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- 2021-05-26 发布
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2020-2021 年高三物理考点专项突破:矢量三角形的用法
1.(2019 全国 3)用卡车运输质量为 m 的匀质圆筒状工件,为使工件保持固定,将其置于两光滑斜面之间,
如图所示。两斜面 I、Ⅱ固定在车上,倾角分别为 30°和 60°。重力加速度为 g。当卡车沿平直公路匀速行驶
时,圆筒对斜面 I、Ⅱ压力的大小分别为 F1、F2,则
A. 12
33==32FmgFmg , B. 12
33==23FmgFmg ,
C. 12
13==22FmgFmg, D. 12
31==22FmgFmg ,
【答案】D
【解析】:对圆筒受力分析,圆筒受到重力、以及两斜面其支持力,如图所示;
结合矢量三角形法,将物体所受的三个力通过平移延长等手段放在一个封闭的三角形中,如图所示;
在红色的三角形中:
mgmgFmg
F
2
130sin....30sin /
2
/
2
mgmgFmg
F
2
330cos....30cos /
1
/
1
根据牛三定律: /
22
/
11 ....... FFFF ,故 D 选项正确;
2.(2019 年全国 1)如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,其
一端悬挂物块 N。另一端与斜面上的物块 M 相连,系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动 N,
直至悬挂 N 的细绳与竖直方向成 45°。已知 M 始终保持静止,则在此过程中
A. 水平拉力的大小可能保持不变
B. M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C. M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D. M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】:假设经过一定时间后 N 物体与竖直方向的夹角为 θ,对 N 受力分析如左图所示:
结合矢量三角形法,将物体所受的力放在一个封闭的力三角形中,当 θ 从 0-45 增大时,由几何关系得:
FmgFmg
F ,...tan.....tan
TmgTT
mg ,....cos.....cos
故:A 错 B 对;
开始时,因为不确定静摩擦力的大小与方向,即开始时静摩擦力的大小可能沿斜面向上也可能沿斜面向下;
所以对 M 受力分析可知,若起初 M 受到的摩擦力 f 沿斜面向下,则随着绳子拉力 T 的增加,则摩擦力 f 也
逐渐增大;若起初 M 受到的摩擦力 f 沿斜面向上,则随着绳子拉力 T 的增加,摩擦力 f 可能先减小后增加。
故本题选 BD。
3.如图所示,光滑半球形容器固定在水平面上,O 为球心。一质量为 m 的小滑块,在水平力 F 的作用下静
止于 P 点。设滑块所受支持力为 FN,OP 与水平方向的夹角为 θ。下列关系正确的是( )
A.F= mg
tan θ B.F=mgtan θ
C.FN= mg
tan θ D.FN=mgtan θ
【答案】A
【解析】:如图所示,对滑块受力分析,滑块受的三个力组成封闭三角形,结合三角函数的相关知识解直角
三角形得:F= mg
tan θ,FN= mg
sin θ。
4.如图所示,将一劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部处 O(O 为球心),弹簧另
一端与质量为 m 的小球相连,小球静止于 P 点。已知容器半径为 R、与水平面间的动摩擦因数为 μ,OP 与
水平方向的夹角为 θ=30°求轻弹簧对小球的作用力大小为多少,圆弧面对小球的支持力?
【答案】:设弹簧对小球的支持力为 F2 圆弧对小球的支持力为 F1, F1=F2=mg
【解析】:如图所示,对小球受力分析,将小球所受的力放下封闭的三角形中,根据相似三角形对应边成比
例: 2mg1
,,
F
POOO
F
OP
,由题意可知:OP=OO,=O,P,故: F1=F2=mg
5.如图所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体 A,A 的左端紧靠竖直墙,A 与竖
直墙之间放一光滑圆球 B,已知 A 的圆半径为球 B 的半径的 3 倍,球 B 所受的重力为 G,整个装置处于静
止状态。设墙壁对 B 的压力为 F1,A 对 B 的支持力为 F2,则若把 A 向右移动少许后,它们仍处于静止状
态,则 F1、F2 的变化情况分别是( )
A.F1 减小 B.F1 增大 C.F2 增大 D.F2 减小
【答案】:A、D
【解析】:先根据平衡条件和画出如图所示的矢量三角形,在 θ 角减小的过程中,从图中可直观地看出,F1、
F2 都会减小。故选项 A、D 正确。
6.如图所示,倾角为的固定斜面上有一个固定竖直挡板,在挡板和斜面之间有一 个质量为 m 的光滑球,设挡
板对球的支持力为 F1,斜面对球的支持力为 F2,将挡板绕挡板与斜面的接触点缓慢地转至水平位置。不计
摩擦,在此过程中( )
A.F1 始终增大,F2 始终减小
B.F1 始终增大,F2 先增大后减小
C.F1 先减小后增大,F2 先增大后减小
D.F1 先减小后增大,F2 始终减小
【答案】D
【解析】:设挡板与斜面之间的夹角为 ,结合矢量三角形的动态图解法处理。
7.(2016·全国 1 卷)质量为 m 的物体用轻绳 AB 悬挂于天花板上。用水平向左的力 F 缓慢拉动绳的中点 O,如
图所示。用 FT 表示绳 OA 段拉力的大小,在 O 点向左移动的过程中( )
A.F 逐渐变大,FT 逐渐变大
B.F 逐渐变大,FT 逐渐变小
C.F 逐渐变小,FT 逐渐变大
D.F 逐渐变小,FT 逐渐变小
【答案】: A
【解析】:以 O 点为研究对象,受力如图所示,当用水平向左的力缓慢拉动 O 点时,则绳 OA 与竖直方向的
夹角变大,由共点力的平衡条件知 F 逐渐变大,FT 逐渐变大,选项 A 正确。
8.如图所示,由两种材料做成的半球面固定在水平地面上,球右侧面是光滑的,左侧面粗糙,O 点为球心,
A、B 是两个相同的小物块(可视为质点),物块 A 静止在左侧面上,物块 B 在图示水平力 F 作用下静止在右
侧面上,A、B 处在同一高度,AO、BO 与竖直方向的夹角均为 θ,则半球面对 A 的支持力 FN1 以及静摩
擦力 f,半球对 B 的支持力 FN2 以及推力 F 的值?
