【物理】2018届二轮复习　万有引力与航天学案（全国通用） 32页

专题五　万有引力与航天 考纲解读 考点 内容 要求 高考示例 常考题型 预测热度 天体的运动 万有引力定律及其应用 Ⅱ ‎2017北京理综,17,6分 ‎2016课标Ⅲ,14,6分 ‎2015山东理综,15,6分 选择题 ‎★★★‎ 人造卫星 宇宙速度 万有引力定律及其应用 Ⅱ ‎2017课标Ⅲ,14,6分 ‎2017江苏单科,6,4分 ‎2016天津理综,3,6分 ‎2015课标Ⅰ,21,6分 选择题 计算题 ‎★★★‎ 环绕速度 Ⅱ 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 分析解读　　万有引力定律是力学中一个重要的基本规律,万有引力定律在天体运动问题上的应用以及在人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天技术上的应用是我国科学技术成就较大的地方,是社会的热点,当然也是高考的热点。‎ ‎、‎ 命题探究 ‎　　解法一　公式法 由几何关系可知最小半径r=2R,由开普勒第三定律得TT‎0‎‎2‎=‎2R‎6.6R‎3‎,T=‎2R‎6.6R‎3‎·T0=‎1‎‎3.3‎‎3‎×24 h≈4 h,B项正确。‎ 解法二　原理法 卫星围绕地球运转时,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即GMmr‎2‎=m‎2πT‎2‎r,解得周期T=2πr‎3‎GM,由此可见,卫星的轨道半径r越小,周期T就越小,周期最小时,三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切,‎ 如图所示,此时卫星轨道半径r=2R,T=2π‎(2R‎)‎‎3‎GM,又因为T0=2π‎(6.6R‎)‎‎3‎GM=24 h,所以T=‎2R‎6.6R‎3‎·T0=‎1‎‎3.3‎‎3‎×24 h≈4 h,B正确。‎ 五年高考 考点一　天体的运动 ‎1.(2017北京理综,17,6分)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是(　　)‎ A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)‎ B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 答案　D ‎2.(2016课标Ⅲ,14,6分)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是(　　)‎ A.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律 C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因 D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律 答案　B ‎3.(2015北京理综,16,6分)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么　(　　)‎ A.地球公转周期大于火星的公转周期 B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度 答案　D ‎4.(2015山东理综,15,6分)如图,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a2>a3>a1 B.a2>a1>a3 C.a3>a1>a2 D.a3>a2>a1‎ 答案　D 教师用书专用(5—9)‎ ‎5.(2015海南单科,6,3分)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶‎7‎。已知该行星质量约为地球的7倍,地球的半径为R。由此可知,该行星的半径约为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎R B.‎7‎‎2‎R C.2R D.‎7‎‎2‎R 答案　C ‎6.(2015江苏单科,3,3分)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的‎1‎‎20‎。该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)‎ A.‎1‎‎10‎ B.1 C.5 D.10‎ 答案　B ‎7.(2013江苏单科,1,3分)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知(　　)‎ A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案　C ‎8.(2013上海单科,9,2分)小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后,小行星运动的(　　)‎ A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大 答案　A ‎9.