速度 ‎(ω)‎ ‎(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理量 ‎(2)是矢量(中学阶段不研究方向)‎ ω＝＝＝2πn 单位：rad/s 周期和 频率 ‎(T/f)‎ 物体沿圆周运动一圈的时间 T＝＝，单位：s f＝，单位：Hz 向心加 速度 ‎(an)‎ ‎(1)描述速度方向变化快慢的物理量 ‎(2)方向指向圆心 an＝＝ω2r 单位：m/s2‎ 知识点二、匀速圆周运动的向心力 ‎1．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。‎ ‎2．大小：F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。‎ ‎3．方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。‎ ‎4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。‎ 知识点三、离心运动 ‎1．定义：做圆周运动的物体，在受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动，我们把这种运动称为离心运动。‎ ‎2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。‎ ‎3．受力特点 ‎(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；‎ ‎(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；‎ ‎(3)当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图1所示。‎ 图1‎ ‎[思考判断]‎ ‎(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(　　)‎ ‎(2)匀速圆周运动加速度恒定不变。(　　)‎ ‎(3)做匀速圆周运动的物体所受合外力大小保持不变。(　　)‎ ‎(4)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢看周期或角速度(　　)‎ ‎(5)随水平圆盘一起匀速转动的物体A受重力、支持力和向心力作用。(　　)‎ ‎(6)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出。(　　)‎ ‎(7)汽车转弯时速度过大就会向外发生侧滑，这是汽车轮胎受沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供汽车转弯所需向心力的缘故。(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× (7)√‎ ‎　圆周运动的运动学问题 ‎1．对公式v＝ωr的进一步理解 ‎(1)当r一定时，v与ω成正比。如齿轮边缘处的质点随着齿轮转速的增大，角速度和线速度都增大。‎ ‎(2)当ω一定时，v与r成正比。如地球上各点都绕地轴做圆周运动，角速度相同，地球表面纬度越低的地方，到地轴的距离越大，线速度越大。‎ ‎(3)当v一定时，ω与r成反比。如皮带传运动装置中，两轮边缘上各点的线速度大小相等，大轮的半径r大，角速度ω较小。‎ ‎2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解 在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。‎ ‎1．[皮带传动](多选)如图2所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　　)‎ 图2‎ A．A点与C点的角速度大小相等 B．A点与C点的线速度大小相等 C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1‎ D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4‎ 解析　处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。‎ 答案　BD ‎2．[摩擦传动]如图3所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的(　　)‎ 图3‎ A．线速度大小之比为3∶2∶2‎ B．角速度之比为3∶3∶2‎ C．转速之比为2∶3∶2‎ D．向心加速度大小之比为9∶6∶4‎ 解析　A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B错误；转速之比等于角速度之比，故C错误；由a＝ωv得：‎ aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确。‎ 答案　D ‎3．[与生产相结合]某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B。A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm。B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm。P、Q转动的线速度相同，都是4π m/s。当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图4所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值应为(　　)‎ 图4‎ A．0.56 s B．0.28 s C．0.16 s D．0.07 s 解析　根据公式T＝可求出P、Q转动的周期分别为T1＝0.14 s和T2＝0.08 s。根据题意，只有当P、Q同时转到题图所示位置时，Q才能接收到红外线信号，所以所求的最小时间应该是它们转动周期的最小公倍数，即0.56 s，所以A正确。‎ 答案　A 反思总结 常见的三种传动方式及特点 ‎(1)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。‎ ‎(2)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。‎ ‎(3)摩擦传动：如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。‎ ‎　圆周运动中的动力学问题 ‎1．向心力的来源 ‎(1)向心力的方向沿半径指向圆心；‎ ‎(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。‎ ‎2．向心力的确定 ‎(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。‎ ‎(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。‎ ‎1．[对向心力表达式的理解] 某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图5所示)，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图5‎ A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变 B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大 C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小 解析　由向心力的表达式Fn＝mω2r可知，保持绳长不变，增大角速度，向心力增大，绳对手的拉力增大，选项A错误，B正确；保持角速度不变，增大绳长，向心力增大，绳对手的拉力增大，选项C、D错误。‎ 答案　B ‎2．[汽车过拱桥] 一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为(　　)‎ A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 解析　当N＝G时，因为G－N＝m，所以G＝‎ m；当N＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s。‎ 答案　B ‎3．