【答案】见解析
【解析】分别对 AB 两物块进行受力分析,如图甲所示,将物块所受的力通过平移延长等手段,放在封闭的
三角形中,如图乙红色三角形所示;
在两个封闭的红色三角形中每一条边代表着一个力,结合三角函数的关
系:分别对 AB 两物块进行研究得:
对 A
mg
FN1θcos
θcos1 mgFN
mg
fsin
sinmgf
对 B
N2Fθcos mg
θcosFN2
mg
mg
Ftan
tanmgF
9.如图所示,小圆环 A 吊着一个质量为 m2 的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上,有一细线一端拴在小圆
环 A 上,另一端跨过固定在大圆环最高点 B 的一个小滑轮后吊着一个质量为 m1 的物块.如果小圆环、滑轮、
绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计,绳子又不可伸长,若平衡时弦 AB 所对应的圆心角为
α,则两物块的质量比 m1∶m2 应为
【答案】: 1
2sin2
2
1
a
m
m
【解析】:对小圆环环 A 进行受力分析如图甲所示;
将 A 所受的力通过平移、延长等手段放在一个封闭的三角形中如图乙所示;
在图乙中根据构造出来的红色封闭三角形与几何三角形 AOB 相似,根据相似三角形对应边成比例得:
2sin21
2sin2
2sin2,2
2sin
2
1
12
m
m
RABR
AB
gm
AB
F
R
gm
R
N
故:
由几何关系可得:
10.如图,墙上有两个钉子 a 和 b,它们的连线与水平方向的夹角为 45°,两者的高度差为 l。一条不可伸长
的轻质细绳一端固定于 a 点,另一端跨过光滑钉子 b 悬挂一质量为 m1 的重物。在绳上距 a 端 l/2 的 c 点有
一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为 m2 的钩码,平衡后绳的 ac 段正好水平,则重物和钩码的质量比为:
2:D 2
5:C 2:B 5:A
【答案】C
【解析】:对平衡后 C 处的结点进行受力分析,如图左图所示:构造封闭的三角形,如右图所示,几何三角
形 bCD 与红色的力三角形相似,根据对应边成比例得:
2
52
5
,
2
1 l
l
bD
bc
gm
gm
11.如图,一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 N1,球对木板的压力大小为 N2。
以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦,在此
过程( )
A.N1 始终减小,N2 始终增大
B.N1 始终减小,N2 始终减小
C.N1 先增大后减小,N2 始终减小
D.N1 先增大后减小,N2 先减小后增大
【答案】B
【解析】:根据题意,对小球进行受力分析,满足动态图解法的条件;构建出红色的封闭三角形;结合题意
小球所受的重力的大小和方向是不变的,小球所受的墙壁的支持力的方向是不变的;伴随着木板转动,木
板与墙壁之间的夹角 θ 在不断增大;在图中找到 θ 角,根据 θ 角的变化规律,改变三角形的形状,确定出
N1、N2 均在减小。
12.如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于 O 点.现用水平力 F 缓慢推动斜面体,小球在斜面上无
摩擦地滑动,细绳始终处于直线状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的
支持力 FN 以及绳对小球的拉力 FT 的变化情况是( )
A: FN 保持不变,FT 不断增大
B: FN 不断增大,FT 不断减小
C.FN 保持不变,FT 先增大后减小
D.FN 不断增大,FT 先减小后增大
【答案】D
【解析】:对小球受力分析,构建封闭的三角形,假设细线与竖直方向的夹角为 θ,根据题意 θ 在不断增大,
重力的大小和方向不变,支持力 FN 的方向不变;对红色三角形进行动态变化如右图所示,可知 D 正确。
13.如图所示,水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环,一个质量为 m 的小球套在环上,圆环最高点有一
小孔,细线一端被人牵着,另一端穿过小孔与小球相连,使球静止于 A 处,此时细线与竖直成 θ 角,重力
加速度为 g,将球由 A 处缓慢地拉至 B 处的过程中,球对细线的拉力如何变化,以及环对球的支持力如何
变化?
【答案】T 减小 FN 不变
【解析】:对小球受力分析,构建封闭的三角形,几何三角形 AOP 与红色的力三角形相似,对应边成比例;
FN
OA
T
PA
mg
op
因为 PA 减小;所以 T 减小,OA=OB 所以 FN 不变;
14.如图所示是一个简易起吊设施的示意图,AC 是质量不计的撑杆,A 端与竖直墙之间用铰链连接,一滑轮
固定在 A 点正上方,C 端吊一重物.现施加一拉力 F 将重物 P 缓慢向上拉,在 AC 杆达到竖直状态前
A.BC 绳中的拉力 FT 越来越大
B.BC 绳中的拉力 FT 越来越小
C.AC 杆中的支持力 FN 越来越大
D.AC 杆中的支持力 FN 越来越小
【答案】B
【解析】:对 C 点进行受力分析,如图甲所示,由平衡条件可知,将三个力按
顺序首尾相接,可形成如图乙所示的闭合三角形.很容易发现,这三个力
与△ABC 的三边始终平行,则
BC
F
AC
F
AB
G TN ,其中 G、AC、AB 均不变,BC 逐渐减小,则由上式
FN
OA
T
PA
mg
op
可知,FN 不变,FT 变小.