(2014四川理综,9,15分)石墨烯是近些年发现的一种新材料,其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化,其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳,人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯仓沿着这条缆绳运行,实现外太空和地球之间便捷的物资交换。‎ ‎(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站,求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为ω,地球半径为R。‎ ‎(2)当电梯仓停在距地面高度h2=4R的站点时,求仓内质量m2=50 kg的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度g=10 m/s2,地球自转角速度ω=7.3×10-5 rad/s,地球半径R=6.4×103 km。‎ 答案　(1)‎1‎‎2‎m1ω2(R+h1)2　(2)11.5 N 考点二　人造卫星　宇宙速度 ‎1.(2017课标Ⅲ,14,6分)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的(　　)‎ A.周期变大 B.速率变大 C.动能变大 D.向心加速度变大 答案　C ‎2.(2017江苏单科,6,4分)(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前,“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行,则其(　　)‎ A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度 C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度 答案　BCD ‎3.(2016天津理综,3,6分)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是(　　)‎ A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 答案　C ‎4.(2016四川理综,3,6分)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为(　　)‎ A.a2>a1>a3 B.a3>a2>a1 C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3‎ 答案　D ‎5.(2015课标Ⅰ,21,6分)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器(　　)‎ A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9 m/s B.悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N C.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒 D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 答案　BD ‎6.(2014重庆理综,7,15分)如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下,探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0,h1远小于月球半径);接着推力改变,探测器开始竖直下降,到达距月面高度为h2处的速度为v;此后发动机关闭,探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料),地球和月球的半径比为k1,质量比为k2,地球表面附近的重力加速度为g,求:‎ ‎(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小;‎ ‎(2)从开始竖直下降到刚接触月面时,探测器机械能的变化。‎ 答案　(1)k‎1‎‎2‎k‎2‎g　v‎2‎‎+‎‎2k‎1‎‎2‎gh‎2‎k‎2‎　(2)‎1‎‎2‎mv2-k‎1‎‎2‎k‎2‎mg(h1-h2)‎ 教师用书专用(7—14)‎ ‎7.(2016江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动,用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有(　　)‎ A.TA>TB B.EkA>EkB C.SA=SB D.RA‎3‎TA‎2‎=‎RB‎3‎TB‎2‎ 答案　AD ‎8.(2015四川理综,5,6分)登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响。