[火车转弯] 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图6所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则(　　)‎ 图6‎ A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C．这时铁轨对火车的支持力等于 D．这时铁轨对火车的支持力大于 解析　由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncos θ＝mg，则N＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确；A、B、D错误。‎ 答案　C ‎“一、二、三、四”求解圆周运动问题 ‎　圆周运动中的临界问题 ‎ ‎1．水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题。常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。‎ ‎2．竖直平面内圆周运动的临界问题 ‎(1)“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。‎ ‎(2)有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。‎ 物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 受力 示意图 力学 方程 mg＋T＝m mg±N＝m 临界 特征 T＝0‎ mg＝m 即vmin＝ v＝0‎ 即F向＝0‎ N＝mg 过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0‎ ‎【典例】 长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m＝2 kg，当A通过最高点时，如图7所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：‎ 图7‎ ‎(1)A在最低点的速率为 m/s；‎ ‎(2)A在最低点的速率为6 m/s。‎ 解析　对小球A由最低点到最高点过程，由动能定理得，‎ ‎－mg·2L＝mv2－mv①‎ 在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示：‎ 以A为研究对象，由牛顿第二定律得 mg＋F＝m②‎ 所以F＝m(－g)③‎ ‎(1)当v0＝ m/s时，‎ 由①式得v＝1 m/s，④‎ F＝2×(－10) N＝－16 N，⑤‎ 负值说明F的实际方向与假设的向下的方向相反，即杆给A向上的16 N的支撑力。‎ ‎(2)当v0＝6 m/s时，‎ 由①式得v＝4 m/s⑥‎ F＝2×(－10) N＝44 N⑦‎ 正值说明杆对A施加的是向下的44 N的拉力。‎ 答案　(1)16 N　方向向上　(2)44 N　方向向下 ‎【拓展延伸】‎ 在【典例】中若把细杆换成细绳，则在(1)(2)两种情况下小球能否过最高点？若能，此时细绳对小球的拉力为多大？‎ 解析　对小球A由最低点到最高点过程，由动能定理得，‎ ‎－mg·2L＝mv2－mv①‎ ‎(1)当v0＝ m/s时，‎ 由①式得v＝1 m/s②‎ 对小球A，刚好过最高点时，有mg＝m，③‎ 解得vmin＝ m/s，④‎ 因为v＝1 m/s＜vmin，故小球不能过最高点。‎ ‎(2)当v0＝6 m/s时，‎ 由①式得v＝4 m/s；⑤‎ 因为v＝4 m/s＞vmin，故小球能过最高点。‎ 此时对小球，由牛顿第二定律得mg＋F＝m⑥‎ 解得：F＝44 N 答案　(1)v0＝ m/s时不能 ‎(2)v0＝6 m/s时能　44 N 建模指导 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 ‎1．[“轻绳”模型](多选)如图8所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足(　　)‎ 图8‎ A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 解析　要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m ‎，从最低点到最高点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为；为了不使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为。‎ 答案　CD ‎2．[水平面内与摩擦力有关的临界问题](多选)如图9所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)(　　)‎ 图9‎ A．C的向心加速度最大 B．B的静摩擦力最小 C．当圆台转速增大时，A比B先滑动 D．当圆台转速增大时，C将最先滑动 解析　A、B、C三个物体随转台一起转动，它们的角速度ω相等。由公式f＝ma＝mrω2，可知C的向心加速度最大，B的静摩擦力最小，故A、B均正确；当转速增大时，静摩擦力不足以提供向心力，有fmax＝μmg＝mrω得最大角速度ωmax＝，可见A、B应同时滑动，而C将最先滑动，故C错误，D正确。‎ 答案　ABD ‎3．[水平面内与弹力有关的临界问题]如图10所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当AC和BC均拉直时∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1 m。ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(g取10‎ ‎ m/s2)(　　)‎ 图10‎ A．AC　5 m/s B．BC　5 m/s C．AC　5.24 m/s D．BC　5.24 m/s 解析　据题意，小球转动时向心力为TBC＋TACcos 53°＝m，此时设BC绳刚好被拉断，则拉力为TBC＝2mg，此时TACsin 53°＝mg，即TAC＝mg，说明BC绳先被拉断；当AC绳拉断时，有TAC′＝2mg，此时由于小球重力等于mg，则AC绳与水平方向的夹角等于30°，有TAC′cos 30°＝m，此时小球转动半径为R′＝cos 30°＝ m，代入数值得v′＝5 m/s，故选项B正确。‎ 答案　B 反思总结 解决临界问题的一般思路 首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅱ，16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图11所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点(　　)‎ 图11‎ A．P球的速度一定大于Q球的速度 B．P球的动能一定小于Q球的动能 C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力 D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度 解析　小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LPmQ，则两小球的动能大小无法比较，选项B错误；对小球在最低点受力分析得，T－mg＝m，可得T＝3mg，选项C正确；由a＝＝2g可知，两球的向心加速度相等，选项D错误。‎ 答案　C ‎2. (2014·全国卷Ⅱ，17)如图12，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下。重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为(　　)‎ 图12‎ A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg 解析　小圆环从大环的最高处到达大圆环底端时满足机械能守恒，则有mg·2R＝mv2，对小圆环在最低点，应用牛顿第二定律可得：N－mg＝m；对大圆环，由平衡条件可知：T＝Mg＋N′，由牛顿第三定律可得：N′＝N解得T＝Mg＋5mg，选项C正确。‎ 答案　C ‎3．(2014·全国卷Ⅰ，20)(多选)如图13，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 (　　)‎ 图13‎ A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 解析　木块a、b的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力fmax＝kmg相同。它们所需的向心力由F向＝mω2r知Fa