高考物理一轮复习专题六机械能及其守恒定律考点四功能关系能量守恒定律教学案含解析 19页

考点四 功能关系 能量守恒定律 基础点 知识点 1 功能关系 1．功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。 2．做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 3．几种常见力的功与能量转化的关系 (1)重力做功：重力势能和其他能相互转化。 (2)弹簧弹力做功：弹性势能和其他能相互转化。 (3)滑动摩擦力做功：机械能转化为内能。 (4)电场力做功：电势能与其他能相互转化。 (5)安培力做功：电能和机械能相互转化。 知识点 2 能量守恒定律 1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形 式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 2．适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的 一条规律。 3．表达式 (1)E 初＝E 末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。 (2)ΔE 增＝ΔE 减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。 重难点 一、功能关系 1．能的概念：一个物体能够对外做功，这个物体就具有能量。 2．功能原理：除重力、系统内弹力以外，其他所有外力对物体所做的功等于物体机械 能的变化，即功能原理。数学表达式 W 其他＝ΔE。 3．对功能关系的进一步理解 (1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现 的。 (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的 能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。 4．几种常见的功能关系及其表达式 不同的力做功 对应不同形式能的 变化 定量关系 合外力的功 动能变化 合外力所做的功等于物体动能的变化 量 W 合＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力的功 重力势能变化 重力做正功，重力势能减少；重力做 负功，重力势能增加 WG＝－ΔEp＝Ep1 －Ep2 弹簧弹力的功 弹性势能变化 弹力做正功，弹性势能减少；弹力做 负功，弹性势能增加 WF＝－ΔEp＝Ep1 －Ep2 只有重力、弹簧弹力的功 不引起机械能变化 机械能守恒ΔE＝0 除重力和弹力之外的力做的 功 机械能变化 除重力和弹力之外的力做多少正功， 物体的机械能就增加多少；除重力和 弹力之外的力做多少负功，物体的机 械能就减少多少 W＝ΔE 电场力的功 电势能变化 电场力做正功，电势能减少；电场力 做负功，电势能增加 W 电＝－ΔEp 安培力的功 电能的变化 安培力做正功，电能转化为其他形式 的能；安培力做负功，其他形式的能 转化为电能，W 安＝－ΔE 电 一对相互作用的滑动摩擦力 的总功 内能变化 作用于系统的一对滑动摩擦力一定做 负功，系统内能增加 Q＝Ff·l 相对 分子力的功 分子势能变化 分子力做正功，分子势能减小，分子 力做负功，分子势能增加 W 分子力＝－ ΔE 分子势能 特别提醒 (1)做功的过程就是能量转化的过程，但“功”并不是“能”，它仅仅是实现能量转化 的途径。功是过程量，能是状态量。不能说“功就是能”，也不能说“功变成能”。 (2)电场能、磁场能、内能、电能都不是机械能，他们是不同形式的能量。 (3)在应用功能关系时应注意是什么力做功及对“谁”做功，对“谁”做功就引起 “谁”的“相应”能量变化。 二、能量守恒 1．能量守恒的意义 能量守恒定律是最基本、最普遍、最重要的自然规律之一，它揭示了自然界中各种运动 形式不仅具有多样性，而且具有统一性。它指出了能量既不能无中生有，也不能消失，只能 在一定条件下相互转化或转移。 2．对能量守恒定律的两点理解 (1)某种形式的能量减少，一定有另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等，即ΔE 减＝ΔE 增。 (2)某个物体的能量减少，一定有别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等，即ΔEA 减＝ΔEB 增。 3．应用能量守恒定律解题的步骤 (1)分清有多少形式的能[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等] 在变化。 (2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE 减和增加 的能量ΔE 增的表达式。 (3)列出能量守恒关系式：ΔE 减＝ΔE 增。 特别提醒 能量守恒定律是普适定律，没有条件限制，任何情况都成立，是人们认识自然的基本规 律。 三、摩擦力做功与能量的关系 1．摩擦生热的两个角度 (1)从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量。 (2)从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量。 2．