根据下表,火星和地球相比(　　)‎ 行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m 地球 ‎6.4×106‎ ‎6.0×1024‎ ‎1.5×1011‎ 火星 ‎3.4×106‎ ‎6.4×1023‎ ‎2.3×1011‎ A.火星的公转周期较小 B.火星做圆周运动的加速度较小 C.火星表面的重力加速度较大 D.火星的第一宇宙速度较大 答案　B ‎9.(2015天津理综,8,6分)(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a,横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系,它们左端点横坐标相同。则(　　)‎ A.P1的平均密度比P2的大 B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C.s1的向心加速度比s2的大 D.s1的公转周期比s2的大 答案　AC ‎10.(2015广东理综,20,6分)(多选)在星球表面发射探测器,当发射速度为v时,探测器可绕星球表面做匀速圆周运动;当发射速度达到 ‎2‎v时,可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1,半径比约为2∶1,下列说法正确的有　(　　)‎ A.探测器的质量越大,脱离星球所需要的发射速度越大 B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D.探测器脱离星球的过程中,势能逐渐增大 答案　BD ‎11.(2015重庆理综,2,6分)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)‎ A.0　　B.GM‎(R+h‎)‎‎2‎　　C.GMm‎(R+h‎)‎‎2‎　　D.‎GMh‎2‎ 答案　B ‎12.(2014天津理综,3,6分)研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)‎ A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大 答案　A ‎13.(2013广东理综,14,4分)如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)‎ A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大答案　A ‎14.(2014大纲全国,26,22分)已知地球的自转周期和半径分别为T和R,地球同步卫星A的圆轨道半径为h。卫星B沿半径为r(rab 答案　D B组　2016—2018年模拟·提升题组 ‎(满分45分　30分钟)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2018河北定州期中,13)某地区的地下发现了天然气资源,如图所示,在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ,天然气的密度远小于ρ,可忽略不计。如果没有该空腔,地球表面正常的重力加速度大小为g;由于空腔的存在,现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G,球形空腔的球心深度为d,则此球形空腔的体积是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.kgdGρ B.‎kgd‎2‎Gρ C.‎(1-k)gdGρ D.‎‎(1-k)gd‎2‎Gρ 答案　D ‎2.(2017河北衡水摸底,7)美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”,天文学家通过观察双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在,证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞,假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动,且这两个黑洞的间距缓慢减小,若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响,则关于这两个黑洞的运动,下列说法正确的是(　　)‎ A.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等 B.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径小 C.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等 D.随两个黑洞的间距缓慢减小,这两个黑洞运行的周期在增大 答案　B ‎3.(2017东北三校联考,11)(多选)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转,称之为双星系统。在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统。