摩擦力做功的特点 (1)静摩擦力做功特点 ①单个静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 ②相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零，即 W1＋W2＝0。 ③在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作 用)，而没有机械能转化为其他形式的能。 (2)滑动摩擦力做功特点 ①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 ②存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：a.机械能全部 转化为内能；b.有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。 ③摩擦生热的计算：Q＝Ffs 相对。其中 s 相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程。 3．两种摩擦力做功情况比较 续表 特别提醒 (1)相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做功的代数和总为负值，其绝对值恰等于滑 动摩擦力与相对路程的乘积，即恰等于系统因摩擦而损失的机械能。(W1＋W2＝－Q，其中 Q 就是在摩擦过程中产生的内能) (2)一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体之 间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的数值等于滑动摩擦力与相对路程的 乘积，即 Q＝Ffl 相。 1．思维辨析 (1)做功的过程一定会有能量转化。( ) (2)力对物体做了多少功，物体就有多少能。( ) (3)力对物体做功，物体的总能量一定增加。( ) (4)能量在转化或转移的过程中，其总量会不断减少。( ) (5)能量的转化和转移具有方向性，且现在可利用的能源有限，故必须节约能源。( ) (6)滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化。( ) (7)物体在速度增大时，其机械能可能在减小。( ) (8)重力和弹簧弹力之外的力做功的过程是机械能和其他形式能量转化的过程。( ) (9)一对互为作用力与反作用力的摩擦力做的总功，等于系统增加的内能。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)√ (8)√ (9)√ 2．自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁 使它变形，则水的势能 ( ) A．增大 B．变小 C．不变 D．不能确定 答案 A 解析 人缓慢推水袋，对水袋做正功，由功能关系可知，水的重力势能一定增加，A 正 确。 3．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量 m＝0.5 kg 的物块相连，如图甲所示。弹 簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水 平向右为正方向建立 x 轴。现对物块施加水平向右的外力 F，F 随 x 轴坐标变化的情况如图 乙所示。物块运动至 x＝0.4 m 处时速度为零。则此时弹簧的弹性势能为(g 取 10 m/s2) ( ) A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.0 J 答案 A 解析 物块与水平面间的摩擦力为 f＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力 F，由 Fx 图象面积表示功可知 F 做功 W＝3.5 J，克服摩擦力做功 Wf＝fx＝0.4 J。由功能关系可 知，W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为 Ep＝3.1 J，选项 A 正确。 [考法综述] 功能关系能量守恒贯穿于物理学的各个部分，是高考重点考查内容 之一，试题内容丰富，物理过程复杂多变，情景新颖有韵味，但是题目隐含的条件多，难度 较大。涉及弹簧类、摩擦类、新情景类试题，多以计算题的形式出现。解题关键是抓住物体 的运动过程和受力过程，灵活使用功能关系、能量守恒，通过复习应掌握： 1 个原理——功能原理 1 个守恒——能量守恒 2 个特点——静摩擦力、滑动摩擦力做功特点 9 个关系——九个常见的功能关系 命题法 1 功能关系的应用 典例 1 (多选)如图所示，楔形木块 abc 固定在水平面上，粗糙斜面 ab 和光滑斜面 bc 与水平面的夹角相同，顶角 b 处安装一定滑轮。质量分别为 M、m(M>m)的滑块，通过不可 伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。 若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( ) A．两滑块组成系统的机械能守恒 B．重力对 M 做的功等于 M 动能的增加 C．轻绳对 m 做的功等于 m 机械能的增加 D．