设某双星系统中两星A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示。若AO>OB,则(　　)‎ A.星球A的质量一定大于B的质量 B.星球A的线速度一定大于B的线速度 C.双星间距离一定,双星的总质量越大,其转动周期越小 D.双星的总质量一定,双星间的距离越大,其转动周期越小 答案　BC ‎4.(2016全国100所名校示范卷)如图所示,一飞行器P绕某一未知星球做匀速圆周运动,若未知星球相对于飞行器P的张角为θ(未知),若要求得该未知星球的平均密度,引力常量为G,则只需测得P的(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.线速度和轨道半径 B.角速度和轨道半径 C.周期和轨道半径 D.周期和张角θ 答案　D 二、非选择题(共25分)‎ ‎5.(10分)(2018河北保定联考,15)2017年9月12日23时58分,中国“天舟一号”货运飞船顺利完成与“天宫二号”太空实验室的自主快速交会对接试验,此次试验将中国太空交会对接的两天的准备时间缩短至6.5‎ 小时,为中国太空站工程后续研制建设奠定更加坚实的技术基础。如图是“天舟一号”与“天宫二号”对接过程示意图,已知“天舟一号”与“天宫二号”成功对接后,组合体沿圆形轨道运行。经过时间t,组合体绕地球转过的角度为θ,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑地球自转。求:‎ ‎(1)地球质量M;‎ ‎(2)组合体运动的周期T;‎ ‎(3)组合体所在圆轨道离地面的高度H。‎ 答案　(1)M=gR‎2‎G　(2)T=‎2πtθ　(3)H=‎3‎gR‎2‎t‎2‎θ‎2‎-R ‎6.(15分)(2017广西钦州联考,12)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:‎ ‎(1)A星体所受合力大小FA;‎ ‎(2)B星体所受合力大小FB;‎ ‎(3)C星体的轨道半径RC;‎ ‎(4)三星体做圆周运动的周期T。‎ 答案　(1)2‎3‎Gm‎2‎a‎2‎　(2)‎7‎Gm‎2‎a‎2‎　(3)‎7‎‎4‎a ‎(4)πa‎3‎Gm C组　2016—2018年模拟·方法题组 方法1　天体运动中的双星问题思考方法 ‎1.(2018湖北四地七校联考,6,4分)在天文观测中,因为观测视角的问题,有时会看到一种比较奇怪的“双星”系统:与其他天体相距很远的两颗恒星,在同一直线上“往返”运动,它们往返运动的中心相同,周期也一样。模型如图所示,恒星A在A1A2之间往返运动,恒星B在B1B2之间往返运动,且A1A2=a,B1B2=b,现测得它们运动的周期为T,恒星A、B的质量分别为M、m,引力常量为G,则(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.M+m=‎4π‎2‎(a+b‎)‎‎3‎GT‎2‎ B.M+m=‎π‎2‎‎(a+b‎)‎‎3‎‎2GT‎2‎ C.M+m=π‎2‎‎(a-b‎)‎‎3‎‎2GT‎2‎ D.M+m=‎π‎2‎‎(a‎3‎+b‎3‎)‎‎2GT‎2‎ 答案　B ‎2.(2017安徽皖南八校一模,11,4分)(多选)在太空中有一种叫双星的天体,它实际上是由两颗星组成的,这两颗星的质量并不完全相等,但悬殊不像地球和太阳那么大,因而二者在其相互作用的万有引力作用下,以相同的角速度绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。在运动过程中,下列说法正确的是(　　)‎ A.双星系统的角速度取决于总质量和它们之间的距离 B.双星系统中质量越大的动能一定越小 C.它们做匀速圆周运动所需要的向心力完全相同 D.向心加速度之比与两颗星的质量无关 答案　AB ‎3.(2016河北唐山联考,6,4分)(多选)宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星,它们只在相互间的万有引力作用下,绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动。根据宇宙大爆炸理论,双星间的距离在不断缓慢增加,设双星仍做匀速圆周运动,则下列说法正确的是(　　)‎ A.双星相互间的万有引力不变 B.双星做圆周运动的角速度均增大 C.双星做圆周运动的动能均减小 D.双星做圆周运动的半径均增大 答案　CD 方法2　估算题的解答方法 ‎　(2018辽宁大连期中,8,4分)(多选)2016年10月17日,神舟十一号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射。此次飞行的目的是更好地掌握空间交会对接技术,开展地球观测和空间地球系统科学、空间应用新技术、空间技术和航天医学等领域的应用和试验。飞船入轨后经过2天独立飞行完成与天宫二号空间实验室自动对接形成组合体。下面说法正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B.如不加干预,在运行一段时间后,天宫二号的动能可能会增加 C.如不加干预,天宫二号的轨道高度将缓慢降低 D.航天员在天宫二号中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用 答案　BC 方法3　第一宇宙速度的求解方法 ‎1.