两滑块组成系统的机械能损失等于 M 克服摩擦力做的功 [答案] CD [解析] 由于 M 与 ab 面之间存在滑动摩擦力，滑动摩擦力对系统做功，故两滑块组成 系统的机械能不守恒，选项 A 错误；合力对 M 做的功等于 M 动能的增加，选项 B 错误；除了 m 的重力对其做功外，只有轻绳的拉力对其做功，故轻绳对 m 做的功等于 m 机械能的增加， 选项 C 正确；对于两滑块组成的系统，其在运动过程中克服摩擦力做功，系统的机械能转化 为内能，故该系统机械能的损失等于 M 克服摩擦力做的功，选项 D 正确。 【解题法】 功能关系的选用技巧 (1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。 (2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。 (3)只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 (4)只涉及电势能的变化用静电力做功与电势能变化的关系分析。 命题法 2 能量守恒定律的应用 典例 2 如图所示，光滑水平面 AB 与竖直面内的半圆形导轨在 B 点相切，半圆形导 轨的半径为 R。一个质量为 m 的物体将弹簧压缩至 A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获 得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过 B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的 8 倍，之后向上运动恰能到达最高点 C。(不计空气阻力)试求： (1)物体在 A 点时弹簧的弹性势能； (2)物体从 B 点运动至 C 点的过程中产生的内能。 [答案] (1)7 2 mgR (2)mgR [解析] (1)设物体在 B 点的速度为 vB，所受支持力为 FNB，则有 FNB－mg＝mv2 B R 又 FNB＝8mg 由能量守恒定律可知弹性势能 Ep＝1 2 mv2 B＝7 2 mgR (2)设物体在 C 点的速度为 vC，由题意可知 mg＝mv2 C R 物体由 B 点运动到 C 点的过程中，由能量守恒定律得 Q＝1 2 mv2 B－ 1 2 mv2 C＋2mgR 解得 Q＝mgR。 【解题法】 涉及能量转化问题的解题方法 (1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。 (2)解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种 形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE 减和增加的能量总和ΔE 增，最后由ΔE 减＝ΔE 增 列式求解。 命题法 3 摩擦力做功与能量转化的关系 典例 3 如图所示，AB 为半径 R＝0.8 m 的 1/4 光滑圆弧轨道，下端 B 恰与平板小车 右端平滑对接。小车质量 M＝3 kg，车长 L＝2.06 m。现有一质量 m＝1 kg 的小滑块，由轨 道顶端无初速释放，滑到 B 端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因 数μ＝0.3，当车运动了 t0＝1.5 s 时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)。 试求： (1)滑块到达 B 端时，轨道对它支持力的大小； (2)车被锁定时，车右端距轨道 B 端的距离； (3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与平板车构成的系统损失的机械能； (4)滑块滑离车左端时的动能。 [答案] (1)30 N (2)1 m (3)6 J (4)0.32 J [解析] (1)滑块从光滑圆弧轨道滑下的过程，根据机械能守恒定律得 mgR＝1 2 mv2。 滑块经过 B 端时，由牛顿第二定律得：FN－mg＝mv2 R 。 联立两式，代入数值得 FN＝3mg＝30 N。 (2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律， 对滑块有：－μmg＝ma1，对小车有：μmg＝Ma2 设经时间 t 两者达到共同速度，则有：v＋a1t＝a2t 解得 t＝1 s。由于 1 s＜1.5 s，此 时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′＝a2t＝1 m/s，两者以共同速度运动时间为 t′＝ 0.5 s。故车被锁定时，车右端距轨道 B 端的距离：s＝1 2 a2t2＋v′t′＝1 m。 (3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离 Δs＝v＋v′ 2 t－1 2 a2t2＝2 m 所以系统损失的机械能即产生的内能为 Q＝μmgΔs＝6 J。 (4)对小滑块在车被锁定后相对车滑动过程，由动能定理得 －μmg(L－Δs)＝Ek－1 2 mv′2 得，Ek＝0.32 J。 【解题法】 求解相对滑动物体的能量问题的方法 (1)正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析。 (2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。 (3)公式 Q＝Ff·l 相对中 l 相对为两接触物体间的相对位移，若物体在接触面上做往复运动 时，则 l 相对为总的相对路程。 1．(多选) 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为 m、套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 A 处由静止开始下滑，经过 B 处的速度最大， 到达 C 处的速度为零，AC＝h。圆环在 C 处获得一竖直向上的速度 v，恰好能回到 A。弹簧始 终在弹性限度内，重力加速度为 g。则圆环( ) A．下滑过程中，加速度一直减小 B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为 1 4 mv2 C．在 C 处，弹簧的弹性势能为 1 4 mv2－mgh D．上滑经过 B 的速度大于下滑经过 B 的速度 答案 BD 解析 由题可知圆环向下运动过程中，在 B 点速度最大，可说明圆环向下先加速后减速， 加速度先向下减小，后向上增大，A 项错误；下滑过程和上滑过程克服摩擦力做功相同，设 克服摩擦力做功为 Wf，由此下滑过程 Wf＋Ep＝mgh，上滑过程 Wf＋mgh＝1 2 mv2＋Ep，由以上两 式可得克服摩擦力做功 Wf＝1 4 mv2，B 项正确；在 C 处：Ep＝mgh－Wf＝mgh－1 4 mv2，可知 C 项错 误；下滑从 A 到 B，1 2 mv2 B1＋Ep′＋Wf′＝mgh′，上滑从 B 到 A，1 2 mv2 B2＋Ep′＝mgh′＋Wf′＝1 2 mv2 B1 ＋Ep′＋2Wf′，由以上两式可得 vB2>vB1，D 项正确。 2．如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫 板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( ) A．缓冲器的机械能守恒 B．摩擦力做功消耗机械能 C．垫板的动能全部转化为内能 D．弹簧的弹性势能全部转化为动能 答案 B 解析 由于系统内存在摩擦力，在车厢撞击压缩弹簧的过程中需要克服摩擦力做功，机 械能不守恒，垫板的动能一部分转化为弹簧弹性势能，另一部分转化为内能，A、C 错误，B 正确。弹簧恢复原长过程中，克服摩擦力做功，弹性势能转化为内能和动能，D 错误。 3．(多选)如图，质量相同的两物体 a、b，用不可伸长的轻绳跨接在同一光滑的轻质定 滑轮两侧，a 在水平桌面的上方，b 在水平粗糙桌面上。初始时用力压住 b 使 a、b 静止，撤 去此压力后，a 开始运动，在 a 下降的过程中，b 始终未离开桌面。在此过程中( ) A．a 的动能小于 b 的动能 B．两物体机械能的变化量相等 C．a 的重力势能的减少量等于两物体总动能的增加量 D．绳的拉力对 a 所做的功与对 b 所做的功的代数和为零 答案 AD 解析 由于 va＝vbcosθ，θ为拉 b 的绳与水平面的夹角，质量相同，动能 Ek＝1 2 mv2，可 知选项 A 正确；a 物体下降时，a 的机械能的减少量等于 b 物体的动能增加量和 b 克服摩擦 力做功之和，选项 B、C 错误；绳的拉力对 a 所做功等于 a 的机械能的减少量，绳的拉力对 b 所做的功等于 b 的动能增加量和克服摩擦力做功之和，选项 D 正确。 4．如图所示，物体 A 的质量为 m，置于水平地面上，A 的上端连一轻弹簧，原长为 L， 劲度系数为 k。现将弹簧上端 B 缓慢地竖直向上提起，使 B 点上移距离为 L，此时物体 A 也 已经离开地面，则下列说法中正确的是( ) A．提弹簧的力对系统做功为 mgL B．物体 A 的重力势能增加 mgL C．系统增加的机械能小于 mgL D．以上说法都不正确 答案 C 解析 由于将弹簧上端 B 缓慢地竖直向上提起，可知提弹簧的力是不断增大的，最后大 小等于 A 物体的重力，因此提弹簧的力对系统做功应小于 mgL，A 选项错误。系统增加的机 械能等于提弹簧的力对系统做的功，C 选项正确。由于弹簧的伸长，物体升高的高度小于 L， 所以 B 选项错误。 5．(多选)如图甲所示，物体以一定的初速度从倾角α＝37°的斜面底端沿斜面向上运 动，上升的最大高度为 3.0 m。选择地面为参考平面，上升过程中物体的机械能 E 随高度 h 的变化如图乙所示。取 g＝10 m/s2，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80。则( ) A．物体的质量 m＝0.67 kg B．物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.40 C．物体上升过程中的加速度大小 a＝10 m/s2 D．物体回到斜面底端时的动能 Ek＝10 J 答案 CD 解析 物体上升到最高点时，E＝Ep＝mgh＝30 J，得 m＝1 kg，物体损失的机械能ΔE 损 ＝μmgcosα· h sinα ＝20 J，得μ＝0.50，A、B 错误。物体上升过程中的加速度大小a＝gsinα ＋μgcosα＝10 m/s2，故 C 正确。下降过程摩擦生热也应为 20 J，故物体回到斜面底端时 的动能 Ek＝50 J－40 J＝10 J，D 正确。 6．如图，质量为 M 的小车静止在光滑水平面上，小车 AB 段是半径为 R 的四分之一圆弧 光滑轨道，BC 段是长为 L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 B 点。