(2018湖北四地七校联考,8,4分)(多选)在未来的“星际穿越”中,某航天员降落在一颗不知名的行星表面上。该航天员从高h=L处以初速度v0水平抛出一个小球,小球落到星球表面时,与抛出点的距离是‎5‎L,已知该星球的半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.该星球的质量M=‎v‎0‎‎2‎R‎2‎‎2GL B.该星球的质量M=‎‎2‎v‎0‎‎2‎R‎2‎‎5GL C.该星球的第一宇宙速度v=v0‎R‎2L D.该星球的第一宇宙速度v=v0‎RL 答案　AC ‎2.(2017内蒙古集宁一中摸底,4,4分)使物体脱离行星的引力束缚,不再绕该行星运行,从行星表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度,行星的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=‎2‎v1。已知某行星的半径为地球半径的三倍,它表面的重力加速度为地球表面重力加速度的‎1‎‎6‎。不计其他行星的影响,已知地球的第一宇宙速度为8 km/s,则该行星的第二宇宙速度为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.8 km/s B.4 km/s C.8‎2‎ km/s D.4‎2‎ km/s 答案　A ‎3.(2016河北保定摸底,4分)(多选)在地球上发射飞行器的三个宇宙速度的示意图如图所示,下面相关说法正确的是(　　)‎ A.v=7.9 km/s是第一宇宙速度,是飞行器在地球周围空间飞行的最大速度 B.v=11.2 km/s是第二宇宙速度,以该速度发射的飞行器可以克服地球引力离开地球 C.v=16.7 km/s是第三宇宙速度,以该速度发射的飞行器可以挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系外 D.当发射速度介于v=7.9 km/s与v=11.2 km/s之间时,飞行器将绕地球在更高轨道上做圆周运动 答案　BC ‎4.(2017安徽师大附中、马鞍山二中联考,24,12分)2016年10月17日,我国已成功发射了神舟十一号飞船,并按计划与在轨的目标飞行器“天宫二号”空间实验室交会对接,形成组合体。设组合体在轨道上绕地球做匀速圆周运动,已知组合体所在轨道处的重力加速度大小为g0,地球质量和半径分别为M和R。(引力常量G已知)求:‎ ‎(1)组合体的运行轨道离地面的高度h;‎ ‎(2)组合体在轨道上绕地球运行的速度大小v。‎ 答案　(1)h=GMg‎0‎-R　(2)v=‎‎4‎g‎0‎GM 方法4　随地球转和绕地球转问题的分析 ‎1.(2018安徽皖南八校联考,10,4分)(多选)通过对火星的探测得知,“火卫一号”位于火星赤道正上方,它到火星中心的距离为9 450 km,绕火星一周所用的时间为7 h 39 min。“火卫一号”绕火星运动的轨道可以认为是圆轨道,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。则下列说法正确的是(　　)‎ A.由题中信息可以求出火星的质量 B.若知道火星的半径,还可以求出火星表面的重力加速度 C.若知道火星表面的重力加速度,还可以求出火星的第一宇宙速度 D.若知道火星自转的周期,则可以求出火星对其赤道上某物体的引力 答案　ABC ‎2.(2017福建师大附中,10,4分)有a、b、c、d四颗地球卫星,a还未发射,在赤道表面上随地球一起转动,b是近地轨道卫星,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,它们均做匀速圆周运动,各卫星排列位置如图所示,则(　　)‎ A.a的向心加速度等于重力加速度g B.在相同时间内b转过的弧长最长 C.c在4小时内转过的圆心角是π‎6‎ D.d的运动周期有可能是20小时 答案　B ‎3.(2017河北唐山联考,11,4分)(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1,近地卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2,地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。若近地卫星距地面高度不计,同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则以下结论正确的是(　　)‎ A.v‎2‎v‎3‎=‎6‎ B.v‎1‎v‎3‎=‎1‎‎7‎ C.a‎2‎a‎3‎=49 D.a‎1‎a‎3‎=‎‎1‎‎7‎ 答案　BCD 知识拓展 卫星的变轨 ‎　　卫星变轨问题具有较强的知识综合性,能很好地考查学生的空间思维能力和分析推理能力,是历年高考命题的热点题材,部分同学还没有掌握此类问题的分析求解方法。下面就卫星变轨的原因和处理方法作以简单归纳,供同学们参考。‎ 一、认识卫星的变轨 ‎1.变轨 卫星在轨期间自主改变运行轨道的过程叫变轨。人造卫星发射后需要经过多次变轨,才能进入预定轨道。实际发射的卫星在进入轨道时存在一定误差,一般要对运动轨道进行数次微调达到最佳状态时才开始真正变轨,此过程卫星一般不止运行一圈。此外,在轨运行的卫星沿轨道运行时还需缓慢转动,使安装在卫星上的专门仪器或天线对地定向,太阳能帆板对日定向,它含有轨道力学(研究卫星质心绕地的运动)和姿态动力学(研究卫星绕其质心的转动及卫星各部分间的相对运动)两个方面,高中阶段只考虑轨道力学问题,不涉及姿态动力学方面的问题。‎ ‎　　2.变轨原理及过程 若把地球看成一个匀质的球体,卫星要想绕其做圆周运动必须具有足够大的水平飞行速度才行,且卫星离地时的速度越大其轨道就越高。为节约火箭的能量,一般采用顺行轨道发射,充分利用地球自西向东旋转的初速度。‎ 将一颗卫星送到较高轨道上去,可采用直线或变轨两种方式发射。直线发射是一次送达,因要克服地球引力做功,且卫星处于动力飞行状态耗能多,故一般采用变轨发射。变轨发射时先把卫星送到近地轨道Ⅰ,当卫星运行到某点A时点火加速,卫星离心运动进入椭圆轨道Ⅱ,当卫星到达远地点B时,再开动发动机进行加速,使之进入预定轨道Ⅲ。‎ ‎3.卫星变轨过程中描述卫星运动的参量的变化 卫星绕地做近似圆周运动,可用轨道半径、线速度、角速度、周期、加速度、动能及能量来描述它在三维空间内的运动,因卫星是靠地球的引力提供向心力的,故用GMmr‎2‎=mv‎2‎r=mrω2=mr‎4‎π‎2‎T‎2‎=ma来分析轨道半径变化时相关参量的变化情况。‎ 二、卫星变轨的原因 ‎1.星体间的相互影响 卫星在轨定位后,由于受到太阳、月亮和其他天体引力作用及相关天体活动周期带来的影响,卫星会产生不同方向的漂移运动,偏离原来的位置,因此地球上看到的通信卫星并不是完全静止的。很多家用卫星接收天线收看一段时间后信号变得很差,就是这个原因。‎ 例1　美国东部时间2009年2月10日上午11时55分(北京时间11日零时55分),美国铱星33与俄罗斯已报废的宇宙-2251卫星在西伯利亚上空发生相撞,这是历史上首次卫星相撞事故。2月12日欧洲航天局发布的美俄卫星相撞电脑合成照片显示的是约有12 000块太空碎片成为太空垃圾而围绕地球运转,地面上能观测到并记录在案的在太空中的碎片约有4 000多万个,形成约3 000吨太空垃圾。大型太空碎片进入大气层时,会对地面的生命财产安全构成威胁。当太阳活动期到来,地球上的大气层被拉起使部分太空垃圾进入大气层,这些太空垃圾开始做靠近地球的向心运动。下列说法正确的是(　　)‎ A.产生这一结果的原因是由于太空垃圾受到的地球引力减小而导致的向心运动 B.产生这一结果的原因是由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动 C.太空垃圾进入大气层后的动能变大,最后在大气层中烧毁 D.太空垃圾进入大气层后的动能变小,最后落在地球上 解析　当太空垃圾进入大气层时受空气阻力的影响,其动能减小,速度减小,地球对它的引力大于圆周运动的向心力,因此垃圾碎片就做向心运动。轨道半径减小时相当于卫星从高轨下低轨,此过程中地球引力对它做正功,动能逐渐增大。随着速度的增大,它与地球周围的大气摩擦产生大量的热而烧毁,故选B、C。‎ 答案　BC ‎2.空间探索的需要 深邃的太空给了我们无尽的遐想,为探索更多的宇宙奥秘,可以根据相关工作的需要对卫星的运行轨道进行调整,还可组建我们自己的空间站,以满足空间事业发展的要求。‎ ‎(1)人工调整 卫星从发射、变轨、轨道维持和返回的各个环节都是在操作人员的精准测控下完成的,各个环节都是通过控制卫星上小发动机的喷气时间和速度,使卫星的运行速度发生变化,打破原有的运动状态,做相应的离心或向心运动,达到变轨的目的。‎ 例2　我国的国土范围在东西方向上大致分布在东经70°到东经135°间,所以我国发射的同步卫星一般定点在赤道上空35 786 km东经100°附近。假设某通信卫星计划定点在东经104°的位置,经测量卫星刚进入轨道时位于赤道上空35 786 km东经103°处,为把它调整到104°处,可以先短时间内启动卫星上的小型喷气发动机调整卫星的高度,改变其周期,使其漂移到预定经度后,再短时间内启动发动机调整卫星的高度实现定点,两次调整高度的方向依次是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　A.向下　向上 B.向上　向下 C.向上　向上 D.向下　向下 解析　设质量为m的卫星在半径为r的轨道上绕质量为M的地球运行周期为T,由GMmr‎2‎=mr‎4‎π‎2‎T‎2‎得T=2πr‎3‎GM。故r减小时T也减小。欲使103°处的卫星调整到104°处,需先减小r使之超前到104°经线,再加速上高轨,实现漂移,即选A。‎ 答案　A 此类题在变轨漂移时,先要看目标位置与实际位置的经度差。若超前小于180°时,可采用本例的方法处理;若超前大于180°时,宜采用先加速上高轨再减速下低轨的方法来调整。‎ ‎(2)组建宇宙空间站 随着空间技术的快速发展,建立自己的空间站已列入议事日程。由于组成空间站的各功能舱、连接各功能舱的接点舱以及各种设备和物资都是分批发送后,再实现太空对接、太空安装和太空运输的,对接是建设空间站的重要课题。对接又分为同轨对接和异轨对接,其中,异轨对接是卫星发射后在通过转移轨道的适当位置时与高轨上的空间站对接。‎ 例3　2012年6月18日在完成捕获、缓冲、拉近和锁紧程序后,神舟九号与天宫一号紧紧相牵形成稳定运行的组合体,这标志着中国首次载人交会对接取得成功。