一质量为 m 的滑块在小 车上从 A 点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为 g。 (1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力； (2)若不固定小车，滑块仍从 A 点由静止下滑，然后滑入 BC 轨道，最后从 C 点滑出小车。 已知滑块质量 m＝M 2 ，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的 2 倍，滑 块与轨道 BC 间的动摩擦因数为μ，求： ①滑块运动过程中，小车的最大速度大小 vm； ②滑块从 B 到 C 运动过程中，小车的位移大小 s。 答案 (1)3mg (2)①vm＝ gR 3 ②s＝1 3 L 解析 (1)滑块滑到 B 点时对小车压力最大，从 A 到 B 由能量守恒定律，得 mgR＝1 2 mv2 B 滑块在 B 点处，由牛顿第二定律 N－mg＝mv2 B R 解得 N＝3mg 由牛顿第三定律，得 N′＝3mg (2)①滑块下滑到达 B 点时，小车速度最大。由能量守恒定律，得 mgR＝1 2 Mv2 m＋1 2 m(2vm)2 解得 vm＝ gR 3 ②设滑块运动到 C 点时，小车速度大小为 vC，由能量守恒定律，得 mgR－μmgL＝1 2 Mv2 C＋1 2 m(2vC)2 设滑块从 B 到 C 过程中，小车运动加速度大小为 a，由牛顿第二定律 μmg＝Ma 由运动学规律，得 v2 C－v2 m＝－2as 解得 s＝1 3 L 7. 如图甲所示，物块与质量为 m 的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连 接。物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为 l。 开始时物块和小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值。现给小球施加一始终垂直于 l 段细绳的力，将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成 60°角，如图乙所示，此时传感装置的 示数为初始值的 1.25 倍；再将小球由静止释放，当运动至最低位置时，传感装置的示数为 初始值的 0.6 倍，不计滑轮的大小和摩擦，重力加速度的大小为 g。求： (1)物块的质量； (2)从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服空气阻力所做的功。 答案 (1)M＝3m (2)Wf＝0.1mgl 解析 (1)设开始时细绳的拉力大小为 T1，传感装置的初始值为 F1，物块质量为 M，由 平衡条件得 对小球，T1＝mg① 对物块，F1＋T1＝Mg② 当细绳与竖直方向的夹角为 60°时，设细绳的拉力大小为 T2，传感装置的示数为 F2， 据题意可知，F2＝1.25F1，由平衡条件得 对小球，T2＝mgcos60°③ 对物块，F2＋T2＝Mg④ 联立①②③④式，代入数据得 M＝3m⑤ (2)设小球运动至最低位置时速度的大小为 v，从释放到运动至最低位置的过程中，小 球克服阻力所做的功为 Wf，由功能关系得 mgl(1－cos60°)－Wf＝1 2 mv2⑥ 在最低位置，设细绳的拉力大小为 T3，传感装置的示数为 F3，据题意可知， F3＝0.6F1，对小球，由牛顿第二定律得 T3－mg＝mv2 l ⑦ 对物块，由平衡条件得 F3＋T3＝Mg⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得 Wf＝0.1mgl⑨ 8．如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为 v0。 小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与乙之间的动摩擦因数为μ。乙 的宽度足够大，重力加速度为 g。 (1)若乙的速度为 v0，求工件在乙上侧向(垂直于乙的运动方向)滑过的距离 s； (2)若乙的速度为 2v0，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小 v； (3)保持乙的速度 2v0 不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上， 如此反复。若每个工件的质量均为 m，除工件与传送带之间摩擦外，其他能量损耗均不计， 求驱动乙的电动机的平均输出功率 P 。 答案 (1) 2v2 0 2μg (2)2v0 (3)4 5μmgv0 5 解析 (1)摩擦力与侧向的夹角为 45° 侧向加速度大小 ax＝μgcos45° 匀变速直线运动－2axs＝0－v2 0 解得 s＝ 2v2 0 2μg (2)设 t＝0 时刻摩擦力与侧向的夹角为θ，侧向、纵向加速度的大小分别为 ax、ay，则 ay ax ＝tanθ，很小的Δt 时间内，侧 向、纵向的速度增量Δvx＝axΔt，Δvy＝ayΔt 解得Δvy Δvx ＝tanθ 且由题意知 tanθ＝vy vx 则vy′ vx′ ＝vy－Δvy vx－Δvx ＝tanθ 所以摩擦力方向保持不变 则当 vx′＝0 时，vy′＝0，即 v＝2v0 (3)工件在乙上滑动时侧向位移为 x，沿乙速度方向的位移为 y，由题意知 ax＝μgcosθ， ay＝μgsinθ 在侧向上－2axx＝0－v2 0 在纵向上 2ayy＝(2v0)2－0 工件滑动时间 t＝2v0 ay 乙前进的距离 y1＝2v0t 工件相对乙的位移 L＝ x2＋ y1－y 2 则系统摩擦生热 Q＝μmgL 电动机做功 W＝1 2 m(2v0)2－1 2 mv2 0＋Q 由 P ＝W t ，解得 P ＝4 5μmgv0 5 物理建模 传送带模型中的能量问题 1．