为使在轨运行的神九追上天宫(　　)‎ A.神九可从较低轨道上加速 B.神九可从较高轨道上加速 C.神九可从同天宫同一轨道上加速 D.无论在什么轨道上,只要对神九加速就行 解析　对接前神九和天宫在轨稳定运行都可近似视为圆周运动,若直接让神九加速追赶或让天宫减速等待,它们就会脱离原轨道,不能实现对接,这一点不同于平直公路上同向行驶的两辆汽车的加减速。实际运行的神九轨道较低,可先让它在低轨上运行,根据高轨空间站的运动周期和卫星在转移轨道上的运行周期适时喷气加速,使之在高轨上实现对接,故选项A对、B错误。而在同一轨道上只加速不减速是不可能进行对接的,即选项C、D错。‎ 答案　A 三、卫星变轨的方法 ‎1.渐变 受环境因素的影响,在轨运行卫星的轨道半径发生缓慢增大或减小的变化属渐变运动。此类问题虽半径缓慢变化,但卫星每一周的运动仍可看做是匀速圆周运动,故可根据变轨是离心还是向心,来判断卫星的其他相关物理量如何变化。‎ 例4　2011年10月4日瑞典皇家科学院将2011年诺贝尔物理学奖授予美国科学家索尔·珀尔马特、澳大利亚科学家布赖恩·施密特和美国科学家亚当·里斯,他们领导的两个小组“通过观测遥远的超新星而发现宇宙正在加速扩张”,提出了“暗能量”存在的证据。观测证明,这些超新星的发光度要小于按照原先给定的宇宙膨胀速率计算出的数据,其发光的波长被拉长了,说明超新星离地球的距离要比想象的远,在蕴藏于空间结构中的某种未知能量的推动下,宇宙正在分崩离析。下面有关宇宙扩张的叙述中正确的有(　　)‎ A.宇宙加速扩张时星体绕行运动的线速度将会变大 B.宇宙加速扩张时星体绕行运动的周期将会变大 C.宇宙加速扩张时星体仍受到中心星体的引力,只不过是引力在不断减小 D.宇宙加速膨胀会最终导致整个宇宙的密度越来越小,温度越来越高 解析　宇宙是在暗能量的影响下加速扩张的,中心天体对星体依然有引力作用,在一段较长的时间内星体仍然绕中心天体做圆周运动,但由于暗引力的影响,星体的绕行半径才逐渐增大,‎ 此过程类似卫星加速上高轨。故其绕行运动的线速度将会变小,周期将会变大,即选项A错,选项B、C对。宇宙的加速膨胀,将会使天体存在的宇宙空间不断扩大,使各天体间距不断扩大,行星与恒星之间的距离越来越大,随着恒星演化为冷天体而不再产生独立态的无能量粒子,行星将逐步冷却,因此宇宙的密度越来越小,温度越来越低,即选项D错。‎ 答案　BC ‎2.突变 根据技术上的需要,在轨运行的卫星有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机,使飞行器轨道发生突变,使其到达预定的目标。‎ 例5　一颗绕地飞行的通信卫星,由于受到太阳和月亮等天体的引力作用而偏离赤道轨道,使其实际运行轨道与赤道平面有一夹角,可以启动卫星上的小喷气发动机来调整,下列措施中可行的是(　　)‎ A.先向前喷气减速下低轨,再向后喷气加速上高轨 B.先向后喷气加速上高轨,再向前喷气减速下低轨 C.当运行到北半球上空,先向北喷气使其获得一个较小的向赤道上空运动的速度后,再适时向南喷气减速向赤道运动 D.当运行到南半球上空时,先向南喷气使其获得一个较小的向赤道平面的速度后,再适时改变喷气方向使之绕赤道平面的微小振动是一个阻尼振动,直至进入静止轨道 ‎　　‎ 解析　依题意绘制卫星绕地运动的空间草图如图。由图知引力恰提供其圆周运动的向心力,而不能将其拽到赤道平面,因此需启动小型喷气发动机使之获得一个指向赤道平面的速度,但当其一旦运动起来,‎ 就会在赤道平面附近做微小振动,为使卫星能在同步轨道上相对于地表静止,必须设法使其振动的速度减为零,才能达到目的,故选C、D。‎ 答案　CD 四、变轨问题的分析方法 ‎1.引力分析法 飞船绕行运动是一种曲线运动,由中心天体的引力提供向心力。当引力较大而速率较小时,卫星将做向心运动,反之就做离心运动,使之从高轨下低轨或从低轨上高轨,解题时可从GMmR‎2‎=mv‎2‎R=mR‎4‎π‎2‎T‎2‎中挑选公式快速处理。‎ ‎2.能量分析法 当卫星轨道发生变化时,引力做功使其能量发生相应的变化,从高轨下低轨引力做正功,将重力势能转化成动能,使其线速度和角速度都增大。‎ 例6　我国计划在2025年实现载人登月,并在绕月轨道上建造空间站。如图所示,关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近,并将与空间站在B处对接,已知空间站绕月轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则下列说法中正确的有(　　)‎ A.图中航天飞机正加速向B处飞行 B.航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道需点火减速 C.根据题中条件可以算出月球质量 D.根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小 解析　航天飞机从月球的高轨下低轨过程中月球引力做正功,速度越来越大,欲使之能与空间站在B处对接需点火向前喷气,减速下低轨,即选项A、B对。空间站在绕月运行时由月球引力提供向心力,由GMmr‎2‎=mr‎4‎π‎2‎T‎2‎可求出月球的质量M,但因空间站的质量未知,故不能求出空间站受月球引力的大小,即选项C对,选项D错。‎ 答案　ABC