模型构建：传送带是应用较广泛的一种传动装置，把物体放到运动着的传送带上， 物体将在静摩擦力或滑动摩擦力的作用下被传送带输送到另一端，该装置即为传送带模型。 2．传送带模型的特点 (1)传送带的传动状态由转动轴决定，匀速转动或加速转动，与物体的运动情况无关。 (2)物体的运动状态由物体刚滑上传送带的初速度和所受的合外力来决定，故对物体正 确受力分析和过程分析是突破该类题型的关键。 3．传送带模型条件 (1)传送带匀速或加速运动。 (2)物体以初速度 v0 滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力。 (3)物与传送带之间有相对滑动。 4．解决传送带模型中的功能关系 (1)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q (2)对 WF 和 Q 的理解： ①传送带做的功：WF＝F·x 传 ②产生的内能 Q＝Ff·x 相对 5．解决传送带模型应注意的问题 (1)明确传送带的运动情况，是匀速、匀加速还是存在两段不同的运动过程。 (2)审清物体接触传送带时相对地面的初速度是否为零。 (3)判断初始时刻物体与传送带之间的相对运动。 (4)分析确定摩擦力的情况。 (5)判断当物体与传送带速度相等时，摩擦力的大小、方向是否发生突变。 【典例】 如图所示，与水平面夹角为θ＝30°的倾斜传送带始终绷紧，传送带下端 A 点与上端 B 点间的距离为 L＝4 m，传送带以恒定的速率 v＝2 m/s 向上运动。现将一质量为 1 kg 的物体无初速度地放于 A 处，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝ 3 2 ，取 g＝10 m/s2， 求： (1)物体从 A 运动到 B 共需多少时间？ (2)电动机因传送该物体多消耗的电能。 [解析] (1)物体无初速度地放在 A 处后，因 mgsinθ<μmgcosθ，故物体斜向上做匀 加速直线运动。 加速度 a＝μmgcosθ－mgsinθ m ＝2.5 m/s2 物体达到与传送带同速所需的时间 t1＝v a ＝0.8 s t1 时间内物体的位移 x1＝v 2 t1＝0.8 m 之后物体以速度 v 做匀速运动，运动的时间 t2＝L－x1 v ＝1.6 s 物体运动的总时间 t＝t1＋t2＝2.4 s (2)物体在传送过程中的功能关系如图所示。 解法一：前 0.8 s 内物体相对传送带的位移Δx＝vt1－x1＝0.8 m 因摩擦而产生的内能 E 内＝μmgcosθ·Δx＝6 J 整个过程中多消耗的电能 E 电＝Ek＋Ep＋E 内＝1 2 mv2＋mgLsinθ＋E 内＝28 J 解法二：电动机多消耗的电能在数值上等于两个过程传送带克服摩擦力所做的功 E 电＝Wf1＋Wf2 传送带在加速过程的位移 x1′＝vt1＝1.6 m Wf1＝μmgx1′cosθ＝12 J 传送带在匀速过程的位移 x2′＝vt2＝3.2 m Wf2＝mgx2′sinθ＝16 J 所以 E 电＝28 J [答案] (1)2.4 s (2)28 J [心得体会] 高考对机械能守恒定律的应用多数情况下考查的是两个物体组成的系统，这两个物体一 般由细绳或轻杆连接在一起，从运动过程中所涉及的能量形式的角度来看，只有重力势能、 动能之间的相互转化，因为系统内弹力对一个物体所做的正功与对另一个物体所做的负功数 值相等，即内力做功的代数和为零，“没有摩擦力和介质阻力”做功，系统满足机械能守恒。 能否判断研究系统的机械能守恒与否是正确解题的关键，由于一些同学不能正确判断导 致错误，现举一例分析如下。 (多选)质量分别为 m 和 M(其中 M＝2m)的两个小球 P 和 Q，中间用轻质杆固定连接， 在杆的中点 O 处有一个固定转轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺 时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是( ) A．Q 球的重力势能减少、动能增加，Q 球和地球组成的系统机械能守恒 B．P 球的重力势能、动能都增加，P 球和地球组成的系统机械能不守恒 C．P 球、Q 球和地球组成的系统机械能守恒 D．P 球、Q 球和地球组成的系统机械能不守恒 [错解] [错因分析] 没有充分理解机械能守恒的条件而错选。 [正解] Q 球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是 Q 球运动的阻力(重力是动力)，对 Q 球做负功；P 球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是 动力(重力是阻力)，对 P 球做正功。所以，由功能关系可以判断，在 Q 球下摆过程中，P 球 重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q 球重力势能减少、动能增加、机械能减少；由于 P 和 Q 整体只有重力做功，所以系统机械能守恒。 [答案] BC [心得体会]